FY25暑假初二A03二次根式的运算学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_学生版PDF

03A 二次根式的运算 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）二次根式的加减法 （2）二次根式的乘除法 （3）分母有理化 2. 考情分析 （1）二次根式的运算是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 30%。 （2）主要考察二次根式的加减法、乘除法以及分母有理化，以分母有理化以填空题为主， 二次根式的运算以填空和解答题为主。 （3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第三节。 （4）二次根式的运算是八年级数学上学期第一章第三节内容．重点是能够运用二次根式的 运算法则解决实际计算问题，难点是复杂二次根式的计算。 1知识加油站 1——二次根式的加减法 考点一：二次根式加减运算 知识笔记1 二次根式的加法和减法 先把各个二次根式化为______________，再把（化简合并）． 例题1: 1 （1）（2022•徐汇区期末）计算：( 0.5+2 )−( 18− 27) 3 1 2 （2）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）计算： 12− 0.75−( 5 + 48)． 3 3 1 （3）（2022秋•静安区期中）计算：( 27−6 0.5)−( 8−6 )． 3 练习1: 2 1 （1）计算： 12 +4 0.5− 18+3 ． 3 3 22 1 （2）计算：( 24 − 0.5+3 )−( − 6)． 3 8 1 （3）（2023秋•金山区期中）计算： 12+3 1 − 48 ． 3 考点二：含参二次根式的加减运算 例题2: 3 x 1 x （1）（2022•徐汇南阳模范中学期中）计算： 4x+2 −x +2 (x0 )． 2 9 x 2 2  m a  （2）计算： a3m −3a +7m  (a0,m0)   a a m   xy 1 1 （3）计算： − 8x3y + 18xy3(x0,y0) 2 x y 1 4 1 （4）化简： 36x +6x −2x ． 2 x x 3练习2: x 2 （1）计算： 8x −2 +2x . 2 9x 3m n （2）（2022•宝山区期中）计算：4mn −( 27m3 −m 3mn2)(n0)． 4 6 1 （3）（2023秋•浦东新区期中）计算：7a 8a −4a2 +7a 2a ． 8a 2a b （4）化简： 8ab−b −a (a0,b0). b 2a 例题3: b 2 （1）先化简，再求值：a − ab3 +3 ab ，其中a=2，b=3． a b  y 3   x  3 （2）先化简，再求值：6x + xy3 −4x + 36xy，其中x= ，y=27．      x y   y  2 4练习3: 1 x 1 （1）先化简后求值，当x=4，y= 时，求 x − 4y − − y3 的值． 9 4 y （2）化简 2x+13+ 128x−192 − 2x−2+ 8x−12 ． 知识加油站 2——二次根式的乘除法 考点三：二次根式的乘除运算 知识笔记2 二次根式的乘法与除法 （1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数__________； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数__________． 例题4: （1）（2022•宝山区期中）计算： 3 15 =_______．  2 ( ) （2）计算：3 36 −  − 3 =_______．   3   1 （3）计算： 723 2 ； 2 5 4 （4）计算：4 5−5 1 ；   5   练习4: 1 （1）计算：2 3 12 3． 4 4 3 2 12 （2）计算：  . 3 5 3 5 2 （3）计算：− 5 2(−2 5)(− )． 2 1 （4）计算： 244  48． 2 6考点四：含参二次根式的乘除运算 例题5: x2y （1）计算： x3y  =_______． 5 14 6 12b （2）计算：  ． ab ab2 5a3 3y 6x2 （3）计算：  ． x y3 2 1 b 3 （4）计算 ab2  (− a3b) b 3 a 2 练习5: （1）计算：3 5a 2 10b =_______． （2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）化简： 3m2 −3n2 3 m+n a2 −9   =_______． 2a2 2 a2 m−n 71 x2 −4xy+4y2 （3）计算： (x2y0)； 2y−x x2y4 2 6a b 3 （4）计算： ab3  (− a3b)(a0) b b2 a 2 知识加油站 3——分母有理化 考点五：分母有理化及有理化因式性质 知识笔记3 1. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含_________的运算； （2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号． 2.有理化因式 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为____________． 例题6: （1）（2022•长宁区第三女子中学期中）在下列各式中，二次根式 a−b的有理化因式( ) A． a+b B． a + b C． a−b D． a − b （2）下列各式中，二次根式 a + b的有理化因式是( ) A． a + b B． a − b C． a+b D． a−b 8（3）下列各式，互为有理化因式的是( ) A． a+b, a−b B． 5− 2, 5− 2 C． x−1, x−1 D．− a + b, a − b （4）已知a= 2 −1，b= 2 +1，那么a与b的关系为 ( ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a是b的平方根 练习6: （1）（2023•浦东新区期末）2 a−1的一个有理化因式是（ ） A．2 a−1 B．2 a−1 C．2 a+1 D．2 a+1 （2）（2023•普陀区期末） 5m+n的有理化因式是（ ） A． 5m+ n B． 5m+n C． 5m− n D． 5m−n （3）2− 5的倒数是________． 例题7: （2022•徐汇区期末）计算： 1 2 3−3 2 （1） =_______．（2） =_______． 3+ 2 6 3+2 2−1 （3） =_______． （4） =_______． 2− 3 2+1 1 1 （5） + 27−6 ． 2+ 3 3 6 2 （6） + + ( 3−2)2 3 1− 3 9练习7: （2023•静安区期末）分母有理化： 1 1 2 2 （1） =_______．（2） + =_______．（3） =_______． 2+1 1− 2 2 2 3+ 2 4 6 ( 6+2)( 2+2) （4） =_______．（5） =_______．（6） =_______． 5− 3 2 3+3 2+4+ 6 例题8： 化简求值： 1 1 （1）( x+ )2 −( x− )2 x x b− ab a b a+b （2）化简：（ a＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）． a + b ab +b ab −a ab a+2 ab+b  a b  a （3）化简： − −    a−b a+ ab b− ab  b+ ab a−1 a−2 a+1 （4）（2023•浦东新区期中）化简： − ． a+1 a−1 10练习8： 化简求值： 1 1 （1）( a + )2 −( a− )2 a a a−b a+b−2 ab （2） − a − b a − b x+2 xy+ y 1 x− y+1 （3）已知x=2− 3,y =2+ 3，化简并求值( + ) x + y x − y x x y −y x y x +x y （4）化简并求值: − x y + y x y x −x y 11考点六：分母有理化应用 例题9: 1 1 已知a= ，b= ， 3− 2 3+ 2 （1）求ab，a+b的值； b a （2）求 + 的值． a b 练习9: 已知：a=2+ 3，b=2− 3 a b 求：①a2 +b2，② − 的值． b a 12例题10: 化简下面式子. 2 2 2 2 （1）化简： + + ++ 3+1 5+ 3 7+ 5 99+ 97 1 1 1 1 （2）( + + ++ )( 2007+1)的值． 2+ 1 3+ 2 4+ 3 2007+ 2006 练习10: 化简下面式子. 1 1 1 1 （1） + + ++ 的值． 2+1 3+ 2 4+ 3 2009+ 2008 1 1 1 1 （2）( + + ++ )( 2n+1+1) 3+1 5+ 3 7+ 5 2n+1+ 2n−1 13全真战场 关卡一 练习1: 1 （1）化简： =_________． 3+1 1 （2）计算： 12 − 18+3 + 8． 3 1 （3）计算：− 18−3 +(− 2)2 − 4． 3 练习2: 1 1 1 1 1 （1）计算：3 +2 1 − 5 − 3 ． 5 3 3 5 5 3x 3 （2）计算： 12 +6 −4x ． 4 x 1 y2 2 （3）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）计算： x4y(−4 )+ xy2 ． 3 x 9 14练习3: 1 阅读下面的解答过程，然后答题：已知a为实数，化简 −a3 −a − ． a 1 解：原式=a. −a −a. −a ① a =(a−1). −a ② （1）上述解答是否有错误？ （2）若有错误，从第几步开始出现错误？ （3）写出正确的解答过程． 练习4: 2 b a 已知：a+b=−3，ab= ，求b +a 的值． 3 a b 练习5: x−3 （2022•静安区同济大学附属七一中学期中）已知 y =− (x−3) y ，化简 y x2 −8x+16+ (y−1)2 − (x−3)2 ． 15关卡二 练习6: 已知a，b是实数，且( 1+a2 +a)( 1+b2 +b)=1，问a，b之间有怎样的关系． 练习7: 2x+ xy +3y 已知 x 、 y 为正数，且 x( x + y)=3 y( x +5 y)，求 的值． x+ xy − y 练习8: a−b a−b 已知 a + b =1，且 a =m+ ， b =n− ，其中m、n均为有理数，求m2 +n2的 2 2 值． 16