FY25暑假初二A02最简二次根式与同类二次根式教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_教师版PDF

02A 最简二次根式与同类二次根式 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）最简二次根式 （2）同类二次根式 （3）合并同类二次根式 2. 考情分析 （1）最简二次根式与同类二次根式是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考 分值约28%。 （2）主要考察最简二次根式与同类二次根式的概念，以选择题、填空题为主，同类二次根 式可以考察解答题。 （3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第二节。 （4）最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究 二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次 根式的合并及最简二次根式的化简。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：最简二次根式 30分钟 切片2：同类二次根式 30分钟 切片 3：合并同类二次根式 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——最简二次根式【建议时长：30分钟】 考点一：最简二次根式的判断 知识笔记1 最简二次根式满足的条件 （1）被开方数中_____________________； （2）____________________． 【填空答案】 各因式的指数都为1；被开方数不含分母； 例题1: （1）（★★☆☆☆）（2022•金山区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是( ) A． 0.1 B． 12 C． 10 D． 27 （2）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) x A． 18 B． C． a2 −b2 D． a4 +a6 3 【常规讲解】 10 （1）解： 0.1= ， 10 12 =2 3， 10是最简二次根式， 27 =3 3， 故选：C． （2）解：A． 18= 92 =3 2 ，选项A不符合题意； x 3x 3x B． = = ，选项B不符合题意； 3 33 3 C． a2 −b2 是最简二次根式，选项C符合题意； D． a4 +a6 = a4(1+a2) =a2 1+a2 ，选项D不符合题意； 故选：C． 2练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区徐汇中学期中）下列根式中，最简二次根式有( )个． a ，3 ab， a2 +b2 ， n2 +2n+1， a2 −b2 ， 12， 91 b A．2 B．3 C．4 D．5 2 ab （2）（★★☆☆☆）在 、 、 18x 、 x2 −1、 0.6 中，最简二次根式是________． 5 a 【常规讲解】 a ab （1）解： = ， n2 +2n+1= (n+1)2 =|n+1|， 12 =2 3， b b 故 ab， a2 +b2 ， a2 −b2 ， 91是最简二次根式， 故选：C． ab （2）解： 、 x2 −1是最简二次根式， a ab 故答案为： 、 x2 −1． a 考点二：二次根式的化简 例题2: 1 （1）（★★★☆☆）将式子−(m−n) − 化为最简二次根式________． m−n abc c3 （2）（★★★☆☆）把下列式子化成最简二次根式：− ． 2 2a4b 【常规讲解】 （1）解：由题意可知：m−n0， n−m0， n−m 原式=−(m−n) n−m = n−m 故答案为： n−m 3abc c c c2 （2）解：当b，c同为正数时，原式=−   =− 2bc． 2 a2 2b 4a abc c c c2 当b，c同为负数时，原式=− (− ) =− 2bc ． 2 a2 2b 4a 练习2: 【学习框10】 （★★★☆☆）把下列各式化成最简二次根式： 4 2 20x2y2 （1） 5 a3 ； （2）x2 ； （3） ； 9 x z5 1 1 1 1 （4） 0.48(a3b2 +a2b3) ； （5） + ； （6） +1． 4 9 a a 【常规讲解】 49a3 7 解：（1）原式= = a a； 9 3 2 （2）原式=x2 =x 2x； x 20x2y2 2xy 5z （3）原式= = ； z5 z3 48a2b2(a+b) 2 （4）原式= = ab 3(a+b)； 100 5 13 1 （5）原式= = 13； 36 6 1 a+1 1 （6）原式= = a(a+1)． a a a2 考点三：最简二次根式性质求参数 例题3: （1）（★★☆☆☆）若二次根式 5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为________． （2）（★★★☆☆）若 2m+3 和 32m−n+1 都是最简二次根式，则m+n=________． 4（3）（★★★☆☆）已知b−a3b和 2b−a+2 是相等的最简二次根式． ①求a，b的值； ②求 b3 +a2014 的值． （4）（★★★★☆）把二次根式 23−a与 8分别化成最简二次根式后，被开方数相同． ①如果a是正整数，那么符合条件的a有哪些？ ②如果a是整数，那么符合条件的a有多少个？最大值是什么？有没有最小值？ 【常规讲解】 （1）解：若二次根式 5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2， 故答案为：2． m+3=1 m=−2 （2）解：由题意可得： 解得： 2m−n+1=1 n=−4 m+n=−6 故答案为：−6． （3）解：① b−a3b和 2b−a+2 是相等的最简二次根式， b−a=2 a=0  ．解得， ， 3b=2b−a+2 b=2 a的值是0，b的值是2； ② b3 +a2014 = 23 =2 2． （4）解：① 8 =2 2，且 23−a与 8是同类二次根式， 23−a=2时，a=21； 23−a=8时，a=15； 23−a=18时，a=5； 23−a=32时，a=−9（不符合题意，舍）； 符合条件的正整数a的值为5、15、21； ②由①知，23−a=50时，a=−27； 23−a=72时，a=−49；  如果a是整数，那么符合条件的a有无数个，其中a的最大值为21、没有最小值． 5练习3: 【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）若二次根式 2x+7 是最简二次根式，则x可取的最小整数是________． （2）（★★★☆☆）若 2m+n−2 和 33m−2n+2 都是最简二次根式，则mn =________． （3）（★★★☆☆）已知：最简二次根式 4a+b 与a−b23 的被开方数相同，则a+b=________． 【常规讲解】 （1）解： 二次根式 2x+7 是最简二次根式， 2x+70， 2x−7， x−3.5， x取整数值， 当x=−3时，二次根式为 1=1，不是最简二次根式，不合题意； 当x=−2时，二次根式为 3，是最简二次根式，符合题意； 若二次根式 2x+7 是最简二次根式，则x可取的最小整数是−2． 故答案为：−2． （2）解：由 2m+n−2 和 33m−2n+2 都是最简二次根式，得 m+n−2=1 m=1  ，解得 ， 3m−2n+2=1 n=2 mn =12 =1， 故答案为：1． a−b=2 a=5 （3）解：由题意，得： 解得： ， 4a+b=23 b=3 a+b=8． 6知识加油站 2——同类二次根式【建议时长：30分钟】 考点四：同类二次根式的判断 知识笔记2 同类二次根式的概念 ___________________________，如果被开方数__________，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式． 【填空答案】 几个二次根式化成最简二次根式后；相同 例题4: （1）（★★☆☆☆）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是( ) A． 8与 3 B． 2 与 12 C． 5 与 15 D． 75 与 27 （2）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期末）下列二次根式中，与 3a 属同类二次根式的是( ) A． 9a B． 27a2 C． 18ab2 D． 27ab2 （3）（★★★★☆）下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ x2 1 4 1 1 1 a4 a2 1 1 ac2 +bc2 ， 52，3 ， ， + ， 0.075， − ， 8x5 ， 3 ， ． 2 2 27 2x 25 144 b4 b2 3 3 a−b 【常规讲解】 （1）解：A、 8 =2 2和 3不是同类二次根式，本选项不合题意； B、 12 =2 3与 2 不是同类二次根式，本选项不合题意； C、 5 与 15不是同类二次根式，本选项不合题意； D、 75=5 3， 27 =3 3是同类二次根式，本选项符合题意． 故选：D． （2）解：A、原式=3 a，不符合题意； B、原式=3 3|a|，不符合题意； C、原式=3|b| 2a，不符合题意； 7D、原式=3|b| 3a ，符合题意． 故选：D． x2 2|x| 1 4 2 1 2x 1 1 13 （3）解： = ， 52 = 13，3 = 3， = ， + = ， 2 2 2 27 3 2x 2x 25 144 60 30 a4 a2 |a| 1 1 30 0.075= ， − = a2 −b2 ， 8x5 =2x2 2x ， 3 = ， 20 b4 b2 b2 3 3 9 ac2 +bc2 c =| | a2 −b2 ． a−b a−b 1 1 1 a4 a2 ac2 +bc2 属于同类二次根式的有3组：① ， 8x5 ；② 0.075， 3 ；③ − ， ． 2x 3 3 b4 b2 a−b 练习4:【学习框14】 1 1 （1）（★★☆☆☆）在根式 2 、 75、 、 、 15中与 3是同类二次根式的有( ) 50 27 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 （2）（★★★☆☆）（2022•虹口区外国语大学附中月考）在二次根式① 8；② 75a ； 3 2 2 ③ 9a；④ 125；⑤ 3a3 中，与 3a 是同类二次根式的有________．（填写编号） 3 3 【常规讲解】 1 2 1 3 （1）解： 75=5 3、 = 、 = ， 50 10 27 9 1 在这一组数中与 3是同类二次根式两个，即 75 、 ． 27 故选：B． 1 5 2 （2）解： ① 8 =2 2 ，② 75a = 3a ，③ 9a =2 a ，④ 125 =5 5 ，⑤ 3 3 3 2 2 3a3 = a 3a， 3 3 与 3a 是同类二次根式的有②⑤． 故答案为：②⑤． 8考点五：同类二次根式求参 例题5: （1）（★★☆☆☆）若最简二次根式 3a+8与 12−a是同类二次根式，则3 a 的值为( ) A． 6 B．3 C．3 2 D．3 （2）（★★★☆☆）（2022•虹口区外国语大学附中期中）若两最简根式a+7b2a+5b−7 和 a+3b 是同类二次根式，则a+b的值的平方根是________． （3）（★★★☆☆）已知最简二次根式 7−2a 与2 3 可以合并，则a的值是________． （4）（★★★☆☆）如果最简二次根式 3a−4与 16−a可以合并，那么使 5a−2x 有意义的 x的取值范围是________． 【常规讲解】 （1）解： 最简二次根式 3a+8与 12−a是同类二次根式， 3a+8=12−a， 解得：a=1， 故3 a =3， 故选：D． a+7b=2 （2）解：由题意得： ， 2a+5b−7=a+3b a+7b=2 a=9 整理得： ，解得： ， a+2b=7 b=−1 则a+b=8， 8的平方根为2 2， a+b的平方根为2 2， 故答案为：2 2． （3）解：由最简二次根式 7−2a 与2 3可以合并，得 7−2a=3． 解得a=2， 故答案为：2． 9（4）解： 最简二次根式 3a−4与 16−a可以合并， 3a−4=16−a， 解得：a=5，  5a−2x = 25−2x， 要使 25−2x 有意义，必须25−2x 0， 25 解得：x ， 2 25 故答案为：x ． 2 练习5: 【学习框16】 （1）（★★☆☆☆）若最简二次根式 x+3与最简二次根式 2x 是同类二次根式，则x的值为 ( ) A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3 （2）（★★★★☆）如果最简二次根式 4a−5与 13−2a 是同类二次根式． ①求出a的值； ②若a x 2a，化简：|x−2|+ x2 −12x+36 ． （3）（★★★★☆）两个最简二次根式 3x2 −6x+2与 x2 +x−1的被开方数相同，求x的值． （4）（★★★★☆）已知最简二次根式 5a− 5b 与 2a+4 是同类二次根式，且 ac+bc−3a−3b (a−3c)2 + b− 5c =0，求 的值． a2 −b2 1 （5）（★★★★☆）已知A=−3 a+1，B= 3a−1，C =− 10a(b+1) 且A、B、C是可以 2 合并的最简二次根式，求a、b及A+B−C的值． 【常规讲解】 （1）解： 最简二次根式 x+3与最简二次根式 2x 是同类二次根式， x+3=2x， 解得：x=3， 故选：D． 10（2）解：①由题意可知：4a−5=13−2a a=3 ② a=3， 3 x 6 x−2 1，x−6 0 原式=|x−2|+|x−6| =x−2−(x−6) =4 （3）解： 最简二次根式 3x2 −6x+2与 x2 +x−1的被开方数相同， 3x2 −6x+2= x2 +x−1， 整理得：2x2 −7x+3=0， 1 解得：x=3或x= ， 2 1 经检验得：当x= 时，二次根式被开方数小于零，不符合题意． 2 故x的值为3． （4）解： 最简二次根式 5a− 5b与 2a+4是同类二次根式，且(a−3c)2 + b− 5c =0， a−3c=0且b− 5c=0、5a− 5b =2a+4， 则a=3c①，b= 5c②，3a− 5b=4③， 将①、②代入③，得：9c−5c=4， 解得：c=1， 则a=3、b= 5， (a+b)c−3(a+b) 原式= (a+b)(a−b) (c−3)(a+b) = (a+b)(a−b) c−3 = a−b 1−3 = 3− 5 3+ 5 =− ． 2 1 （5）解： A=−3 a+1，B= 3a−1，C =− 10a(b+1) 且A、B、C是可以合并的最简 2 11二次根式， a+1=3a−1， a=1， 则B= 2 ， 10(b+1)=2， 4 b=− ， 5 1 则A+B−C =−3 2+ 2+ 2 2 3 =− 2． 2 知识加油站 3——合并同类二次根式【建议时长：30分钟】 考点六：合并同类二次根式 知识笔记3 合并同类二次根式的步骤： （1）______________________________________； （2）_____________________________________________________. 【填空答案】 （1）先将各根式化为最简二次根式； （2）再利用二次根式的加减运算法则合并同类二次根式即可． 例题6: 1 1 （1）（★★★★☆）合并下列各式中的同类二次根式：2 3− 2+ 3+ 2、 2 3 1 2 1 1 （2）（★★★★☆）化简：2 − + 1 ； 27 3 3 3 1 （3）（★★★★☆）化简合并： (4 0.5−4 0.125)−2 + 12； 3 1 4 1 （4）（★★★★☆）化简合并： 36xy4 +12x2 −3x ． 4y2 x3 x （5）（★★★★☆）合并下列各式中的同类二次根式：3 ab −x ab + y ab ． 12（6）（★★★★☆）解不等式：x− 27 3x− 0.75． 【常规讲解】 1 1 解：（1）原式=(2 3+ 3)+( 2− 2) 3 2 7 1 = 3+ 2； 3 2 1 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 （2）2 − + 1 = − + = ； 27 3 3 3 9 9 3 3 1 2 2 3 4 3 （3）(4 0.5−4 0.125)−2 + 12=2 2−4 − +2 3= 2+ ； 3 4 3 3 1 4 1 6y2 x 24x2 x 3x x （4） 36xy4 +12x2 −3x = + − 4y2 x3 x 4y2 x2 x 3 x 45 x = +24 x−3 x = ． 2 2 （5）原式=(3−x+ y) ab （6）x− 27 3x− 0.75， 3 化简得，x−3 33x− ， 2 3 移项得，3x−x−3 3+ ， 2 5 3 合并同类项得，2x− ， 2 5 3 化系数为1得，x− ． 4 13练习6: 【学习框18】 合并下列各式中的同类二次根式． 1 1 1 1 （1）（★★☆☆☆） − ． 3 3 4 27 1 （2）（★★☆☆☆）2 63+ 175− 28． 2 1 （3）（★★★☆☆）（2022•徐汇区西南模范中学期末）计算：2 12+ 75−12 ． 3 1 （4）（★★★☆☆）计算： 32− +4 0.5+ 27 ． 3 （5）（★★★★☆）合并下列各式中的同类二次根式 2 x 2 m+n m−n 1 ① 8x−2 +2x ； ② − − （mn0）． 3 2 9x m−n m+n m2 −n2 75 3 27 （6）（★★★★☆）解方程： = + +x． 2 8 8 【常规讲解】 1 3 1 3 (1)解：（1）原式=  −  3 3 4 9 3 3 = − 9 36 3 = ； 12 1 （2）原式=23 7+5 7− 2 7 2 =6 7+5 7− 7 =10 7 ． 1 （3）解：2 12+ 75−12 3 =4 3+5 3−4 3 =5 3 ． 141 （4）解： 32− +4 0.5+ 27 3 3 =4 2− +2 2+3 3 3 8 3 =6 2+ ． 3 （5） 2 x 2 4 2x 2x ① 8x−2 +2x = 2x− 2x+ = 2x； 3 2 9x 3 3x m+n m−n 1 m2 −n2 m2 −n2 m2 −n2 ② − − = − − m−n m+n m2 −n2 m−n m+n m2 −n2 (m+n) m2 −n2 (m−n) m2 −n2 m2 −n2 (2n−1) m2 −n2 = − − = ． m2 −n2 m2 −n2 m2 −n2 m2 −n2 75 3 27 （6）解 = + +x， 2 8 8 5 6 6 3 6 化简得， = + +x， 2 4 4 5 6 2 6 合并同类项得， = +x， 2 2 3 6 移项得，x= ； 2 15全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: 2 （★★☆☆☆）下列二次根式：① 12；② 22；③ ；④ 27中，能与 3合并的是( ) 3 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【常规讲解】 解：① 12 =2 3 ，能与 3合并； ② 22，不能与 3合并； 2 6 ③ = ，不能与 3合并； 3 3 ④ 27 =3 3，能与 3合并； 故选：C ． 练习2: （1）（★★★☆☆）下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的化 简成最简二次根式． 1 ① 412 −402 ；② 8−x2 ；③ 22；④ x2 −4x+4(x2)；⑤−x ；⑥ 0.75ab ； 2x x x ⑦ a2b(b0)；⑧ 9x2 +18y2 ；⑨ (a+b)2(a−b)(ab0)；⑩ ；⑪ ；⑫ 1.2 ． 3 3 【常规讲解】 解：②③⑪是最简二次根式， ①原式= (41+40)(41−40) =9； ④原式= (x−2)2 =x−2； 12x 2x ⑤原式=−x =− ； 2x 2x 2 3ab ⑥原式= ； 2 ⑦ a2b =|a| b ； ⑧ 9x2 +18y2 =3 x2 +2y2 ； 16⑨ (a+b)2(a−b) =(a+b) a−b； x 3x ⑩ = ； 3 3 6 30 ⑫ 1.2 = = ． 5 5 练习3: （1）（★★★☆☆）下列说法：①−64的立方根为−4，② 49 =7， 1 ③ (−4)(−9) = −4 −9，④ 与 2 是同类二次根式， 2 其中正确说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（★★★☆☆）若两个最简二次根式 n2 −2n和 n+4是同类二次根式，则n=________． 【常规讲解】 （1）解：①−64的立方根为−4，正确，符合题意； ② 49 =7，故错误，不符合题意； ③ (−4)(−9) = 4 9，故错误，不符合题意， 1 2 ④ = 与 2 是同类二次根式，正确，符合题意， 2 2 正确的有2个， 故选：B． （2）解： 最简二次根式 n2 −2n和 n+4是同类二次根式， n2 −2n=n+4， 解得，n =−1，n =4， 1 2 当n=4时， n+4 = 8，不是最简二次根式， n=−1， 故答案为：−1． 17练习4: （1）（★★★☆☆）如果 3a−11与 19−2a 都是最简二次根式，又是同类二次根式，且 4a−3x + y−a =0，求x、 y 的值． （2）（★★★☆☆）若最简二次根式3x−102x+ y−5和 x−3y+11是同类二次根式． ①求x， y 的值； ②求 x2 + y2 的值． 【常规讲解】 （1）解：由题意，得3a−11=19−2a， 解得，a=6，  46−3x + y−6 =0， 24−3x 0， y−6 0， 24−3x=0，y−6=0， 解得，x=8，y=6． 3x−10=2 x=4 （2）①根据题意知 ，解得： ； 2x+ y−5=x−3y+11 y=3 ②当x=4、y=3时， x2 + y2 = 42 +32 = 25=5． 练习5: （★★★☆☆）合并下列二次根式中的同类二次根式： 1 （1）6 3+ 0.12+ 48； （2）2 63+ 175− 28； 2 1 2 1 1 （3） 6− 3−2 − 12−6 ； （4）3 8−2 18+5 32． 2 3 6 6 【常规讲解】 3 51 3 （1）6 3+ 0.12+ 48=6 3+ +4 3= ； 5 5 1 （2）2 63+ 175− 28=6 7+5 7− 7 =10 7 ； 2 1 2 1 1 1 2 6 3 5 2 6 （3） 6− 3−2 − 12−6 = 6− 3− − − 6 =− 3− ； 2 3 6 6 2 3 3 6 3 3 8−2 18+5 32 =6 2−6 2+20 2 =20 2 （4） 18关卡二 练习6: （★★★★☆）已知x，y都为正整数，且3 x + y =10 3，求x， y的值． 【常规讲解】 解： x、 y都是正整数， 3 x, y,10 3是同类二次根式， 设3 x =3m 3 ， y =n 3． 则3m+n=10，m、n是正整数， m=1 或 m=2 或 m=3 ．    n=7 n=4 n=1 3 x =3m 3， y =n 3． 3 x =3 3， x=3，  y =7 3． y=147， 同理可得： x=3 x=12 x=27 此时 或 或 ．    y=147 y=48 y=3 练习7: 1 3 1 3 （★★★★☆）已知x、 y是有理数，且( + )x+( − )y−2.25−1.45 3=0，求x、 y 3 2 4 12 的值． 【常规讲解】 解： x、 y是有理数， x y + −2.25=0     3 4 ，解得   x=3.6 ．  3 3 y=4.2 x− y−1.45 3=0  2 12 19练习8: （★★★★☆）设正整数a、m、n满足 a2 −4 2 = m− n ．则a=________． 【常规讲解】 解：两边分别完全平方得： a2 −4 2 =m−2 mn +n， a2 =m+n 则 ， −4 2 =−2 mn 由以上求得mn=8， 又因为m，n为正整数，由题意 a2 −4 2 = m− n 0， 所以m=8，n=1或m=4，n=2， 又因为a，m，n为正整数， 所以a=3，m=8，n=1． 故答案为：3． 20