文档内容
07A 根的判别式及其应用
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）根的判别式的概念与形式
（2）判别式的主要应用
（3）判别式的复杂应用
2. 考情分析
（1）根的判别式是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约15%
（2）主要考察根的判别式的概念，以选择题、填空题为主，根的判别式的应用以解答题为
主。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节 17.3 一元二次方程根的判别式。
（4）根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况
下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．
本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母
系数的取值范围。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：根的判别式的概念与形式 20分钟
切片2：判别式的主要应用 40分钟
切片3：判别式的复杂应用 30分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——根的判别式的概念与形式【建议时长：20分钟】
考点一：根的判别式的值
知识笔记1
根的判别式的概念
一元二次方程根的判别式：我们把b2 −4ac叫做一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根的
判别式，通常用符号“∆”表示，记作_____________．
【填空答案】
∆=b2 −4ac
例题1:
（1）（★★☆☆☆） (2022•徐汇区期末）方程3x2 +4x−2=0的根的判别式的值为_____.
（2）（★★☆☆☆） (2023•青浦区期末）一元二次方程x2−2x−5＝0的根的判别式的值是
_____.
【常规讲解】
（1）解：a=3 ， b=4 ， c=−2 ，
∴∆=b2 −4ac=16+24=40 ．
故答案为：40．
（2）解：∵a=1，b=−2，c=−5，
∴∆=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−5)=24．
故答案为：24．
练习1: 【学习框8】
（1）（★★☆☆☆） 一元二次方程2x2 −3x−4=0根的判别式的值等于_______．
（2）（★★☆☆☆）（2022•宝山期中）方程3x2+2x=4的根的判别式的值为_______．
【常规讲解】
（1）解：依题意，一元二次方程2x2 −3x−4=0，a=2，b=−3，c=−4
2∴根的判别式为：△=b2 −4ac=(−3)2 −4×2×(−4)=41
故答案为：41.
（2）解：方程3x2+2x=4变形为：3x2+2x−4=0，
a=3,b=2,c=-4
，
∴b2−4ac=22−4×3×(−4)=4+48=52，
故答案为：52.
考点二：根据根的判别式的判断根的情况
知识笔记2
根的判别式的形式
一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)，
（1）当____________时，方程有两个___________的实数根；
（2）当____________时，方程有两个___________的实数根；
（3）当____________时，方程________________．
【填空答案】
（1）∆=b2 −4ac>0；不相等；
（2）∆=b2 −4ac=0；相等；
（3）∆=b2 −4ac<0；没有实数根；
例题2:
（1）（★★☆☆☆）（2023•普陀期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等
的实数根是( )
A．x2−3x−1=0 B．3x2−x+1=0 C．x2+3=0 D．x2−4x+4=0
（2）（★★☆☆☆）（2022•青浦区实验中学期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数
根的方程是( )
1
A．x2 + = x B．(x−2)2 =5 C．x2 +2x=0 D．2x2 − 2x+1=0
4
（3）（★★☆☆☆）下列一元二次方程中无实数根的是( )
3A．x2 =2x B．(x+1)(x+3)=0 C．(x−2)2 =5 D．x2 −x+1=0
【常规讲解】
（1）解：A、x2−3x−1=0，∵∆=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，∴方程有两个不相等的实数
根；
B、3x2−x+1=0，∵=(−1)2−4×3×1=−11<0，∴方程无实数根；
C、x2+3=0，∵∆=02−4×1×3=−12<0，∴方程无实数根；
D、x2−4x+4=0，∵∆=(−4)2−4×1×4=0，∴方程实有两个相等的实数根；
故选：A．
1
（2）解：A．x2 −x+ =0，
4
1
∆=(−1)2 −4×1× =0，
4
∴方程有两个相等的实数根；
B． x2 −4x−1=0 ，
，
∆=(−4)2 −4×(−1)=20>0
∴方程有两个不相等的实数根；
C ． x2 +2x=0 ，
∆=22 −4×1×0=4 ，
∴方程有两个不相等的实数根；
D．
2x2 − 2x+1=0
，
，
∆=(− 2)2 −4×2×1=−6<0
∴方程没有实数根．
故选：A．
（3）解：A．方程x2 =2x的判别式∆=(−2)2 −4×1×0=4>0，有两个不相等实数根，不符
合题意；
B．方程(x+1)(x+3)=0的一般形式是x2 +4x+3=0，根的判别式∆=42 −4×1×3=4>0，
有两个不相等实数根，不符合题意；
C．方程(x−2)2 =5的一般形式是x2 −4x−1=0，根的判别式∆=(−4)2 −4×1×(−1)=20>0，
有两个不相等实数根，不符合题意；
4D．方程x2 −x+1=0的判别式∆=(−1)2 −4×4×1=−17<0，无实数根，符合题意；
故选：D．
练习2: 【学习框10】
（1）（★★☆☆☆）关于一元二次方程2x2 −5x=2的根的判定中，正确的是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2）（★★☆☆☆）（2020•长宁区期末）下列一元二次方程中无实数根的是( )
A．x2 =2x B．(x+1)(x+3)=0
C．(x−2)2 =5 D．x2 −x+1=0
（3）（★★☆☆☆）已知m为实数，则关于x的方程x2 −(m−2)x−2m=0的实数根情况一定
是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【常规讲解】
（1）解：由2x2 −5x=2得到：2x2 −5x−2=0，
因为△=(−5)2 −4×2×(−2)=41>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
（2）解：A．方程x2 =2x的判别式△=(−2)2 −4×1×0=4>0，有两个不相等实数根，不符
合题意；
B．方程(x+1)(x+3)=0的一般形式是x2 +4x+3=0，根的判别式△=42 −4×1×3=4>0，
有两个不相等实数根，不符合题意；
C．方程(x−2)2 =5的一般形式是x2 −4x−1=0，根的判别式△=(−4)2 −4×1×(−1)=20>0，
有两个不相等实数根，不符合题意；
D．方程x2 −x+1=0的判别式△=(−1)2 −4×4×1=−17<0，无实数根，符合题意；
故选：D．
（3）解：△=(m−2)2 −4×(−2m)=(m+2)2．
5对于任意实数m，都有(m+2)2 ≥0，即△≥0，
所以原方程一定有两个实数根，
故选：C．
考点三：新定义题型
例题3：
（★★★☆☆）对于实数u ，v ，定义一种运算“* ”为：u*v=uv+v．若关于 x的方程
1
x*(a*x)=− 有两个相等的实数根，则满足条件的实数a的值是_______．
4
【常规讲解】
1
解：由x*(a*x)=− ，
4
1
得(a+1)x2 +(a+1)x+ =0，
4
依题意有a+1≠0，
△=(a+1)2 −(a+1)=0，
解得，a=0，或a=−1（舍去）．
故答案为：a=0．
练习3: 【学习框12】
（★★★☆☆）对于实数x，y，定义一种运算⊕：x⊕y= x−2y，若关于x的方程x(a⊕x)=2
有两个相等的实数根，则实数a=________．
【常规讲解】
解：根据新定义，x(a⊕x)=2可化为：x(a−2x)=2；
即：2x2 −ax+2=0，
又关于x的方程x(a⊕x)=2有两个相等的实数根，
∴△=0，
即：∴(−a)2 −4×2×2=0，
∴a2 =16，
∴a=±4．
故答案为：±4．
6知识加油站2——判别式的主要应用【建议时长：40分钟】
知识笔记3
判别式的主要应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定_________；
（3）解与根有关的证明题．
【填空答案】
根的范围
考点四：根据根的判别式求参数
例题4:
（1）（★★★☆☆）（2022•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2 −2 5x−m2 =0根的判别式
的值36，则m=________．
（2）（★★★☆☆）（2022•崇明区二模）已知关于x的一元二次方程x2 −mx−m+3=0有两个
相等的实数根，那么m的值为_______．
（3）（★★★☆☆）关于x的一元二次方程mx2 −(m−1)x+m=−1，其根的判别式的值为 1，
求m的值及方程的根．
【常规讲解】
（1）解：关于x的方程x2 −2 5x−m2 =0根的判别式的值36，
∴△=(−2 5)2 −4×1×(−m2)=36，
解得：m=±2，
故答案为：±2．
（2）解：关于x的一元二次方程x2 −mx−m+3=0有两个相等的实数根，
∴△=b2 −4ac=(−m)2 −4×1×(−m+3)=0，
解得：m =2，m =−6，
1 2
7∴m的值为2或−6．
故答案为：2或−6．
（3）解：原方程化为：mx2 −(m−1)x+m+1=0，
由题意可知：△=(m−1)2 −4m×(m+1)=1，
∴m=0（舍去）或m=−2，
∴原方程为：−2x2 +3x−1=0，
1
∴x= 或x=1．
2
练习4: 【学习框14】
（1）（★★★☆☆）若关于x的一元二次方程mx2 −(3m−1)x−1+2m=0，其根的判别式值为
1，则m=_______．
（2）（★★★☆☆）关于x的一元二次方程mx2 −(2m−1)x+1=0的根的判别式是 1，则m=
_______．
【常规讲解】
（1）解：根据题意知△=[−(3m−1)]2 −4m(2m−1)=1，
解得m=0或m=2，
又此方程为一元二次方程，即m≠0，
∴m=2，
故答案为：2．
（2）解：△=[−(2m−1)]2 −4×m×1=4m2 −8m+1，
∴由题意得：m≠0，且4m2 −8m+1=1，
∴m≠0，且4m2 −8m=0，
解得：m=2．
故答案为2．
8考点五：根据实数根的情况求参数范围
例题5:
（1）（★★★☆☆）（2022•上海）已知x2 −2 3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是：______．
（2）（★★★☆☆）（2022•徐汇区徐汇中学期中）如果关于x的一元二次方程x2 +3x−2m=0
没有实数根，那么m的取值范围是：______．
（3）（★★★★☆）（2022•静安区市西中学期中）已知关于x的一元二次方程(m+1)x2 +2x=1
（m为实数）．
①如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
②如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．
③如果该方程没有实数根，求m的取值范围．
【常规讲解】
（1）解：关于x的方程x2 −2 3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(−2 3)2 −4m>0，
解得：m<3．
故答案为：m<3
（2）解：一元二次方程x2 +3x−2m=0没有实数根，
∴△=9−4×(−2m)<0，
9
∴m<− ，
8
9
故答案为：m<− ．
8
（4）解：关于x的一元二次方程(m+1)x2 +2x=1(m为实数），
a=m+1，b=2，c=−1，
∴△=4+4(m+1)=4m+8
，
① 根据题意，得 △=4m+8>0，m+1≠0，
解得m>−2且m≠−1；
9② 根据题意，得 △=4m+8=0，
解得m=−2；
③ 根据题意，得 △=4m+8<0，
解得m<−2．
练习5: 【学习框16】
（1）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）如果关于x的方程x2 − k+1x+3k−2=0有两个实数
根，那么k的取值范围为：______.
（2）（★★★☆☆）（2022•青浦区模拟）如果关于x的方程2x2 +3x−k =0没有实数根，那么
k的取值范围是：______.
（3）（★★★★☆）已知：关于x的方程x2 +kx+k−2=0．
①试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
②若k =6，请解此方程．
【常规讲解】
（1）解：关于x的方程x2 − k+1x+3k−2=0有两个实数根，
k+1…≥0
∴ ，
=(− k+1)2 −4×1×(3k−2)…≥0
9
解得：−1≤k ≤ ，
11
9
∴k的取值范围为−1≤k ≤ ．
11
9
故答案为：−1≤k ≤ ．
11
（2）解：根据题意得△=32 −4×2×(−k)<0，
9
解得k <− ．
8
9
故答案为：k <− ．
8
（3）① △=k2 −4(k−2)=k2 −4k+8=(k−2)2 +4>0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
② 当k =6时，原方程为：x2 +6x+4=0，
10(x+3)2 =5，
∴ x=−3± 5，
∴ x =−3+ 5，x =−3− 5．
1 2
例题6：
（1）（★★★☆☆）（2023•静安期末）如果方程mx2−6x+1=0有实数根，那么m的取值范围
是（ ）
A．m<9且m≠0 B．m≤9且m≠0
C．m<9 D．m≤9
(2)（★★★☆☆） 关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k =0有实数根，则k的取值范围：
______.
【配题说明】讨论二次项系数的情况，求参数范围.
【常规讲解】
（1）解：∵方程mx2−6x+1=0有实数根，
当m=0时，−6x+1=0，
1
解得x= ，
6
当m≠0时，∆=b2−4ac=36−4×m×1≥0，
解得m≤9，
∴m的取值范围是m≤9，
故选：D．
（2）解：关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k =0有实数根，
k−2≠0
∴ ，
=(−2k)2−4k(k−2)≥0
解得：k ≥0且k ≠2．
故答案为：k ≥0且k ≠2．
练习6：【学习框18】
（1）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2 −2x+1=0有两个不相等的
实数根，则m可取的最大整数是 _________．
11（2）．（★★★☆☆）关于x的一元二次方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a>1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
（3）（★★★☆☆）已知关于x的方程 (m−1)x2 −4mx+4m−2=0有实数根，则m的取值范
围是：________．
（4）（★★★★☆）已知关于x的方程kx2 +(2k+3)x+k+1=0．
① 若x=1是该方程的根，求k的值；
② 若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【配题说明】讨论二次项系数的情况，求参数范围
【常规讲解】
（1）解：关于x的方程mx2 −2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(−2)2 −4m×1>0且m≠0，
解得：m<1且m≠0．
故答案为：−1．
（2）解：由已知得：
a−5≠0
，
(−4)2−4(a−5)×(−1)≥0
∴a≥1且a≠5．
故选：C．
（3) 解：当m≠1时，
∵关于x的方程 (m−1)x2 −4mx+4m−2=0有实数根，
∴∆=b2−4ac=16m2−4(m−1)(4m−2)≥0，
1
解得：m≥ ，
3
1
∴m≥ 且m≠1．
3
1
当m=1时，方程是一元一次方程，此时方程有解x= ；
2
1
综上，m的取值范围为：m≥ 且m≠1
3
12（4) 解：① 把x=1代入该方程得k+2k+3+k+1=0，解得k =−1；
② 该方程有两个不相等的实数根，
9
∴△>0，即(2k+3)2 −4k(k+1)>0，解得k>− ．
8
9
综上所述，k>− 且k ≠0为所求．
8
例题7：
（★★★★☆）关于 x 的方程 (m+1)x2 +(2m−1)x+m−1=0 有实根，则关于 x 的方程
(m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0的根的情况如何？
【配题说明】结合参数范围讨论根的情况
【常规讲解】
解：关于x的方程(m+1)x2 +(2m−1)x+m−1=0有实根，
∴m+1≠0时，△=b2 −4ac=(2m−1)2 −4(m+1)(m−1)=−4m+5…0，
解得：m„ 1.25，
(m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0中，
△=b2 −4ac=[−2(m−3)]2 −4(m−3)(m+5)=−32m+96>0，
或m+1=0时，解得m=−1，方程(m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0为x2 −2x−1=0，
△=4+4=8>0，
∴关于x的方程(m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0有两个不相等的实数根．
练习7：【学习框20】
（★★★☆☆）（2021•奉贤区期末）已知关于x的方程x2 +2x−a+1=0没有实数根，试判断
关于x的方程x2 +ax+a=0的根的情况．
【配题说明】结合参数范围讨论根的情况
【常规讲解】
解：关于x的方程x2 +2x−a+1=0没有实数根，
∴△=4−4(−a+1)<0，
解得：a<0，
方程x2 +ax+a=0的根的判别式是：△=a2 −4a=a(a−4)，
a<0，a−4<0，
13∴△>0，
∴关于x的方程x2 +ax+a=0有两个不相等的实数根．
知识加油站3——判别式的实际应用【建议时长：30分钟】
考点六：根的判别式实际应用
知识笔记4
根的判别式的复杂应用
（1）等腰三角形与一元二次方程，考点为已知两腰是方程的两根；
【注意】____________________________
（2）三角形与一元二次方程根的情况有关，已知方程__________判断三角形的形状.
① 当__________时，三角形是______________
② 当__________时，三角形是______________
③ 当__________时，三角形是______________
【填空答案】
（1）需要检验两边之和大于第三边，两根的情况;
（2）①a=b； 等腰三角形
②a=b=c；等边三角形
③a2 +b2 =c2；直角三角形【本知识点老师可以拓展让学生记住的，本学期后册《几何证明》
章节会学习其公式推导】
例题8：
（1）（★★★★☆）（2022•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2 −2(m+1)x+m2 +5=0．
如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．
（2）（★★★★☆）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4 ax+2b−c=0有两
个相等的实数根，且a，b，c满足3a−2c=b
①求证：ABC是等边三角形．
②若a，b为方程x2−2kx+(−2k+3)=0的两根，求k的值．
14【常规讲解】
（1）解：当7为底时，由题意得，△ =0 ，则 8m−16=0 ，
解得m=2，
此时一元二次方程x2 −6x+9=0
解得x=3，因为3+3<7，舍去；
当7为腰时，将x=7代入得49−14(m+1)+m2 +5=0，
解得m=4或m=10，
当m=10时，得三边长为7、7、15，因为7+7<15（舍去），
当m=4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，
故m的值为4．
（2）①解：方程4x2+4 ax+2b−c=0有两个相等的实数根，
∴△=(4 a)2−4×4×(2b−c)=0，即a=2b−c，
3a−2c=b，
∴3(2b−c)−2c=b，即b=c，
将b=c代入a=2b−c得：a=b，
∴a=b=c，
∴∆ABC是等边三角形；
②a、b为方程x2−2kx−(2k−3)=0两根，且a=b，
∴△=(−2k)2−4×1×[−(2k−3)]=0，即k2+2k−3=0，
解得：k =1或k =−3，
当k =−3时，方程为x2+6x+9=0，解得：x =x =−3<0（舍）；
1 2
当k =1时，方程为x2−2x+1=0，解得：x =x =1，（符合题意）；
1 2
故k =1．
练习8: 【学习框22】
（1）（★★★★☆）已知∆ABC的三边长为a，b，c且关于x的方程a(1−x2)+2bx+c(1+x2)=0
有两个相等的实数根，请判断∆ABC的形状并加以说明．
（2）（★★★☆☆）设a，b，c是∆ABC的三边长，关于x的方程x2 +2 bx+2c−a=0有两个
15相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0．
①求证：∆ABC为等边三角形；
②若a，b为方程x2 +mx−3m=0的两根，求m的值．
【常规讲解】
（1）∆ABC是直角三角形．
方程整理得(c−a)x2 +2bx+(c+a)=0；
由方程有两个相等的实数根知△=4b2 −4(c+a)(c−a)=4(b2 −c2 +a2)=0，
∴b2 +a2 =c2，
∴∆ABC是直角三角形．
（2）①证明方程x2 +2 bx+2c−a=0有两个相等的实数根，
∴(2 b)2 −4(2c−a)=0，
∴b+a=2c
方程3cx+2b=2a的根为0，
∴b=a，
∴b=a=c，
∴∆ABC为等边三角形；
②解a，b为方程x2 +mx−3m=0的两根，
又由（1）a=b，∴m2 −4×(−3m)=0，
∴m =0，m =−12．
1 2
a，b，c是∆ABC的三边长，
∴a>0，
∴m=−12．
16全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1
（1）（★★☆☆☆）（2022•普陀区期中）一元二次方程x2 −6x=−9的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
（2）（★★☆☆☆）下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2 +3x=0 B．x2 +2x−1=0
C．x2 +2x+1=0 D．x2 −x+3=0
【常规讲解】
（1）解：方程化为一般式为 x2 −6x+9=0 ，
△=(−6)2 −4×9=0，∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
（2）解：A、△=32 −4×1×0=9>0，
∴方程x2 +3x=0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B、△=22 −4×1×(−1)=8>0，
∴方程x2 +2x−1=0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C、△=22 −4×1×1=0，
∴方程x2 +2x+1=0有两个相等的实数根，选项C不符合题意；
D、△=(−1)2 −4×1×3=−11<0，
∴方程x2 −x+3=0没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
练习2:
（★★★☆☆）关于x的一元二次方程x2 +(2m−1)x+m2 =0，其根的判别式的值为9，求m
的值及这个方程的根．
17【常规讲解】
解：由题意可知：△=(2m−1)2 −4m2 =9，
∴m=−2，
∴该方程为：x2 −5x+4=0，
∴x=1或x=4
练习3:
（★★★☆☆）若关于x的一元二次方程(m−1)x2 −4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的
取值范围为_______．
【常规讲解】
解：关于x的一元二次方程(m−1)x2 −4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△>0且m−1≠0，即(−4)2 −4(m−1)>0且m≠1，
解得m<5且m≠1，
故答案为：m<5且m≠1．
练习4:
（★★★☆☆）已知关于x的一元二次方程x2 +x=k．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）当k =6时，求方程的实数根
【常规讲解】
解：（1）方程有两个不相等的实数根，
∴△=12 −4×1(−k)=1+4k >0，
1
解得：k >− ；
4
（2）把k =6代入原方程得：x2 +x=6，
整理得：x2 +x−6=0，
分解因式得：(x+3)(x−2)=0，
解得：x =−3，x =2．
1 2
18练习5:
（★★★☆☆）已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x 和x 若以x ，x ，3为三边长的三角形是直角三角形，求
1 2 1 2
k的值．
【常规讲解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
∴a=1，b=−(2k+1)，c=2k，
∴∆=b2−4ac= -(2k+1)
2 −4×1×2k =4k2−4k+1=(2k−1)2 ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）将方程因式分解得
(x−2k)(x−1)=0，
解得x =2k，x =1，
1 2
∵以2k，1，3为三边长的三角形是直角三角形，
∴当2k＜3时，则12+(2k)2 =32，解得k = 2，k =− 2(舍去)；
当2k＞3时，则12+32 =(2k)2 ，解得k = 10 ，k =− 10 (舍去)；
2 2
10
以1，2k，3为三边长的三角形是直角三角形，k的值为 2或 ．
2
练习6:
1
（★★★★☆）已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4k− =0．
2
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC
的周长．
【常规讲解】
1
（1）解：在关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4k− =0中，a=1，b=−(2k+1)
，
2
1
c=4k− ，
2
19骣 1
∴∆= b2- 4ac= (2k+1)2 - 4?4ç ç ç桫 k 2 ÷ ÷ ÷
=4k2+4k+1−16k+8
=4k2−12k+9
=(2k−3)2
，
∵(2k−3)2 ≥0
∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，
i：当b=c时，即方程两根相等，
∴∆= (2k- 3)2 = 0，
3
解得：k= ，
2
∴方程可化为：x2−4x+4=0，
解得：x=2，
∴b=c=2，
∴ABC三边为长分别为4，2，2，
∵2+2=4，
∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
ii：当a=b=4或者a=c=4时，即x=4是原方程的一个根，
1 骣 1
把x=4代入x2−(2k 1)+x 4 +k 2 − 0得= ：16- 4(2k+1)+ 4ç ç ç桫 k- 2 ÷ ÷ ÷ = 0，
5
解得：k = ，
2
∴原方程可化为：x2−6x+8=0，
解得：x=4或x=2，
即ABC的两腰长为4，底边长为2，
∴ABC的周长=4+4+2=10．
20关卡二
练习7:
2x
（★★★★☆）已知x、y为实数，且满足y= ，求y的最大值和最小值．
x2 +x+1
【常规讲解】
解：x2 +x+1≠0，
∴把等式变形为关于x的一元二次方程的一般式：yx2 +(y−2)x+ y=0，
此方程有根，x为实数，
∴△ 0，即△=(y−2)2 −4y2 =−(3y2 +4y−4)=−(3y−2)(y+2)…0，
∴(3y≥−2)(y+2)„ 0，
解得；
2
∴y的最大值为 ，最小值为：−2．
3
练习8:
（★★★★☆）已知关于x的一元二次方程(ab−2b)x2 +2(b−a)x+2a−ab=0(ab≠0)有两个
1 1
相等的实数根，求 + 的值．
a b
【常规讲解】解：依题意，△=4(b−a)2 −4(ab−2b)(2a−ab)=0，
即：(a+b)2 −4ab+(ab−2b)(ab−2a)=0，
(a+b)2 −4ab+[a2b2 −2ab(a+b)+4ab]=0，
(a+b)2 +a2b2 −2ab(a+b)=0，
[(a+b)−ab]2 =0，
∴a+b=ab，
1 1 a+b
则 + = =1．
a b ab
21
