文档内容
14A 证明举例
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）命题、公理、定理
（2）证明举例
（3）证明举例动点问题
2. 考情分析
（1）添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约20%；
（2）主要考察命题、定理、公理的概念，以选择题、填空为主，证明举例会结合全等三角
形的判定与性质考察，以解答题为主；
（3）对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明；
（4）命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、
定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证
明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，
另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础。
1知识加油站 1——命题、公理、定理
考点一：判断命题、公理、定理
知识笔记1
1. 命题
（1）______________________________叫作定义；______________________________叫作
命题；其判断为正确的命题叫作__________；其判断为错误的命题叫作__________；
数学命题通常由题设、结论两部分组成，可以写成“________________________”的形式；
（2）互逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个命
题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，
则另一个命题叫做它的____________
2. 公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3. 定理
（1）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他
命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理；
（2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，
其中一个叫做另一个的_____________；
注意：_______________________________________________________________．
2例题1:
（1）（2023•浦东新区校级期末）下列命题中，真命题是( )
A．“把两个图形叠合”是命题
B．每一个命题一定有逆命题
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．每一个定理一定有逆定理
（2）（2023•普陀区期末）下列命题的逆命题是假命题的是( )
A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形
B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等
C．如果一个三角形的两个锐角的和为90，那么这个三角形是直角三角形
D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形
（3）（2023•黄浦区期末）下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有( )个．
①全等三角形对应边相等；
②全等三角形对应角相等；
③等腰三角形两条腰上的高相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
（4）将下列命题改写成“如果那么”的形式
①（2022•浦东新区期中）“两个全等三角形的周长相等”
__________________________________________.
② “对顶角相等”
__________________________________________.
③ “等腰三角形的两个底角相等”
__________________________________________.
④ “等角对等边”
__________________________________________.
3练习1:
（1）（2023•普陀区期中）下列命题中，属于假命题的是( )
A．三角形的内角和等于180
B．对顶角相等
C．同位角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（2）（2023•金山区期末）下列命题的逆命题是假命题的是( )
A．如果ab=0，那么a=b=0 B．如果a 0，那么 a2 =a
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
（3）（2023•普陀区校级期中）下面四个命题中，真命题的个数是( )
①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等；
②有两角及一边对应相等的两个三角形全等；
③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（4）将下列命题改写成“如果那么”的形式
①（2021•浦东新区期中）“全等三角形对应边的高相等”
__________________________________________.
②（2021•奉贤区期中）“同角的补角相等”
__________________________________________.
③“关于某条直线对称的两个三角形全等”
__________________________________________.
④ “两个全等三角形的面积相等”
__________________________________________.
4例题2:
（1）下列定理中有逆定理的是( )
A．直角三角形中没有钝角； B．互为相反数的数的绝对值相等；
C．同旁内角互补，两直线平行； D．若a=b，则a2 =b2．
（2）以下说法中，正确的个数是( )
①每个命题总有逆命题；
②每个定理总有逆定理；
③假命题的逆命题是假命题；
④命题“等边三角形是中心对称图形”是真命题．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（3）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果那么”的形式：
练习2:
（1）下列定理中，没有逆定理的是( )
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
（2）以下说法中正确的有（ ）个．
①逆定理一定是真命题；
②一个定理一定有逆定理；
③互逆命题一定是互逆定理；
④互逆定理一定是互逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
（3）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：
___________________________________________________________________.
5例题3:
“两点之间线段最短”是__________．（填“定义”“公理”或“定理”)
练习3:
下列命题中，属于公理的有（ ）．
A．三角形的内角和为180° B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．等腰三角形两个底角相等 D．在所有联结两点的线中，线段最短
例题4:
（2022•黄浦区月考）我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理
的逆命题也是真命题．
（1）请你写出这个定理的逆命题是_______________________________________________；
（2）下面我们来证明这个逆命题：
1
已知：如图，CD是ABC 的中线，CD= AB．
2
求证：ABC 为直角三角形．请你写出证明过程：
6练习4:
（1）如图在AFD和CEB中，点A，E，F ，C在同一条直线上，有下面四个论断：①
AD=CB，②AE =CF ，③B=D，④ AD//BC ．请你从中选三个作为题设，余下的一
个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
（2）已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，
联结EF（如图所示）．
①添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．
②分别将“∠A=∠D”记为a，“∠OEF=∠OFE”记为b，“AB=DC”记为c，添加条件a、c，以
b为结论构成命题1，添加条件b、c，以①为结论构成命题2．命题1是
__________命题，命题2是__________命题（选择“真”或“假”填入空格）．
A D
E O F
B C
7知识加油站 2——证明举例
考点二：证明举例方法
知识笔记2
证明举例的一般方法
（1）________________________________________；
（2）________________________________________；
（3）________________________________________.
例题5:
（1）如图，在ABC 中，AB=10，AC =8，ABC、ACB的平分线相交于点O，MN
过点O，且MN //BC ，分别交AB、AC 于点M 、N ．则AMN的周长_______．
（2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，
O 、O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
1 2
8（3）（2023•浦东新区期中）如图，点C，D在直线AB上，ACE+BDF =180，EF //AB．
①求证：CE//DF．
②DFE的角平分线FG 交AB于点G ，过点F 作FM ⊥ FG交CE 的延长线于点M ．若
CMF =55，再求CDF 的度数．
练习5:
（1）如图，在ABC 中，BC =7cm，BP，CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PD//AB，
PE //AC，则PDE的周长是_______．cm．
（2）已知：如图，EF //CD，1+2=180．
①判断GD与CA的位置关系，并说明理由．
②若DG平分CDB，若ACD=40，求A的度数．
9例题6:
（2022•徐汇区西南模范中学期末）如图，ABC 中，D为BC边上一点，BE⊥AD，交AD
的延长线于点E，CF ⊥ AD于F ，BE =CF．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）若BC =2AC，求证：AF =ED．
练习6:
如图，在RtABC与RtADE 中，C =E=90，BC = DE ，BC 与DE 交于点F ，且
BAE =DAC ，
求证：（1）B=D；
（2）BF =DF．
10例题7:
（2022•嘉定区上海外国语实验学校期末）在ABC 中，B=C ，点D 在BC 边上，
BAD=50（如图1)．
（1）若E在ABC 的AC 边上，且ADE=B，求EDC的度数；
（2）若B=30，E在ABC 的AC 边上，ADE是等腰三角形，求EDC的度数；（简写
主要常规讲解过程即可）；
（3）若AD将ABC 分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求B的度数．（直接写
出答案）．
11练习7:
如图，在ABC 中，D，E分别是AB，AC 边上的点（不与端点重合），连接DE，AED=B，
DF平分BDE交射线BC于点F ，连接EF．
（1）若C =50，求BDE的度数；
（2）若ACB=DFE．
①求证：FED=FDE；
②延长FD至点G ，连接EG ，若A=2G，5FED−3DEG=180，求G与C之间
的数量关系．
12知识加油站 3——证明举例动点问题
考点三：证明举例动点问题
知识笔记3
动点问题
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段上运动的一类开放性题目解
决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
例题8:
（2022•杨浦区期中）已知ABC ，ACB=90，AC =BC =4，D是射线CB上一点，联结
AD，将AD绕点A逆时针旋转90，点D落在点E处，联结BE交射线AC 于点F ．
（1）如图1，当点D与点C重合时，求AF 的长；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，联结CE ，在点D的运动过程中，请问AEC 的面积
是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由；
（3）当BD=1时，求AF 的长．
13练习8:
如图，在等边ABC 中，AM 为BC边上的中线，动点D在直线AM 上时，以CD为边在CD
的下方作等边CDE，联结BE．
（1）CAM =__________度；
（2）当点D在线段AM 上时，求证：ADC BEC；
（3）当动点D在直线AM 上时，设直线BE与直线AM 的交点为O，试判断AOB的度数
是否会发生变化？请说明理由．
14全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2022•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D．相等的两个角是对顶角
（2）下列说法中，正确的有( )
①两边及一内角相等的两个三角形全等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③等腰三角形两腰上的高相等；
④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果那么 ”
的形式，再指出命题的条件和结论．
①同号两数的和一定不是负数；
②若x=2，则1−5x=0；
③延长线段AB至C，使B是AC 的中点；
④互为倒数的两个数的积为1．
15练习3:
如图，ABC 的内角ABC的平分线与外角ACG的平分线交于点D，过点D作BC的平
行线交AB于E，交AC 于F ．试判断EF与BE，CF 之间的关系，并说明理由．
练习4:
判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）
（1）若 a2 =3，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF ⊥ AD，垂足分别为点E，F ，且BE =CF．则AD是ABC
的中线．
关卡二
练习5:
如图，在ABC 中，BE，CE ，CD分别平分ABC，ACB，ACF ，AB//CD，下列
结 论 ： ① BDC =BAC ； ② BEC =90+ABD ； ③ CAB=CBA ； ④
ADB+ABC =90，其中正确的为( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
16练习6:
（2021•普陀区期末）已知：如图，在ABC 中，C =90，AC =BC =4，点M 是边AC
上一动点（与点A、C不重合），点N 在边CB的延长线上，且AM =BN ，连接MN 交边AB
于点P．
（1）求证：MP= NP；
（2）若设AM = x，BP= y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当BPN 是等腰三角形时，求AM 的长．
17
