FY25暑假初二B02一元二次方程的概念及基本解法教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

05A 一元二次方程的概念及基本解法 考情链接 1. 本次任务由四个部分构成 （1）一元二次方程的概念 （2）一元二次方程的一般式 （3）一元二次方程的解 （4）直接开平方法 2. 考情分析 （1）一元二次方程的概念是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值 约10%。 （2）主要考察一元二次方程的概念、方程的解、直接开平方法，以选择题、填空题为主， 方程的解、直接开平方法考察解答题。 （3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第一节。 （4）一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方 程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是 开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法， 公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：一元二次方程的概念 20分钟 切片2：一元二次方程的一般式 20分钟 切片3：一元二次方程的解 20分钟 切片 4：直接开平方法 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——一元二次方程的概念【建议时长：20分钟】 考点一：一元二次方程的判断 知识笔记1 一元二次方程的概念 （1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做_____________； （2）一元二次方程：只含有__________________，且________________是_________的 ________________称作一元二次方程． 【填空答案】 （1） 整式方程 （2）一个未知数；未知数的最高次数；2；整式方程 例题1: （1）（★★☆☆☆）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． ①2x+3y2 =9； ②(x−3)(x−3)=x2 −x； 4 ③ 3(x−2)(x−1)=0； ④ −2=0； x2 ⑤3x2 −2 x =2 ； ⑥ax2 +b=0；（a,b为已知数）； ⑦3x2+2y+2=2y． （2）（★★☆☆☆）判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程． ①ax2 −x− 2x+ 3x2 +b=c（a,b,c为有理数）； ②( 2m2 +m−3 ) xm+1+5x=13． 【常规讲解】 （1）③和⑦是一元二次方程 ①中两个未知数，是二元二次方程；②中对式子进行整理，两边x2 项都消去了，剩下−x=−9， 为一元一次方程；④式方程；⑤方程；⑥中未明确说明a0，不可判定为一元二次方程；⑦ 化简即为3x2 +2=0，是一元二次方程． 2（2）①首先将方程整理成一般形式，即为： ( a+ 3 ) x2 − ( 1+ 2 ) x+b−c=0， 根据二次项系数是否为0进行分类讨论，可知：a为有理数，所以a+ 30，即a− 3， 是一元二次方程； ②m+12时，显然不是一元二次方程；m+1=2，即m=1时，此时二次项系数 2m2 +m−3=0，也不为一元二次方程；可知方程②不是一元二次方程． 练习1: 【学习框8】 2 （★★☆☆☆）关于x的方程：① ax2 +bx+c=0；②x2 + −4=0；③2x2 −3x+1=0；④ x x2 −2+x3 =0．其中是一元二次方程的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【常规讲解】 解：①ax2 +bx+c=0，当a=0时，该方程不是一元二次方程； 2 ②x2 + −4=0属于分式方程； x ③2x2 −3x+1=0符合一元二次方程的定义； ④x2 −2+x3 =0的最高次数是3，属于一元三次方程； 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 考点二：一元二次方程的定义求参数 知识笔记2 一元二次方程的满足条件： （1）__________________________； （2）__________________________． 【填空答案】 （1）二次项系数不为0 （2）为最高项次数=2 3例题2 （1）（★★☆☆☆）已知方程(a+2)x|3a|−4 +6ax+1=0是关于x的一元二次方程，求a的值． （2）（★★★☆☆） 方程(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0 ①m为何值时，方程是一元二次方程； ②m为何值时，方程是一元一次方程． 【常规讲解】 （1）解： 方程(a+2)x|3a|−4 +6ax+1=0是关于x的一元二次方程， |3a|−4=2且a+20， 解得：a=2． （2）解：① 关于方程(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0是一元二次方程， m2 −7=2且m−30， 解得m=−3． 故m为−3时，方程是一元二次方程； ② 关于(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0是一元一次方程， m−3=0且m−20或m2 −7=1或m2 −7=0， 解得m=3或m=2 2或m= 7 故m为3或2 2或 7时，方程是一元一次方程． 练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区大同中学月考）已知关于x的方程(m−1)xm2+1+2x−3=0是 一元二次方程，则m的值为_______． （2）（★★★☆☆）k取何值时，关于x的方程(k2 −1)x2 +2(k+1)x+3(k−1)=0 ①是一元一次方程？ ②是一元二次方程？ 【常规讲解】 （1）解：由一元二次方程的定义得：m2 +1=2，且m−10， 解得：m=−1． 4故答案为：−1． （2）解：① 要使方程是一元一次方程，则k2 −1=0且2(k+1)0， k =1且k −1，k =1； ②要使方程是一元二次方程，则k2 −10， 知识加油站 2——一元二次方程的一般式【建议时长：20 分钟】 考点三：一元二次方程系数 知识笔记3 一元二次方程的一般式 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2 +bx+c=0_________的形式，这种形式简称 为一元二次方程的一般式．其中ax2叫做_________，a是_________；bx 叫做_________， b是一次项系数；c叫做_________． 【填空答案】 （a≠0）；二次项；二次项系数；一次项；常数项。 例题3: （1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区进才实验中学月考）一元二次方程(1+3x)(x−3)=2x2 +1 的一次项系数为_________． （2）（★★☆☆☆）一元二次方程3x(x−1)=2(x+2)化为一般形式后二次项系数是_________， 一次项是_________． （3）（★★☆☆☆）一元二次方程4x−x2 =3 中，当二次项系数是−1时，一次项系数是 _________、常数项是_________． 【常规讲解】 （1）解：(1+3x)(x−3)=2x2 +1， x−3+3x2 −9x−2x2 −1=0， 5x2 −8x−4=0， 故一元二次方程(1+3x)(x−3)=2x2 +1的一次项系数为−8． 故答案为：−8． （2）解：将方程整理为一般式，得：3x2 −5x−4=0， 所以二次项系数是3，一次项是−5x， 故答案为：3、−5x． （3）解：4x−x2 =3， −x2 +4x−3=0， 故当二次项系数是−1时，一次项系数是4、常数项是−3． 故答案为：4；−3． 练习3: 【学习框12】 （★★☆☆☆）判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项： （1）3y=4y(2− y)； （2）2a(a+5)=10； （3）x2(3+x)+1=5x； （4）3+2m2 =2(2m−3)． 【常规讲解】 解：（1）原方程整理，得：4y2 −5y=0，是一元二次方程， 二次项系数为4，一次项系数为−5，常数项为0； （2）原方程整理，得：a2 +5a−5=0，是一元二次方程； 二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为−5； （3）方程整理，得：x3 +3x2 −5x+1=0，不是一元二次方程， 三次项系数为1，二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为1； （4）方程整理，得：2m2 −4m+9=0，是一元二次方程， 二次项系数为2，一次项系数为−4，常数项为9． 6例题4: （1）①（★★☆☆☆）若m2x2 −(2x+1)2 +(n−3)x+5=0是关于x的一元二次方程，且不含x 的一次项，则m=_______，n=_______． ②（★★☆☆☆）已知关于x的一元二次方程(a−3)x2 −2x+a2 −9=0的常数项是 0，则a= _______． （2）①将一元二次方程(x+a)2 =b，化成x2 −8x−5=0的形式，则a，b的值分别是( ) A．−4，21 B．−4，11 C．4，21 D．−8，69 ②（★★★☆☆）一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式2x2 −3x−1=0，试求 a、b、c的值． ③（★★☆☆☆）（2022•徐汇区南洋模范中学月考）若一元二次方程x2 −ax=2a−1的各项系 3 数的和为 ，则a=_________． 2 【配题说明】一元二次方程化简成一般式对应系数求参 【常规讲解】 （1）①解：由m2x2 −(2x+1)2 +(n−3)x+5=0知， 根据题意知，m2 −40，n−7=0， 解得m2，n=7． 故答案是：2，7． ②解： 关于x的一元二次方程(a−3)x2 −2x+a2 −9=0的常数项是0， a2 −9=0，即a=3或a=−3， 当a=3时，方程为−2x=0，不符合题意， 则a=−3． 故答案为：−3． （2）①解：(x+a)2 =b， 则x2 +2ax+a2 =b， x2 +2ax+a2 −b=0， 由题意得：2a=−8，a2 −b=−5， 7解得：a=−4，b=21， 故选：A． ② 解 ： 一 元 二 次 方 程 a(x−1)2 +b(x−1)+c=0 化 为 一 般 形 式 后 为 ax2 −(2a−b)x−(b−a−c)=0， 一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式后为2x2 −3x−1=0，得 a=2 a=2   2a−b=3 ，解得b=1 ．   b−a−c=1 c=−2 ③解：移项，得x2 −ax−2a+1=0． 3 由各项系数的和为 ，得 2 3 1−a−2a+1= ． 2 1 解得a= ． 6 1 故答案为： ． 6 练习4: 【学习框14】 （1）①（★★★☆☆）（2023•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程(m−3)x2 −3x+m2 =9的 常数项为0，则m=_______． ②（★★★☆☆）若关于x的一元二次方程(m−1)x2 +2x+m2 −1=0的常数项为0，则m的值 是_______． （2）①（★★★☆☆）把方程3x2 +x=2(x−2)化成ax2 +bx+c=0的形式，则a，b，c的值 分别为( ) A．3，1，4 B．3，−1，4 C．3，−1，−4 D．3，4，−1 ②（★★★☆☆）一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式后为2x2 −3x−1=0， a+b 试求 的值． c ③（★★★☆☆）设 a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项，且满足 (a−3)4 + b+2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程． 8【配题说明】一元二次方程化简成一般式对应系数求参 【常规讲解】 （1）①解：方程整理得：(m−3)x2 −3x+m2 −9=0， 由常数项为0，得到m2 −9=0， 解得：m=3（舍去）或m=−3， 则m=−3， ②解：根据题意得： m2 −1=0 ， 解得：m=1或m=−1， 当m=1时，方程为2x=0，不合题意， 则m的值为−1， 故答案为：−1 故答案为：−3 （2）①解：将原方程转化为一般形式为3x2 −x+4=0， a=3，b=−1，c=4． 故选：B． ②解：原方程可化为： ax2 −(2a−b)x+a−b+c=0， 由题意得，a=2，2a−b=3，a−b+c=−1， 解得：a=2，b=1，c=−2， a+b 3 =− c 2 ③ (a −3)4  0 ， b+20，|a+b+c|0， 又 (a−3)4 + b+2+|a+b+c|=0， a−3=0，b+2=0，a+b+c=0， a=3，b=−2，c=−1， 满足条件的一元二次方程是3x2 −2x−1=0． 9知识加油站 3——一元二次方程的解【建议时长：20分钟】 考点四：一元二次方程的根 知识笔记4 一元二次方程的解 能够使一元二次方程____________________________叫做方程的解．只含有一个未知数的方 程，它的解又叫做__________． 【填空答案】 左右两边的值相等的未知数的值；方程的根 （老师可以在此提问学生解和根有什么区别？） 答：根与解的区别主要体现在一元方程与多元方程上。 对于一元方程，方程的根和解是相同的，都指的是使方程成立的未知数的值。 对于多元方程，方程的解和根是有区别的，多元方程通常不含根的概念，因为它们涉及多个 未知数,在这种情况下，方程的解是指满足方程所有条件的未知数的整体集合，而不仅仅是 单个值。 例题5: （★★☆☆☆）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． （1）2x2 −2=3x(− 1 ，2)； （2）(2x− 3)2 =3 ( 3，− 3 ) ． 2 【常规讲解】 1 （1）将x=− 代入原方程， 2  1 2 3  1 3 左边=2−  −2=− ，右边=3− =− ，  2 2  2 2 1 左边 = 右边，所以− 是原方程的根；将x=2代入原方程， 2 左边=222 −2=6，右边=32=6，左边 = 右边， 所以2是原方程的根； （2）将x= 3代入原方程， 10( )2 左边= 2 3− 3 =3，右边=3， 左边 = 右边，所以 3是原方程的根； ( )2 将x=− 3代入原方程，左边= −2 3− 3 =27，右边=3，左边右边， 所以− 3不是原方程的根． 练习5: 【学习框16】 （★★☆☆☆）检验−3和 1 是不是方程4x2 −9=2x−7的解？检验结果是：__________是这 个方程的解． 【常规讲解】 解：当x=−3时，左边=49−9=−27，右边−6−7=−13，左边右边，所以x=−3不是原 方程的解； 当x=1时，左边=4−9=−5，右边=2−7=−5，左边=右边，所以x=1是原方程的解； 综上所述，x=1是原方程的解． 故答案为：x=1． 考点五：一元二次方程求参 例题6: （1）（★★☆☆☆）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）若关于x的一元二次方程 (m−1)x2 +3x+m2 −1=0有一根为0，则m=________． （2）（★★☆☆☆）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）关于x的方程3x2 +mx−1=0的一 个根是2，则m=________． 【常规讲解】 （1）解：把x=0代入方程得m2 −1=0，解得m=1， 而m−10， 所以m=−1． 故答案是：−1． （2）解：把x=2代入方程3x2 +mx−1=0，得 1112+2m−1=0， 11 解得m= ． 2 11 故答案为： ． 2 练习6: 【学习框18】 （1）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）关于x的一元二次方程(a− 2)x2 +x+a2 −2=0的一 个根是0，那么a的值是________． （2）（★★★☆☆）（2022•普陀区期中）关于x的一元二次方程x2 −(m−2)x−2m=0有一个根 为2，那么m的值为________． 【常规讲解】 （1）解：依题意得a2 −2=0，且a− 2 0， 解得a=− 2． 故选：− 2． （2）解： 关于x的一元二次方程x2 −(m−2)x−2m=0有一个根为2， 22 −2(m−2)−2m=0 ， 整理，得−4m+8=0， 解得m=2． 故答案是：2． 考点六：整体法求值 例题7： （1）（★★★☆☆）如果a+b+c=0，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0，必有一个根是 ________． （2）（★★★☆☆）（2023 秋•杨浦区期中）已知a为方程x2 −3x−6=0的一个根，则代数式 6a−2a2 +2023的值. 12a2 +1 （3）（★★★☆☆）已知a是方程x2 −2023x+1=0的一个根，则a3 −2023a2 + 的值. 2023 【常规讲解】 （1）解：由题意，一元二次方程ax2 +bx+c=0满足a+b+c=0 ， 当x=1时，代入方程 ax2 +bx+c=0 ，有 a+b+c=0 ； 综上可知，方程必有一根为1． 故答案为：1． （2）解： a是方程x2 −3x−6=0的一个根， a2 −3a−6=0， a2 −3a=6， 6a−2a2 +2023 =−2(a2 −3a)+2023 =−26+2023 =2011． 故答案为：2011． （3）解： a是方程x2 −2023x+1=0的一个根， a2 −2023a+1=0， a2 +1 a2 −2023a=−1，a= ， 2023 a2 +1 a3 −2023a2 + =a(a2 −2023a)+a=−a+a=0． 2023 故答案为：0． 练习7：【学习框20】 （1）①（★★★☆☆）（2023秋•静安区校级期中）如果a+b=−c，则方程ax2 +bx+c=0必 有一解为x=__________． ②（★★★☆☆）在一元二次方程ax2 +bx+c=0中，若a、b、c满足关系式a−b+c=0， 则这个方程必有一个根为__________． （2）（★★★☆☆）（2022 秋•长宁区校级期中）a是方程x2 +x−1=0的一个根，则代数式 −2a2 −2a+2022值是__________． 13（3）①（★★★★☆）（2020•金山区期中）若关于 x 的方程 ax2 +bx+c=0(a0) 满足 a−b+c=0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2 −1999ax+1=0(a0)是“月亮”方程， 1999a 求a2 +1999a+ 的值为( ) a2 +1 A．0 B．2 C．1 D．−2 2018 ②（★★★★☆）已知a是方程x2 −2018x+1=0的一个根，求a2 −2017a+ 的值． a2 +1 【常规讲解】 （1）①解： ax2 +bx+c=0，若a+b+c=0， 当x=1时，a+b+c=0， 此方程必有一个根为1， 故答案为：1． ②解： a是方程x2 +x−1=0的一个根， a2 +a−1=0， 整理得，a2 +a=1， −2a2 −2a+2022=−2(a2 +a)+2022 =−21+2022 =2020． 故答案为：2020． （2）解：由题意，一元二次方程ax2 +bx+c=0，满足a−b+c=0， 当x=−1时，一元二次方程ax2 +bx+c=0即为：a(−1)2 +b(−1)+c=0； a−b+c=0， 当x=1时，代入方程ax2 +bx+c=0，有a+b+c=0； 综上可知，方程必有一根为−1． 故答案为：−1． （3）① 方程a2x2 −1999ax+1=0(a0)是“月亮”方程， a2 +1999a+1=0， a2 +1999a=−1，a2 +1=−1999a， 141999a 1999a a2 +1999a+ =−1+ =−1−1=−2．  a2 +1 −1999a 故选：D． ②解： a是方程x2 −2018x+1=0的一个根， x2 −2018x+1=0， a2 =2018a−1， 2018 2018 a2 −2017a+ =2018a−1−2017a+ a2 +1 2018a−1+1 1 =a−1+ a a2 +1 = −1 a 2018a−1+1 = −1 a =2018−1 =2017． 知识加油站 4——直接开平方法【建议时长：30分钟】 考点七：用开平方解方程 知识笔记5 直接开平方法 如果一元二次方程的一边是，另一边是______________，那么就可以用直接开平方法求解， 这种方法适合形如______________的形式求解． 【填空答案】 含有未知数的代数式的平方；一个非负的常数；(x+h)2 =k(k 0) 例题8: 用直接开平方法解下列方程． （1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期末）方程2x2 =1的解是_______． （2）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区新竹园中学月考）方程 x2 − 64 =0的两根为 x = 1 15_______，x =_______． 2 （3）（★★★☆☆）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）解方程：3(x−1)2 +1=16． （4）（★★★☆☆）（2021•徐汇区徐汇中学期中）解方程： 2(6−x)2 =128 2 ． 【常规讲解】 （1）解：2x2 =1， 1 x2 = ， 2 2 x= ， 2 2 2 所以x = ，x =− ． 1 2 2 2 2 2 故答案为：x = ，x =− ． 1 2 2 2 （2）解：移项得：x2 =8， 开方得：x=2 2 ， 即x =2 2，x =−2 2， 1 2 故答案为：2 2，−2 2 ． （3）解：3(x−1)2 +1=16， 3(x−1)2 =15， (x−1)2 =5， x−1= 5 解得：x =1+ 5 ，x =1− 5． 1 2 （4）解： 2(6−x)2 =128 2 ， (x−6)2 =128， x−6=8 2， x =6+8 2，x =6−8 2 ． 1 2 练习8：【学习框22】 用直接开平方法解下列方程． （1）（★★☆☆☆）x2 −9=0． 16（2）（★★☆☆☆）4(x−2)2 −36=0． （3）（★★☆☆☆）解关于x的方程：9x2 − 625 =0． （4）（★★★☆☆）（2021•静安区民立中学月考）解方程： 2(2x−5)2 =9 2． 1 （5）（★★★☆☆）（2022•嘉定区月考）解方程： (2x−2)2 −16=0． 3 【常规讲解】 解：（1） x2 −9=0，x2 =9， x=3． （2） 4(x−2)2 −36=0， (x−2)2 =9， x=5或x=−1． 625 25 25 （3）整理方程，即得x2 = = ，直接开平方法解方程，得：x= ， 9 9 9 5 5 即方程两根为x = ，x =− 1 3 2 3 （4）解： 2(2x−5)2 =9 2， (2x−5)2 =9， 则2x−5=3或2x−5=−3， 解得x =4，x =1． 1 2 1 （5） (2x−2)2 −16=0， 3 (2x−2)2 =48， 2x−2=4 3， x=12 3 例题9： （1）（★★★☆☆）（2021•徐汇区南洋模范中学月考）解方程：4(x+1)2 −9(x−2)2 =0 （2）（★★★☆☆）（2023•长宁期中）解方程：(x−1)2 =9(2x+5)2 17【配题说明】特殊两边开平方题型 【常规讲解】 （1）解：4(x+1)2 =9(x−2)2， 2(x+1)=3(x−2)， 4 x =8，x = ． 1 2 5 （2）解：(x−1)2 =9(2x+5)2 ， x−1=3(2x+5) 或x−1=−3(2x+5) ， 16 解得，x =− ，x =−2； 1 5 2 练习9：【学习框24】 （1）（★★★☆☆）解一元二次方程(3x−1)2 −(x+1)2 =0 （2）（★★★☆☆）（2021•青浦期中）解一元二次方程(x+3)2 =(3x−5)2 【配题说明】特殊两边开平方题型 【常规讲解】 （1）解：(3x−1)2 −(x+1)2 =0， 平方差因式分解得：  (3x−1)−(x+1)    (3x−1)+(x+1)  =0， 整理得： (2x−2)4x=0， ∴原方程的解为：x =1，x =0； 1 2 （2）解：(x+3)2 =(3x−5)2 两边同时开方，得x+3=(3x−5) ， 则x +3=3x −5或x +3=−3x +5， 1 1 2 2 考点九：开平方法解含参方程 例题10: （1）（★★★☆☆）解关于 x的方程x2 −2kx−2=0． 18（2）（★★★☆☆）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程：ax2 −1=1−x2 ． 【常规讲解】 （1）整理方程，得x2 −2kx+k2 =k2 +2，即(x−k)2 =k2 +2，直接开平方法解方程，即得 x−k = k2 +2 ，即得方程两根为x =k+ k2 +2，x =k− k2 +2． 1 2 （2）解：ax2 −1=1−x2 ，(a+1)x2 =2， 当a=−1时，方程无解； 2 当a−1时，x2 = ， a+1 a+10时，方程没有实数解； 2 2a+2 a+10，x= = ， a+1 a+1 2a+2 2a+2 即x =− ，x = ， 1 a+1 2 a+1 2a+2 2a+2 综上所述，a＝1时，方程没有实数解；a−1时，x =− ，x = ． 1 a+1 2 a+1 练习10: 【学习框26】 （★★★☆☆）（2021•闵行区期末）解关于 x的方程：a2x2 −1=−x2 ． 【常规讲解】 解：当a=0时，−1=−x2 ，即x2 =1． 解得x =1，x =−1； 1 2 当a0时，a2x2 −1=−x2 ，即(a2 +1)x2 =1． 1 所以x2 = ． a2 +1 1+a2 1+a2 解得x = ，x =− ． 1 1+a2 2 1+a2 综上所述， x的值是1或−1或 1+a2 或− 1+a2 1+a2 1+a2 19考点十：韦达定理 例题11: （阅读材料．材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两个根为x，x，则 1 2 b c x +x =− ，xx = ． 1 2 a 1 2 a (1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x，x，则x +x =______，xx = 1 2 1 2 1 2 _______． (2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且mn，求 m2n+mn2的值． (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st1，求 2st+7s+2 的值 t 【常规讲解】 解：（1） 一元二次方程5x2 +10x−1=0的两个根为x ，x ， 1 2 1 x +x =−2，xx =− ． 1 2 1 2 5 1 故答案为：−2，− ． 5 （2） 7m2 −7m−1=0，7n2 −7n−1=0，且mn， m、n可看作方程7x2 −7x−1=0， 1 m+n=1，mn=− ， 7 m2n+mn2 =mn(m+n) 1 =− 1 7 1 =− ． 7 （3）把t2 +7t+7=0，两边同时除以t2得： 1 1 7( )2 +7 +1=0， t t 1 则实数s和 可看作方程7x2 +7x+1=0的根， t 201 1 1 s+ =−1，s = ， t t 7 2st+7s+2  t s 2 =2s+7 + t t 1 s =2(s+ )+7 t t 1 =2(−1)+7 7 =−2+1 =−1． 练习11: 【学习框28】 （2022•静安期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾 股圆方图注》对x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) 给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始 你的探索之旅． (1)用x,x 表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 1 2 一元二次方程 x +x x x 1 2 1 2 4x2− p2 =0(p0) 0 ① x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) ② ③ 6 1 5x2−6x+1=0 5 5 (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于ax2+bx+c=0(a0) ，若b2−4ac0，则x +x = 1 2 ______；x x =______．（用含a,b,c的代数式表示）． 1 2 (3)设,是方程2x2−2x−1=0的两个实根，利用上述结论求2+2的值． ax3+bx2+cx+d =0(a0) (4) 类 比 探 索 ， 若 一 元 三 次 方 程 可 以 转 化 为 a(x−x )(x−x )(x−x )=0 x +x +x = x x x = a,b,c,d 1 2 3 ，则 1 2 3 ______； 1 2 3 ______（用含 的代 数式表示）． 【常规讲解】 p2 解：（1）①x x =− ，②x +x =−p，③x x =q． 1 2 4 1 2 1 2 p2 所以：①− ，②−p，③q； 4 21b c （2）x +x =− ；x x = ； 1 2 a 1 2 a b c 故答案为：− ， ； a a （3） ，是方程2x2 −2x−1=0的两个实根， 1 +=1，=− ． 2 2+2 =(+) 1 =1(− ) 2 1 =− ； 2 （4） −axx x =d， 1 2 3 d xx x =− ， 1 2 3 a −a(x +x +x )=b， 1 2 3 b x +x +x =− ， 1 2 3 a b d 故答案为：− ；− ． a a 22全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）下面关于 x 的方程中：①ax2 +bx+c=0；②3(x−9)2 −(x+1)2 =1； 1 ③x2 + +5=0；④x2 +5x3 −6=0；⑤3x2 =3(x−2)2；⑥12x−10=0．是一元二次方程个 x 数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（★★☆☆☆）关于 x 的方程3x2 −2(3m−1)x+2m=15有一个根−2，则 m 的值等于( ) 1 1 A．2 B．− C．−2 D． 2 2 【常规讲解】 1 （1）解：关于 x 的方程中：①ax2 +bx+c=0；②3(x−9)2 −(x+1)2 =1；③x2 + +5=0； x ④x2 +5x3 −6=0；⑤3x2 =3(x−2)2；⑥12x−10=0．只有②是一元二次方程．故选：A． （2）解：把x=−2代入方程3x2 −2(3m−1)x+2m=15得 34−2(3m−1)(−2)+2m=15 ， 1 解得m= ． 2 故选：D． 练习2: （★★★☆☆）已知关于 x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0． （1）当 m 为何值时，该方程为一元二次方程？ （2）当 m 为何值时，该方程为一元一次方程？ 【常规讲解】 解：（1） 关于x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0为一元二次方程， m2 −10，解得m1， 即当m1时，方程为一元二次方程； （2） 关于 x 的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0为一元一次方程， 23m2 −1=0，且m−10，解得m=−1， 即当 m 为−1时，方程为一元一次方程． 练习3: （★★★☆☆）分别根据下列条件，写出关于 x 的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的一般形 式： （1）a=2 ， b=3 ， c=1 ； 1 3 2 （2）a=− ，b= ，c= 2 4 5 【常规讲解】 解：（1）当a=2，b=3，c=1时，一元二次方程是2x2 +3x+1=0； 1 3 2 1 3 2 (2)a=− ，b= ，c= 时，一元二次方程是− x2 + x+ =0． 2 4 5 2 4 5 练习4: （1）（★★★☆☆）解下列方程：(x−2)2 −9=0． （2）（★★★☆☆）解下列方程：(2y−3)2 −64=0． （3）（★★★☆☆）解关于 x 的方程：4(2x−5)2 =9(3x−1)2． 【常规讲解】 （1）解： (x−2)2 −9=0， (x−2)2 =9， x−2=3， x−2=3或x−2=−3， 解得：x =5，x =−1． 1 2 （2）解：方程整理得：(2y−3)2 =64， 开方得：2y−3=8或2y−3=−8， 解得：y =5.5或y =−2.5 （3）整理方程，即为2(2x−5) 2 =3(3x−1) 2 ，直接开平方法解方程，即得     242(2x+5)=3(3x−1) ，得2(2x+5)=3(3x−1) 或2(2x+5)=−3(3x−1) ，解得方程两根分为 13 7 x = ，x =− ． 1 5 2 13 练习5: 1 1 （★★★☆☆）（2020•杨浦区期中）若关于 的一元二次方程a(x−m)2 =3的两根为  3， x 2 2 其中a、m为两数，则a=_______，m=_______． 【常规讲解】 解： a(x−m)2 =3， 3 (x−m)2 = ， a 3 则x−m= ， a 3 x=m ， a 1 根据题意知m= ，a=4， 2 1 故答案为：4， ． 2 关卡二 练习5: x a （★★★★☆）若 x2a+b −2xa+b +3=0是关于 的一元二次方程，求 ，b的值． 【常规讲解】 x2a+b −2xa+b +3=0 x 解： 是关于 的一元二次方程，  ①  2a+b=2 ，解得   a=1 ； a−b=1 b=0  2 a=  ②  2a+b=2 ，解得   3 ； a−b=0 b= 2  3 ③2a+b=1 ，解得 a=1 ；   a−b=2 b=−1 25 2 a =  ④  2a+b=0 ，解得   3 ； a−b=2 b=− 4  3  4 a =  ⑤  2a+b=2 ，解得   3 ； a−b=2 b=− 2  3  2  2  4 a= a = a =    a=1  3 a=1  3  3 综上所述  ， ，  ， ， ． b=0 b= 2 b=−1 b=− 4 b=− 2  3  3  3 练习6: a （★★★★☆）已知 为方程2x2 −3x−1=0的一个根，求代数式(a+1)(a−1)+3a(a−2)的值． 【常规讲解】 =a2 −1+3a2 −6a 解：原式 =4a2 −6a−1 ， a 2x2 −3x−1=0 为方程 的一个根， 2a2 −3a=1 ， 原式=2(2a2 −3a)−1 =21−1 =2−1 =1． 26