文档内容
03B 一元二次方程的解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）因式分解法
（2）配方法
（3）求根公式法
2. 考情分析
（1）一元二次方程的解法是一元二次方程的重要部分，属于方程与代数式板块，占中考考
分值约20%。
（2）主要考察一元二次方程的三种解题方法，以考察解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节一元二次方程的解法。
（4）利用因式分解法、配方法及求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章
第二节内容，主要对一元二次方程因式分解、配方法和求根公式法三种解法进行讲解，重点
是对一元二次方程这三种解法的原理和过程的理解，难点是这三种解法在解一元二次方程
中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习根的判别式提供依据，另一方面也
为后面学习一元高次方程奠定基础。
1知识加油站 1——因式分解法
考点一：因式分解法解一元二次方程
知识笔记1
1. 因式分解法定义
运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做__________．
2. 因式分解法理论依据
（1）当AB=0时，必有A=0或B=0；当A=0或B=0时，必有AB=0．
（2）通过因式分解，把________________________________________的形式，从而把解一
元二次方程的问题转化为解___________的问题．
3. 解一元二次方程一般步骤
（1）将方程____________________；
（2）将方程左边的二次三项式分解为____________________；
（3）令每一个因式分别为零，得到两个____________；
（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是__________原方程的解．
例题1:
（1）（2022•青浦区东方中学期末）方程(x+1)(x−2)=0的解是________．
（2）（2022•杨浦区期末）方程x(x+3)=4(x+3)的解是________．
（3）（2023秋•崇明区期末）方程x(2x−1)=2x−1的解为________．
（4）用因式分解法解方程：4x(3x+2)−(2x−5)(3x+2)=0
2练习1:
（1）方程(x−4)(x+3)=0的解是________________．
（2）方程x(3x+2)−6(3x+2)=0的根是________________．
（3）（2021•宝山区期末）方程2(x−3)=x(x−3)的根________________．
（4）（2023•浦东新区校级期末）用因式分解法解方程：(2x−1)2 =3(1−2x)
例题2:
（1）用因式分解法解方程：(x+1)2 =4x2；
（2）用因式分解法解方程：2a2 =8
练习2:
（1）用因式分解法解方程： ( m2−3 )2 −4m2=0．
（2）用因式分解法解方程：x2 =36
3例题3:
（1）（2023·奉贤期中）用因式分解法解方程：
①x2−4x−96=0 ②2x2−3x−5=0
（2）（2022•青浦区东方中学期中）用因式分解法解方程：4x2 −(x−2)2 =3．
（3）（2023•金山区校级月考）用因式分解法解方程：(x+1)2 −4(x+1)=12
练习3:
（1）（2023•普陀区期中）用因式分解法解方程：
①3x2 −7x+2=0 ②2x2 −7x−4=0
（2）①（2023•闵行期末）用因式分解法解方程： (x+1)(x−3)=5
②（2023•宝山区校级月考）用因式分解法解方程：(x+1)(x−4)=x2 +2．
（3）①用因式分解法解方程：3(2−x)2 +3(x−2)−10=0．
②用因式分解法解方程：(x−2)2 −4(x−2)=12．
4考点二：因式分解解一元二次方程新定义题型
例题4:
（2022•奉贤区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这
两个方程为“同伴方程”．例如x2 =4和(x−2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x=2，所
以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有________（只填写序号即可）
①(x−1)2 =9
②x2 +4x+4=0
③x2 +2x−8=0
（2）关于x的一元二次方程x2 −2x=0与x2 +x+m−1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)同时满足a−b+c=0和9a+3b+c=0，
且与(x−n)(x+3)=0互为“同伴方程”，求n的值．
练习4:
如果关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大
1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2 +x=0的两个根是x =0，
1
x =−1则方程x2 +x=0是“邻根方程”．
2
（1）通过计算，判断x2 −x−6=0是否为“邻根方程”：
（2）已知关于x的方程x2 −(m−1)x−m=0(m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
5知识加油站 2——配方法
考点三：配方法解一元二次方程
知识笔记2
1. 配方法定义
先把方程中的________，把________，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫
__________．
2. 配方法理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式：________________．
3. 配方法解一元二次方程步骤
（1）_____________：即方程左右两边同时除以二次项系数；
（2）移项 :___________________；
（3）配方：___________________，把原方程化成______________的形式；
当n0时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
例题5:
（1）用配方法解方程：
①x2 −2x−5=0．
②x2 +2=2 2x．
③x2 −2x−399=0．
6（2）①（2022秋•徐汇区校级期中）用配方法解：3x2 −2x−7=0．
②（2022•徐汇区期末）用配方法解方程：2x2 +6x−1=0．
1
③（2022•黄浦区期中）用配方法解方程： x2 −2x−3=0．
2
（3）（2023秋•闵行区期中）解方程：2x(x−3)=(x−5)2 −16
（4）用配方法解方程：(2x−3)2 −2(2x−3)−3=0（要求用整体法的思想求解）．
练习5:
（1）①（2022•黄浦区校级期末）用配方法解方程．x2 −4x+1=0．
②用配方法解方程：x2 −4 2x−2=0．
③（2023•静安区校级期中）用配方法解方程：x2 +10x−9975=0．
（2）用配方法解下列方程：①3y2 −6y−5=0．
7②3x2 −4=6x．
③2x2 +4x−7=0．
（3）（2023•闵行区期中）解方程：2x(x−3)=(x−5)2 −16
（4）用配方法解方程：(x−1)2 +2(x−1)−1=0（要求用整体法的思想求解）．
考点四：配方法的应用
例题6:
把方程x2 −2=4x用配方法化为(x+m)2 =n的形式，则mn的值是________．
练习6:
一元二次方程x2 −2x+m=0配方后得(x−1)2 =n，则m+n的值是________．
8知识加油站 3——求根公式法
考点五：求根公式法解一元二次方程
知识笔记3
1. 公式引入
一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0），可用配方法进行求解：得：__________________．
请利用配方法，解一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）.
求根公式推导：____________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
对上面这个方程进行讨论：因为a0，所以4a2 0
（1）________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
（2）_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
2. 求根公式
一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0），
当b2 −4ac0时，有两个实数根：________________________________
这就是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）的求根公式．
3. 求根公式法解一元二次方程一般步骤
（1）把一元二次方程化成_________________________；
（2）_______________________________；
（3）求出b2 −4ac的值（或代数式）；
（4）若b2 −4ac0，则把 a、b、c 及b2 −4ac 的值代入求根公式，求出 x 、 x ；
1 2
____________________
9例题7:
（1）公式法解方程：−2x2 +7x=0
（2）公式法解方程：x2 +3x−1=0
练习7:
（1）（2022•浦东新区期中）公式法解方程：y2 −2 2y−1=0
（2）公式法解方程：−7x2 +6x−9=0
（3）公式法解方程： 2x2 +4 3x−2 2 =0
例题8:
用公式法解下列方程：
（1）0.2x2 +2.5x−1.3=0.1x
(x+3)2 (3x−1)2 x(2x−3)
（2） +1− =
5 5 2
10（3）2x2 +3x+8=5x+3
练习8：
（1）（2021•普陀区培佳双语学校期中）公式法解方程：(x+5)(x−2)=1．
（2）（2022•嘉定区月考）公式法解方程：4x2 −(x−2)2 =11．
（3）(5x−3)(x+1)=(x+1)2 +5．
(x+3)2 x(2x+8)
（4） +10= ．
2 5
11考点六：换元法解一元二次方程
例题9：
（2021•上海阶段练习）解方程：3x2−2 x2−4x+7 =12x−13
练习9：
（1）（2022•闵行阶段练习）已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为______________.
（2）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．
12全真战场
关卡一
练习1:
用因式分解法及配方法解下列方程：
（1）(x+4)2 =5(x+4) （2）x2 −5x−24=0
练习2:
用配方法解下列方程：
（1）x2 −4x−1=0 （2）(x−3)(2x+1)=−5
练习3:
用公式法解下列方程：
1
（1）y2 −3y+1=0 （2）2x2 − 2x− =0
2
练习4:
用合适的方法解下列方程
（1）(2x−1)2 −25=0 （2）x2 −4x−1=0
（3）(x−3)(2x+1)=−5 （4）(4x−1)2 −10(4x−1)−24=0
13关卡二
练习5:
x
若x2 +3xy−2y2 =0，那么 =________．
y
练习6:
用配方法说明：不论 x 为何值，代数式2x2 −6x+5的值总大于0．
练习7:
阅读下面材料：方程x4 −6x2 +8=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通
常是设x2 = y，则x4 = y2，原方程可化为y2 −6y+8=0，解方程求得 y的值，进而得到
原方程的四个根x = 2 ，x =− 2，x =2，x =−2．
1 2 3 4
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解
答下列问题．
（1）解方程2(x2 +3x)2 −3(x2 +3x)−2=0；
（2）已知实数a满足(a2 + 3)2 −3a2 =10+3 3，请直接写出− 3a2 的值．
14
