FY25暑假初二A13阶段复习教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_教师版PDF

A13 阶段复习 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）阶段真题选填练习 （2）阶段真题简答题练习 （3）阶段真题综合题练习 2. 考情分析 （1）《二次根式》、《一元二次方程》、《正反比例函数》章节在真题试卷中的考察形式； （2）系统性复习二次根式、一元二次方程的概念和解法、根的判别式及其应用、二次三项 式的因式分解及其应用、正比例函数、反比例函数等知识点，结合真题试卷巩固。 环节 需要时间 课后练习讲解 10分钟 切片1：阶段真题选填练习 30分钟 切片2：阶段真题简答题练习 35分钟 切片3：阶段真题综合题练习 25分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——阶段真题选填练习【建议时长：30分钟】 考点一：阶段真题选填练习 例题1:【参考时间：15分钟】 （★★★☆☆）2023-2024年博文学校期中试卷 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） 1 1 A. B. C. 4xy D. m2 −n2 x 2 2. 下列代数式中，二次根式 m+n 的有理化因式可以是（ ） A. m + n； B. m − n ； C. m+n； D. m−n． 3. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 C. x2﹣2x+1＝0 D. 5x+2＝3x2 k 4. 反比例函数 y = 的图像与正比例函数 y =2x的图像没有交点，若点 (−3，y ) 、 1 x (−2，y )、( 1，y ) 在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（ ） 2 3 A. y > y > y B. y > y > y C. y > y > y D. y > y > y 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1 二、填空题 5. 计算： 48 =_____________ ( ) 6. 计算： 3 6− 2 ÷2 2 =_________________ 7. 方程x2 =2x的根是______． 1 8. 函数 f ( x )=3−6x，则 f   =_________________ 4 9. 函数 y =3x−7的定义域为_____________ 10. 已知正比例函数y =( 1−3m ) x，y 的值随 x 的值的增大而增大，那么 m 的取值范围是 _________________ 11. 若最简二次根式 1+2a 与 a2−2是同类二次根式，则a的值为______ 12. 不等式2x−3> 3x的解集是_________________ 13. 已知关于 y的一元二次方程 ( k−1 ) y2 +2y+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 __________． 14. 当x≤0时，化简|1-x|- x2 的结果是______． 215. 某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 10%. 从 三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率 相同，设这个增长率为 x，则根据题意可列方程为_____________________________． 3a 16. 若a是方程x2 −3x+1=0的解，计算：a2 −3a+ =______. a2 +1 17. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 x2 +x=0是“差 1方程”． 已知关于 x的方程 x2 −( m−1 ) x−m=0（m是常数）是“差1方程”，则 m的 值为_____________ 4 1 4 18. 函数y = 和y= 在第一象限内的图像如图，点P是y = 的图像上一动点，PC ⊥ x x x x 1 1 轴于点C，交y= 的图像于点A，PD⊥ y轴于点D，交y= 的图像于点B．给出如下结 x x 论：①△ODB与OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不 1 会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结论的序号是______． 3 【常规讲解】 1. 解：A、被开方数含有分母，不符合题意； 1 2 B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意； 2 2 C、 4xy =2 xy ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 m2 −n2 ，是最简二次根式，符合题意； 故选D． 2. A选项，( m+ n) m+n = m2 +mn+ mn+n2 不是有理式，故A选项错误； B选项，( m− n) m+n = m2+mn− mn+n2 不是有理式，故B选项错误； C选项，( m+n)2 =m+n 是有理式，故C选项正确； D选项， m+n⋅ m−n = m2 −n2 不是有理式，故D选项错误． 3故选C． 3. 解：A.△＝02﹣4×（﹣8）＝32＞0，所以方程有两个不相等的实数解； B.△＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数解； C.△＝（﹣2）2﹣4×1＝0，所以方程有两个相等的实数解； D.3x2﹣5x﹣2＝0，△＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数解． 故选：C．  k y = 4. 解：联立 x ，得：2x2 =k ，  y =2x k ∵反比例函数 y = 的图像与正比例函数y =2x的图像没有交点， x ∴k <0， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大， ∵−3<−2<0<1， ∴y > y >0> y ； 2 1 3 故选B． 二、填空题 5. 解： 48 = 16×3 =4 3； 故答案为：4 3． 3 3 1 3 3−1 6. 解：原式=3 6÷2 2− 2÷2 2 = − = ； 2 2 2 3 3−1 故答案为： ． 2 7. 解：x2 =2x x2 −2x=0 x ( x−2 )=0 x =0,x =2， 1 2 故答案为：x =0,x =2． 1 2 8. 解：∵ f ( x )=3−6x， 1 1 3 3 ∴ f   =3−6× =3− = ； 4 4 2 2 3 故答案为： ． 2 49. 解：函数 y =3x−7的定义域为全体实数； 故答案为：全体实数． 10. 解：∵正比例函数y =( 1−3m ) x，y的值随x的值的增大而增大， ∴1−3m>0， 1 解得：m< ． 3 1 故答案为：m< ． 3 11. ∵最简二次根式 1+2a 与 a2−2是同类二次根式， ∴1+2a=a2﹣2， 解得：a=3或a=﹣1． ∵1+2a≥0，a2﹣2≥0， ∴a=3． 故答案为：3． 12. 解：∵2x−3> 3x， ( ) ∴ 2− 3 x>3， ( ) 3 2+ 3 3 ∴x> = =6+3 3， ( )( ) 2− 3 2− 3 2+ 3 故答案为：x>6+3 3 22 −4 ( k−1 )≥0 13. 由题意得 ， k−1≠0 解得k ≤2且k ≠1． 故答案为：k ≤2且k ≠1． 14. 1−x − x2 =1−x+x=1 15. 解：根2月份生产课桌500 ( 1−10% )=450张， 设3月份、4月份的平均增长率为x，则3月份的产量是500 ( 1−10% ) (1+x)=450 ( 1+x ) ， 4月份的产量是450 ( 1+x )2 ， 所以 500 ( 1−10% )( 1+x )2 =648． 故答案为：500 ( 1−10% )( 1+x )2 =648． 16. ∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根， 5∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a 3a ∴a2 −3a+ =−1+1=0 a2 +1 故答案为0． 17. 解：设方程的两个根为 x ,x ( x < x ) ，由题意，得： x +x =m−1,x x =−m ， 1 2 1 2 1 2 1 2 x −x =1， 2 1 ∴( x −x )2 =( x +x )2 −4x x =( m−1 )2 +4m=1， 2 1 1 2 1 2 解得：m=−2或m=0， 故答案为：−2或0． 1 18. 解：∵A、B是反比函数y= 上的点， x 1 ∴S ＝S = ，故①正确； △OBD △OAC 2 4 1 a 4 设点P（a, ） 则点A（a, ），点B（ , ） a a 4 a 4 1 3 a 3a ∴PA= − = ，PB=a− = ； a a a 4 4 ∴只有当P的横纵坐标相等且为2时PA＝PB，故②错误； 4 ∵P是反比例函数y= 上的点， x ∴S ＝4， 矩形PDOC 1 1 ∴S ＝S ﹣S ﹣﹣S ＝4− − =3，故③正确； 四边形PAOB 矩形PDOC △ODB △OAC 2 2 连接OP， S PC 2 POC = = = ∵ S AC 1 4， OAC 2 1 3 ∴AC= PC，PA= PC， 4 4 PA ∴ =3， AC 1 ∴CA= AP，故④正确． 3 故答案为：①③④ 6练习1:【参考时间：15分钟】【学习框8】 （★★★☆☆） 一、选择题 1．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是（ ） A． 6 B． 9 C． 12 D． 18 2．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长 率x相同，则可列方程是（ ） A．20（1+x）2＝2880 B．20+20（1+x）2＝2880 C．20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880 D．20+20（1+x）+20（1+2x）＝2880 3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． 2x2+1 =1 B．ay2−4y+2=0 C． (x+1)(x+4)= x2 D．4x2+π=0 x 4． x−y的有理化因式是（ ） A． x−y B． x+y C． x− y D． x+ y 5．如果y关于x的函数y= ( k2+1 ) x是正比例函数，那么k的取值范围是（ ） A．k ≠0 B．k ≠±1 C．不能确定 D．一切实数 6．如果关于x的一元二次方程kx2− k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范 围是（ ） 1 1 1 1 1 A．k < B．k < 且k ≠0 C．−1≤k < 且k ≠0 D．− ≤k < 且k ≠0 3 3 3 2 2 二、填空题 7．若代数式 2x+4有意义，则实数x的取值范围是__________． 8．若最简二次根式 x+3与y+13x−5是同类二次根式，则x+y=__________． 9．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这 次会议到会人数是__________人． 10．在实数范围内分解因式：2x2−4x−1=__________． 11．计算： 8a÷ 2a ＝__________． 12．在实数范围内分解因式:x2−3x+1=__________． 13．若y与z成反比例关系，z与x成正比例关系，则y与x成__________关系. 1 14．如果 f (x)= ，那么 f (4)=__________． 3− x 715．当20 ( k+1)2>4k 1 解得−1≤k < 且k ≠0． 3 8故选C． 二、填空题 7. ∵代数式 2x+4有意义 ∴2x+4≥0 ∴x≥−2． 故答案为：x≥−2． 8. 解：∵最简二次根式 x+3与y+13x−5是同类二次根式， ∴x+3=3x−5，y+1=2， 解得x=4，y=1， ∴x+y=4+1=5， 故答案为：5． 9. 设参加会议人数为x， 1 则 x(x－1)＝66， 2 x2－x－132＝0， (x－12)(x+11)＝0， 解得x ＝12，x ＝﹣11（舍）. 1 2 故答案为12. 2+ 6 2− 6 2+ 6 2− 6 10. 解：令2x2-4x﹣1=0，则：x = ，x = ，∴2x2-4x﹣1=2（x﹣ ）（x﹣ ）． 1 2 2 2 2 2 2+ 6 2− 6 故答案为2（x﹣ ）（x﹣ ）． 2 2 11. 解： 8a÷ 2a =2 2a÷ 2a =2， 故答案为：2． 3+ 5 3− 5 12. 解：解方程x2−3x+1=0，得x = ,x = ， 1 2 2 2  3+ 5 3− 5 ∴x2−3x+1=x− x− ．     2  2   3+ 5 3− 5 故答案为：x− x− ．     2  2  k k 13. 由y与z成反比例,可得出y= ；z与x成正比例,可得出z=k′x，两式结合得： k′， z y= x 9故y与x的关系是反比例函数 故答案为反比例. 1 14. 解： f (x)= ， 3− x 1 1 3+2 ∴f (4)= = = =− 3−2 ( )( ) ， 3− 4 3−2 3+2 3−2 故答案为：− 3−2． 15. 解： 21 )  4 4 ∴S关于m的解析式为S = 9 9  − m+ ( m<1 )  4 4 21全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★★☆☆） 一、单选题 1．在式子 19、 0.25、 x2+2x+1、 a2+b2 中，是最简二次根式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一元二次方程x2+ px+q=0在用配方法配成(x+m)2 =n时，下面的说法正确的是（ ） 1 A．m是p的 B．m是p的一半的平方 2 1 C．m是p的2倍 D．m是p的 的相反数 2 3. 反比例函数y= k 的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点 (−2,y ) 、 (−1,y ) 、 (1,y ) 在 x 1 2 3 k 这个反比例函数y= 的图象上，则下列结论中正确的是（ ） x A．.y > y > y B． y > y > y C． y > y > y D． y > y > y 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1 4. 如图，将边长2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平 移，得到A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ） A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm 5．下列计算正确的是（ ） A． 2+ 3= 6 B． 2× 3= 6 C． 18=2 3 D． 6 ÷ 3 =2 二、填空题 1. 化简： 50 =___________． 2. 当x 时， 3−2x 在实数范围内有意义． 3. 方程x2 =−2022x的根是________． 224. 若关于x的方程x2 −2mx+3=0的一个根是-1，则m的值是______． 5. 如果正比例函数y=(3k+1)x的图像经过第二、四象限，那么k的取值范围是__________． 6. 已知点A(2,−3)在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为________． 7. 若x2 −2 ( m−1 ) x+16是一个完全平方式，则为m的值___________. 8. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方 程”．例如x2 =4和 (x−2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同 伴方程”．若关于 x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的参数同时满足a+b+c=0和a−b+c=0， 且该方程与 (x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”，则n=__________． 三、计算题 1 1 1. 计算： + 27 − +( 48− 24)÷ 6. 2− 3 2 12x  y 2  2. 计算： ⋅ ÷    y  x y  3. 用配方法解方程：2x2 −4x+1=0 4. 解方程：(4x−3)2 −10(4x−3)=24 5. 已知x= 3+ 2−1，y = 3− 2+1，求x2 +4xy+ y2的值． 四、解答题 1. 已知正比例函数y =kx(k ≠0)的图像经过第一、三象限，且过点(2k，−k+6)，求这个正 比例函数的解析式． 2. 已知关于x的方程kx2 −(3k−1)x+2k =1中，根的判别式的值是1，求k的值并解这个 方程． 3. 某校的分校区规划时决定在长为 32 米，宽为 20 米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条 互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的的四块小草坪，每块小草坪的面积为135 平方米，问道路的宽是多少米？ 23【常规讲解】 一、单选题 1. 解：∵ 0.25 =0.5， x2+2x+1= x+1， ∴最简二次根式有 19、 a2+b2 共2个； 故选B． 2. 解：移项，得x2+ px=−q 2 2 2  p  p  p 两边同时加上  ，得x2+ px+  =−q+   2 2 2  p 2 p2 −4q ∴ x+  =  2 4 p ∴m= 2 1 即m是p的 2 故选A． k 3. ∵直线y=2x经过一、三象限,反比例函数y= 的图象与函数y=2x的图象没有交点， x k ∴反比例函数y= 的图象在二、四象限， x k ∵点 (−2,y ) 、 (−1,y ) 、 (1,y ) 在这个反比例函数y= 的图象上， 1 2 3 x ∴点 (−2,y ) 、 (−1,y ) 在第二象限,点 (1,y ) 在第四象限， 1 2 3 ∵−2<−1， ∴.y > y >0， 2 1 ∴1>0， ∴y <0， 3 ∴.y > y > y ， 2 1 3 故选：B. 4. 解：设AC交A′B′于H， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠A=45°，∠D=90°， ∴△A′HA是等腰直角三角形， 设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x， ∴x•(2-x)=1，即x2 −2x+1=0， 24解得：x = x =1， 1 2 即AA′=1cm． 故选：B． 5. 解：A、 2， 3不是同类二次根式，没法合并，故本选项不符合题意； B、 2× 3= 6，故本选项符合题意； C、 18=3 2，故本选项不符合题意； D、 6÷ 3= 2，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 1. 50 = 25×2 =5 2， 故答案为：5 2. 2. 解：由题意得：3−2x≥0 3 解得：x≤ 2 3 故答案为：x≤ 2 3. 解：∵x2 +2022x=0， ∴x ( x+2022 )=0， ∴x=0或x+2022=0， ∴x =0，x =−2022． 1 2 故答案为：x =0，x =−2022． 1 2 4. 解：把x=−1代入方程x2 −2mx+3=0可得：1+2m+3=0， 解得：m=−2． 故答案为：−2． 5. 解：∵正比例函数y=(3k+1)x 的图象经过第二、四象限， ∴3k+1<0， 1 解得k <− ， 3 1 故答案为：k <− ． 3 6. 解：∵点A(2,−3)在正比例函数的图像上，设正比例函数解析式为y =kx， 3 ∴2k =−3，则k =− ， 2 253 ∴这个函数的解析式y =− x， 2 3 故答案为：y =− x． 2 7. ∵关于x的二次三项式x2−2（m−1）x＋16是一个完全平方式， ∴−2（m−1）x＝±2×4x ∴m−1＝±4， ∴m＝−3或5． 故答案为：−3或5． 8. 解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的参数同时满足a+b+c=0和a−b+c=0， ∴方程的两根为x =1,x =−1， 1 2 ∵(x+2)(x−n)=0， ∴x =−2,x =n， 1 2 ∵ax2+bx+c=0(a≠0) 与 (x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”， ∴n=1或−1． 故答案为：1或−1． 三、计算题 2 2 1. 原式=2+ 3+3 3﹣ + 48÷6 ﹣ 24÷6=2+ 3+3 3﹣ +2 2 ﹣2 2 2 3 2 =4 3+ ． 2 12x  y 2  2. 解： ⋅ ÷    y  x y  12x y y = ⋅ × y x 2 2 3x 1 = ⋅y y 2x 2 3 = 2 = 6． 3. 2x2 −4x+1=0 1 解：x2 −2x=− 2 261 (x−1)2 = 2 2 x−1=± 2 2 2 x =1+ ,x =1− 1 2 2 2 4. 原方程变形为：(4x−3)2 −10(4x−3)−24=0， 分解因式得： [ (4x−3)−12 ][ (4x−3)+2 ]=0， 即(4x−15)(4x−1)=0， 即4x−15=0，4x−1=0， 15 1 解得：x = ，x = ． 1 4 2 4 5.解：∵x= 3+ 2−1， y = 3− 2+1， ( )( ) ( )2 ( )2 ∴x+ y =2 3，xy = 3+ 2−1 3+ 2−1 = 3 − 2−1 =2 2， ∴x2 +4xy+ y2 =( x+ y )2 +2xy ( )2 = 2 3 +2×2 2 =12+4 2 ． 四、解答题 1.y =kx过点(2k，−k+6)， ∴−k+6=k×2k， 3 解得：k = ，k =−2， 1 2 2 由于函数图象经过第一、三象限，所以k＞0， 故k =−2不合题意， 3 ∴k = ， 2 3 故所求正比例函数解析式为y = x． 2 2.原方程整理得：kx2 −(3k−1)x+2k−1=0， 由题意知，k ≠0，且 [−(3k−1) ]2 −4k(2k−1)=1， 解得k =2，k =0（舍去）， 当k =2时，原方程为：2x2 −5x−3=0， 271 解得：x =− ，x =3． 1 2 2 3. 设道路的宽度为x米. 由题意得， （32-x）（20-x）=135×4 整理得， x2-52x+100=0 x =2，x =50不合题意，舍去 1 2 ∴x=2. 答：道路的宽度为2米. 关卡二 练习2: （★★★★☆）计算： __________． 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 4+2 3 = 【常规讲解】 解：原式 ( )2 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 ( 1+ 3 ) = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 4+2 3 ( )2 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 ( 1+ 3 ) = 2+2 2+2 2+2 2+2 4+2 3 ( )2 = 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 ( ) = 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 2+2 4+2 3 28= 2+2 2+2 2+2 ( 1+ 3 )2 ( ) = 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 4+2 3 = 2+2 2+2 ( 1+ 3 )2 ( ) = 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 4+2 3 ( )2 = 2+2 1+ 3 ( ) = 2+2 1+ 3 = 4+2 3 ( )2 = 1+ 3 =1+ 3． 故答案为：1+ 3． 练习3: （★★★★☆）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆 方图注》对x2+ px+q=0 ( p2−4q>0 ) 给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的 探索之旅． （1）用x,x 表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 1 2 一元二次方程 x +x x ⋅x 1 2 1 2 4x2− p2 =0(p>0) 0 ① x2+ px+q=0 ( p2−4q>0 ) ② ③ 6 1 5x2−6x+1=0 5 5 （2）数学家韦达对规律进行归纳；对于ax2+bx+c=0(a≠0) ，若b2−4ac≥0，则x +x = 1 2 __________；x ⋅x =__________．（用含a,b,c的代数式表示）． 1 2 （3）设α,β是方程2x2−2x−1=0的两个实根，利用上述结论求α2β+αβ2的值． （ 4 ） 类 比 探 索 ， 若 一 元 三 次 方 程 ax3+bx2+cx+d =0(a≠0) 可 以 转 化 为 29a(x−x )(x−x )(x−x )=0，则x +x +x = __________；x ⋅x ⋅x = __________．（用含 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a,b,c,d的代数式表示）． 【常规讲解】 （1）解：4x2− p2 =0(p>0) ， p2 x2 = ， 4 p p x = ,x =− ， 1 2 2 2 p2 则x ⋅x =− ， 1 2 4 x2+ px+q=0 ( p2−4q>0 ) ， −p± p2−4q x= ， 2 −p+ p2−4q −p− p2−4q 即x = ,x = ， 1 2 2 2 则x +x =−p，x ⋅x =q， 1 2 1 2 故答案为：①− p2 ；②−p；③q ． 4 （2）解：ax2+bx+c=0(a≠0) ， −b± b2−4ac x= ， 2a −b+ b2−4ac −b− b2−4ac 即x = ,x = ， 1 2 2a 2a b c 则x +x =− ，x ⋅x = ， 1 2 a 1 2 a b c 故答案为：− ， ． a a （3）解：α,β是方程2x2−2x−1=0的两个实根， −2 1 ∴α+β=− =1，αβ=− ， 2 2 则α2β+αβ2 =αβ(α+β) 1 = − ×1 2 1 =− ． 2 （4）解：a(x−x 1 )(x−x 2 )(x−x 3 )=a  x2−(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2   (x−x 3 ) 30=a  x3−(x 1 +x 2 )x2+x 1 x 2 x−x 3 x2+(x 1 x 3 +x 2 x 3 )x−x 1 x 2 x 3   =ax3−a(x +x +x )x2+a(xx +xx +x x )x−axx x ， 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 则−a(x +x +x )=b，−ax ⋅x ⋅x =d， 1 2 3 1 2 3 b d 所以x +x +x =− ，x ⋅x ⋅x =− ， 1 2 3 a 1 2 3 a b d 故答案为：− ，− ． a a 练习4: （★★★★☆）在平面直角坐标系中，点A(−2,1) 为直线y=kx (k ≠0) 和双曲线y = m (m≠0) x 的一个交点，点B在x轴负半轴上，且点B到y轴的距离为3，如果在直线y=kx (k ≠0) 上 有一点P，使得S =2S ，那么点P的坐标是__________． ∆ABP ∆ABO 【常规讲解】 过点B作BC ⊥x轴， m ∵点A(−2,1) 为直线y=kx (k ≠0) 和双曲线y = (m≠0) 的一个交点， x 1 ∴k =− ,m=−2， 2 1 2 ∴直线解析式为y=− x，双曲线的解析式为y=− ， 2 x ∵点B在x轴负半轴上，且点B到y轴的距离为3， ∴B(−3,0) ， ∴x =−3， C 3 ∴y = ， C 2 3 ∴BC = ， 2 31∵点A(−2,1) ，B(−3,0) ， 1 3 ∴S = ×3×1= ， ABO 2 2 ∴S =2S =3， ABP ABO  1  设Pt,− t，  2  1 3 ①当点P在A点左侧时，由题意得 × ×(−t−2)=3， 2 2 解得t=−6， ∴点P的坐标是 (−6,3) ； ②当点P在A点左侧时， 1 1  1  由题意得 ⋅OB⋅ y −y = ×3×1+ t=3， 2 A P 2  2  解得t =2， ∴点P的坐标是(2,-1)； 故答案为： (−6,3) 或(2,-1)． 32