FY25暑假初二B04根的判别式及其应用教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

04B 根的判别式及其应用 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）根的判别式的概念与形式 （2）判别式的主要应用 （3）判别式的复杂应用 2. 考情分析 （1）根的判别式是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约15% （2）主要考察根的判别式的概念，以选择题、填空题为主，根的判别式的应用以解答题为 主。 （3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节 17.3 一元二次方程根的判别式。 （4）根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况 下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围． 本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母 系数的取值范围。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：根的判别式的概念与形式 20分钟 切片2：判别式的主要应用 40分钟 切片3：判别式的复杂应用 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——根的判别式的概念与形式【建议时长：20分钟】 考点一：根的判别式的值 知识笔记1 根的判别式的概念 一元二次方程根的判别式：我们把b2 −4ac叫做一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的 判别式，通常用符号“”表示，记作_____________． 【填空答案】 =b2 −4ac 例题1: （1）（★★☆☆☆） (2022•徐汇区期末）方程3x2 +4x−2=0的根的判别式的值为_____. （2）（★★☆☆☆） (2023•青浦区期末）一元二次方程x2−2x−5＝0的根的判别式的值是 _____. 【常规讲解】 （1）解： a=3，b=4，c=−2， =b2 −4ac=16+24=40． 故答案为：40． （2）解：∵a=1，b=−2，c=−5， ∴=b2−4ac=(−2)2−41(−5)=24． 故答案为：24． 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆） 一元二次方程2x2 −3x−4=0根的判别式的值等于_______． （2）（★★☆☆☆）（2022•宝山期中）方程3x2+2x=4的根的判别式的值为_______． 【常规讲解】 （1）解：依题意，一元二次方程2x2 −3x−4=0，a=2，b=−3，c=−4 2根的判别式为：△=b2 −4ac=(−3)2 −42(−4)=41 故答案为：41. （2）解：方程3x2+2x=4变形为：3x2+2x−4=0， a 3,b 2,c 4 ， b2−4ac=22−43(−4)=4+48=52， 故答案为：52. 考点二：根据根的判别式的判断根的情况 知识笔记2 根的判别式的形式 一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)， （1）当____________时，方程有两个___________的实数根； （2）当____________时，方程有两个___________的实数根； （3）当____________时，方程________________． 【填空答案】 （1）=b2 −4ac0；不相等； （2）=b2 −4ac=0；相等； （3）=b2 −4ac0；没有实数根； 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等 的实数根是( ) A．x2−3x−1=0 B．3x2−x+1=0 C．x2+3=0 D．x2−4x+4=0 （2）（★★☆☆☆）（2022•青浦区实验中学期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数 根的方程是( ) 1 A．x2 + = x B．(x−2)2 =5 C．x2 +2x=0 D．2x2 − 2x+1=0 4 （3）（★★☆☆☆）下列一元二次方程中无实数根的是( ) 3A．x2 =2x B．(x+1)(x+3)=0 C．(x−2)2 =5 D．x2 −x+1=0 【常规讲解】 （1）解：A、x2−3x−1=0，∵=(−3)2−41(−1)=130，∴方程有两个不相等的实数 根； B、3x2−x+1=0，∵ =(−1)2−431=−110，∴方程无实数根； C、x2+3=0，∵=02−413=−120，∴方程无实数根； D、x2−4x+4=0，∵=(−4)2−414=0，∴方程实有两个相等的实数根； 故选：A． 1 （2）解：A．x2 −x+ =0， 4 1 =(−1)2 −41 =0， 4 方程有两个相等的实数根； B．x2 −4x−1=0， ， =(−4)2 −4(−1)=200 方程有两个不相等的实数根； C ．x2 +2x=0， =22 −410=4， 方程有两个不相等的实数根； D． 2x2 − 2x+1=0 ， ， =(− 2)2 −421=−60 方程没有实数根． 故选：A． （3）解：A．方程x2 =2x的判别式=(−2)2 −410=40，有两个不相等实数根，不符 合题意； B．方程(x+1)(x+3)=0的一般形式是x2 +4x+3=0，根的判别式=42 −413=40， 有两个不相等实数根，不符合题意； C ．方程(x−2)2 =5的一般形式是x2 −4x−1=0，根的判别式=(−4)2 −41(−1)=200， 有两个不相等实数根，不符合题意； 4D．方程x2 −x+1=0的判别式=(−1)2 −441=−170，无实数根，符合题意； 故选：D． 练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）关于一元二次方程2x2 −5x=2的根的判定中，正确的是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 （2）（★★☆☆☆）（2020•长宁区期末）下列一元二次方程中无实数根的是( ) A．x2 =2x B．(x+1)(x+3)=0 C．(x−2)2 =5 D．x2 −x+1=0 （3）（★★☆☆☆）已知m为实数，则关于x的方程x2 −(m−2)x−2m=0的实数根情况一定 是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 【常规讲解】 （1）解：由2x2 −5x=2得到：2x2 −5x−2=0， 因为△=(−5)2 −42(−2)=410， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． （2）解：A．方程x2 =2x的判别式△=(−2)2 −410=40，有两个不相等实数根，不符 合题意； B．方程(x+1)(x+3)=0的一般形式是x2 +4x+3=0，根的判别式△=42 −413=40， 有两个不相等实数根，不符合题意； C ．方程(x−2)2 =5的一般形式是x2 −4x−1=0，根的判别式△=(−4)2 −41(−1)=200， 有两个不相等实数根，不符合题意； D．方程x2 −x+1=0的判别式△=(−1)2 −441=−170，无实数根，符合题意； 故选：D． （3）解：△=(m−2)2 −4(−2m)=(m+2)2． 5对于任意实数m，都有(m+2)2 0，即△0， 所以原方程一定有两个实数根， 故选：C ． 考点三：新定义题型 例题3： （★★★☆☆）对于实数u ，v ，定义一种运算“* ”为：u*v=uv+v ．若关于 x的方程 1 x*(a*x)=− 有两个相等的实数根，则满足条件的实数a的值是_______． 4 【常规讲解】 1 解：由x*(a*x)=− ， 4 1 得(a+1)x2 +(a+1)x+ =0， 4 依题意有a+10， △=(a+1)2 −(a+1)=0， 解得，a=0，或a=−1（舍去）． 故答案为：a=0． 练习3: 【学习框12】 （★★★☆☆）对于实数x，y，定义一种运算⊕：x⊕y= x−2y，若关于x的方程x(a⊕x)=2 有两个相等的实数根，则实数a=________． 【常规讲解】 解：根据新定义，x(a⊕x)=2可化为：x(a−2x)=2； 即：2x2 −ax+2=0， 又 关于x的方程x(a⊕x)=2有两个相等的实数根， △=0， 即：(−a)2 −422=0， a2 =16， a=4． 故答案为：4． 67知识加油站 2——判别式的主要应用【建议时长：40分钟】 知识笔记3 判别式的主要应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定_________； （3）解与根有关的证明题． 【填空答案】 根的范围 考点四：根的判别式求参数 例题4: （1）（★★★☆☆）（2022•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2 −2 5x−m2 =0根的判别式 的值36，则m=________． （2）（★★★☆☆）（2022•崇明区二模）已知关于x的一元二次方程 x2 −mx−m+3=0 有两个 相等的实数根，那么m的值为_______． （3）（★★★★★）（2023•静安期末）关于x的方程(k+2)x2 −2kx+k−1=0的两个实数根为 、，且2 =2，求k的值． 【常规讲解】 （1）解： 关于x的方程x2 −2 5x−m2 =0根的判别式的值36， △=(−2 5)2 −41(−m2)=36， 解得：m=2， 故答案为：2． （2）解： 关于x的一元二次方程x2 −mx−m+3=0有两个相等的实数根， △=b2 −4ac=(−m)2 −41(−m+3)=0， 8解得：m =2，m =−6， 1 2 m的值为2或−6． 故答案为：2或−6． （3）解：∵2 =2 ∴+=0或=． 当+=0时， ∵、为关于x的方程(k+2)x2 −2kx+k−1=0的两个实数根， −2k 2k ∴+=− = =0． k+2 k+2 2k 解得k =0，经检验k =0是方程 =0的解， k+2 此时一元二次方程为2x2−1=0，有两个互为相反数的实数根，符合题意； 当=时，方程有两个相等的实数根， ∴=(−2k)2−4(k+2)(k−1)=0 解得k =2， 此时一元二次方程为4x2−4x+1=0，有两个相等的实数根，符合题意． ∴k =0或k =2 练习4: 【学习框14】 （1）（★★★☆☆）若关于x的一元二次方程mx2 −(3m−1)x−1+2m=0，其根的判别式值为 1，则m=_______． （2）（★★★☆☆）关于x的一元二次方程mx2 −(2m−1)x+1=0的根的判别式是 1，则m= _______． 【常规讲解】 （1）解：根据题意知△=[−(3m−1)]2 −4m(2m−1)=1， 解得m=0或m=2， 又此方程为一元二次方程，即m0， m=2， 故答案为：2． 9（2）解： △=[−(2m−1)]2 −4m1=4m2 −8m+1， 由题意得：m0，且4m2 −8m+1=1， m0，且4m2 −8m=0， 解得：m=2． 故答案为2． 10考点五：根据实数根的情况求参数范围 例题5: （1）（★★★☆☆）（2022•上海）已知x2 −2 3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值 范围是：______． （2）（★★★☆☆）（2022•徐汇区徐汇中学期中）如果关于x的一元二次方程x2 +3x−2m=0 没有实数根，那么m的取值范围是：______． （3）（★★★★☆）（2022•静安区市西中学期中）已知关于x的一元二次方程(m+1)x2 +2x=1 （m为实数）． ①如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． ②如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． ③如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 【常规讲解】 （1）解： 关于x的方程x2 −2 3x+m=0有两个不相等的实数根， △=(−2 3)2 −4m0， 解得：m3． 故答案为：m3 （2）解： 一元二次方程x2 +3x−2m=0没有实数根， △=9−4(−2m)0， 9 m− ， 8 9 故答案为：m− ． 8 （4）解：关于x的一元二次方程(m+1)x2 +2x=1(m为实数）， a=m+1，b=2，c=−1， △=4+4(m+1)=4m+8 ， ① 根据题意，得 △=4m+80，m+10， 解得m−2且m−1； 11② 根据题意，得 △=4m+8=0， 解得m=−2； ③ 根据题意，得 △=4m+80， 解得m−2． 练习5: 【学习框16】 （1）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）如果关于x的方程x2 − k+1x+3k−2=0有两个实数 根，那么k的取值范围为：______. （2）（★★★☆☆）（2022•青浦区模拟）如果关于x的方程2x2 +3x−k =0没有实数根，那么 k的取值范围是：______. （3）（★★★★☆）已知：关于x的方程x2 +kx+k−2=0． ①试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； ②若k =6，请解此方程． 【常规讲解】 （1）解： 关于x的方程x2 − k+1x+3k−2=0有两个实数根， k+10  ，  =(− k+1)2 −41(3k−2) 0 9 解得：−1k  ， 11 9 k 的取值范围为−1k  ． 11 9 故答案为：−1k  ． 11 （2）解：根据题意得△=32 −42(−k)0， 9 解得k − ． 8 9 故答案为：k − ． 8 （3）① △=k2 −4(k−2)=k2 −4k+8=(k−2)2 +40， 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； ② 当k =6时，原方程为：x2 +6x+4=0， 12(x+3)2 =5， x=−3 5， x =−3+ 5，x =−3− 5． 1 2 例题6： （1）（★★★☆☆）（2023•静安期末）如果方程mx2−6x+1=0有实数根，那么m的取值范围 是（ ） A．m9且m0 B．m9且m0 C．m9 D．m9 (2)（★★★☆☆） 关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k =0有实数根，则k 的取值范围： ______. 【配题说明】讨论二次项系数的情况，求参数范围. 【常规讲解】 （1）解：∵方程mx2−6x+1=0有实数根， 当m=0时，−6x+1=0， 1 解得x= ， 6 当m0时，=b2−4ac=36−4m10， 解得m9， ∴m的取值范围是m9， 故选：D． （2）解： 关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k =0有实数根， k−20  ，  =(−2k)2−4k(k−2)0 解得：k 0且k 2． 故答案为：k 0且k 2． 练习6：【学习框18】 （1）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2 −2x+1=0有两个不相等的 实数根，则m可取的最大整数是 _________． 13（2）．（★★★☆☆）关于x的一元二次方程 (a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足（ ） A．a1 B．a1且a5 C．a1且a5 D．a5 （3）（★★★☆☆）已知关于x的方程 (m−1)x2−4mx+4m−2=0有实数根，则m的取值范 围是：________． （4）（★★★★☆）已知关于x的方程kx2 +(2k+3)x+k+1=0． ① 若x=1是该方程的根，求k的值； ② 若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【配题说明】讨论二次项系数的情况，求参数范围 【常规讲解】 （1）解： 关于x的方程mx2 −2x+1=0有两个不相等的实数根， △=(−2)2 −4m10且m0， 解得：m1且m0． 故答案为：−1． （2）解：由已知得： a−50   ，  (−4)2−4(a−5)(−1)0 a1且a5． 故选：C． （3) 解：当m≠1时， ∵关于x的方程 (m−1)x2−4mx+4m−2=0有实数根， ∴=b2−4ac=16m2−4(m−1)(4m−2)0， 1 解得：m ， 3 1 ∴m 且m1． 3 1 当m=1时，方程是一元一次方程，此时方程有解x= ； 2 1 综上，m的取值范围为：m 且m1 3 14（4) 解：① 把x=1代入该方程得k+2k+3+k+1=0，解得k =−1； ② 该方程有两个不相等的实数根， 9 △0，即(2k+3)2 −4k(k+1)0，解得k− ． 8 9 综上所述，k− 且k 0为所求． 8 例题7： （★★★★☆）关于 x 的方程 (m+1)x2 +(2m−1)x+m−1=0 有实根，则关于 x 的方程 (m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0的根的情况如何？ 【配题说明】结合参数范围讨论根的情况 【常规讲解】 解： 关于x的方程(m+1)x2 +(2m−1)x+m−1=0有实根， m+10时，△=b2 −4ac=(2m−1)2 −4(m+1)(m−1)=−4m+5 0， 解得：m 1.25， (m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0中， △=b2 −4ac=[−2(m−3)]2 −4(m−3)(m+5)=−32m+960， 或m+1=0时，解得m=−1，方程(m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0为x2 −2x−1=0， △=4+4=80， 关于x的方程(m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0有两个不相等的实数根． 练习7：【学习框20】 （1）（★★★☆☆）（2021•奉贤区期末）已知关于x的方程x2 +2x−a+1=0没有实数根，试 判断关于x的方程x2 +ax+a=0的根的情况． （2）（★★★★☆）已知关于x的一元二次方程x2 4x a 1． ①当a=5时，试判断此方程根的情况． ②若x，x是该方程不相等的两实数根，且 ( x2 +4x −2 )( x2 +4x +2 ) =45，求a的值． 1 2 1 1 2 2 ③若a为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求a的值． 【配题说明】结合参数范围讨论根的情况 【常规讲解】 15（1）解： 关于x的方程x2 +2x−a+1=0没有实数根， △=4−4(−a+1)0， 解得：a0， 方程x2 +ax+a=0的根的判别式是：△=a2 −4a=a(a−4)， a0，a−40， △0， 关于x的方程x2 +ax+a=0有两个不相等的实数根． （2）①解：当a=5时，x2 4x 5 1，即x2+4x+4=0， ∴=42−44=0 ， ∴此方程有两个相等的实数根； ②解：∵x，x是方程x2 4x a 1不相等的两实数根， 1 2 ∴x2+4x +a=1，x2+4x +a=1， 1 1 2 2 ∴x2+4x −2=−a−1，x2+4x +2=−a+3， 1 1 2 2 ∵ ( x2+4x −2 )( x2+4x +2 ) =45， 1 1 2 2 ∴(−a−1)(−a+3)=45， ∴a2−2a−3=45，即a2−2a−48=0， ∴(a−8)(a+6)=0， 解得：a = 8或a=−6， 当a = 8时，x2 4x 8 1的 16 28 12 0，方程无实数根，故a = 8舍去； 当a=−6时，x2 4x 6 1符合题意， ∴a的值为−6； ③解：∵x2 4x a 1， −4 16−4a+4 ∴x= =−2 5−a， 2 ∵方程的两实数根都为整数， ∴ 5−a为整数， 又∵a为正整数， ∴5−a=4或5−a=1， ∴a=1或a=4， ∴a的值为1或4． 16知识加油站 3——判别式的实际应用【建议时长：30分钟】 考点六：根的判别式实际应用 知识笔记4 根的判别式的复杂应用 （1）等腰三角形与一元二次方程，考点为已知两腰是方程的两根； 【注意】____________________________ （2）三角形与一元二次方程根的情况有关，已知方程__________判断三角形的形状. ① 当__________时，三角形是______________ ② 当__________时，三角形是______________ ③ 当__________时，三角形是______________ 【填空答案】 （1）需要检验两边之和大于第三边，两根的情况; （2）①a=b； 等腰三角形 ②a=b=c；等边三角形 ③a2 +b2 =c2；直角三角形【本知识点老师可以拓展让学生记住的，本学期后册《几何证明》 章节会学习其公式推导】 例题8： （1）（★★★★☆）（2022•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2 −2(m+1)x+m2 +5=0． 如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． （2）（★★★★☆）（2023•杨浦期中）已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0． ①如果方程有两个实数根，求m的取值范围； ②如果等腰 ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 【常规讲解】 （1）解：当7为底时，由题意得，△ =0，则8m−16=0， 17解得m=2， 此时一元二次方程x2 −6x+9=0 解得x=3，因为3+37，舍去； 当7为腰时，将x=7代入得49−14(m+1)+m2 +5=0， 解得m=4或m=10， 当m=10时，得三边长为7、7、15，因为7+715（舍去）， 当m=4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形， 故m的值为4． （2）①解：依题意得：=b2−4ab0， −2(m+1) 2 −4 ( m2+5 ) 0 ∴  ， 8m−160 ， m2 解得： ， ∴m的取值范围为 m2 ． ②解：当7为底时，由题意得，Δ=0， 8m−16=0 则 ， 解得m=2， 此时一元二次方程x2−6x+9=0， x=3 3+37 解得 ，因为 ，舍去； 当7为腰时，将 x=7 代入得： 49−14(m+1)+m2+5=0 ， 解得m=4或m=10， 当m=10时，得三边长为7、7、15，因为 7+715 （舍去）， 当m=4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形， 故m的值为4． 练习8: 【学习框22】 （1）（★★★★☆）已知ABC 的三边长为a，b，c且关于x的方程a(1−x2)+2bx+c(1+x2)=0 有两个相等的实数根，请判断ABC 的形状并加以说明． 18 1 （2）（★★★★☆）已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4k− =0．  2 ①求证：这个方程总有两个实数根； ②若等腰 ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求 ABC的 周长． 【常规讲解】 （1）ABC 是直角三角形． 方程整理得(c−a)x2 +2bx+(c+a)=0； 由方程有两个相等的实数根知△=4b2 −4(c+a)(c−a)=4(b2 −c2 +a2)=0， b2 +a2 =c2， ABC是直角三角形．  1 （2）①解：在关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4k− =0中，a=1，b=−(2k+1) ，  2  1 c=4k− ，  2 1 ∴ b2 4ac 2k 12 4 4 k 2 =4k2+4k+1−16k+8 =4k2−12k+9 =(2k−3)2 ， ∵(2k−3)2 0 ∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根； ②解：∵等腰 ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， i：当b=c时，即方程两根相等， ∴ 2k 3 2 0， 3 解得：k ， 2 ∴方程可化为：x2−4x+4=0， 解得：x=2， ∴b=c=2， ∴ ABC三边为长分别为4，2，2， ∵2+2=4， 19∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ii：当a=b=4或者a=c=4时，即x=4是原方程的一个根，  1 1 把x=4代入x2−(2k+1)x+4k− =0得：16 4 2k 1 4 k 0，  2 2 5 解得：k = ， 2 ∴原方程可化为：x2−6x+8=0， 解得：x=4或x=2， 即 ABC的两腰长为4，底边长为2， ∴ ABC的周长=4+4+2=10． 20全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1 （1）（★★☆☆☆）（2022•普陀区期中）一元二次方程x2 −6x=−9的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 （2）（★★☆☆☆）下列方程中，无实数根的方程是( ) A．x2 +3x=0 B．x2 +2x−1=0 C．x2 +2x+1=0 D．x2 −x+3=0 【常规讲解】 （1）解：方程化为一般式为x2 −6x+9=0， △=(−6)2 −49=0，方程有两个相等的实数根． 故选：B． （2）解：A、 △=32 −410=90， 方程x2 +3x=0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意； B、 △=22 −41(−1)=80， 方程x2 +2x−1=0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意； C 、 △=22 −411=0， 方程x2 +2x+1=0有两个相等的实数根，选项C 不符合题意； D、 △=(−1)2 −413=−110， 方程x2 −x+3=0没有实数根，选项D符合题意． 故选：D． 练习2: （★★★☆☆）关于x的一元二次方程x2 +(2m−1)x+m2 =0，其根的判别式的值为9，求m 的值及这个方程的根． 21【常规讲解】 解：由题意可知：△=(2m−1)2 −4m2 =9， m=−2， 该方程为：x2 −5x+4=0， x=1或x=4 练习3: （★★★☆☆）若关于x的一元二次方程(m−1)x2 −4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的 取值范围为_______． 【常规讲解】 解： 关于x的一元二次方程(m−1)x2 −4x+1=0有两个不相等的实数根， △0且m−10，即(−4)2 −4(m−1)0且m1， 解得m5且m1， 故答案为：m5且m1． 练习4: （★★★☆☆）已知关于x的一元二次方程x2 +x=k． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （2）当k =6时，求方程的实数根 【常规讲解】 解：（1） 方程有两个不相等的实数根， △=12 −41(−k)=1+4k 0， 1 解得：k − ； 4 （2）把k =6代入原方程得：x2 +x=6， 整理得：x2 +x−6=0， 分解因式得：(x+3)(x−2)=0， 解得：x =−3，x =2． 1 2 22练习5: （★★★☆☆）已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为x 1和x 2若以x 1，x 2，3为三边长的三角形是直角三角形，求 k的值． 【常规讲解】 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． ∴a=1，b=−(2k+1)，c=2k， ∴=b2−4ac=  -(2k+1)  2 −412k =4k2−4k+1=(2k−1)2 0， ∴方程总有两个实数根； （2）将方程因式分解得 (x−2k)(x−1)=0， 解得x =2k，x =1， 1 2 ∵以2k，1，3为三边长的三角形是直角三角形， ∴当2k＜3时，则12+(2k)2 =32，解得k = 2，k =− 2(舍去)； 10 10 当2k＞3时，则12+32 =(2k)2 ，解得k = ，k =− (舍去)； 2 2 10 以1，2k，3为三边长的三角形是直角三角形，k的值为 2或 ． 2 关卡二 练习6: 2x （★★★★☆）已知x、y为实数，且满足y= ，求y的最大值和最小值． x2 +x+1 【常规讲解】 解： x2 +x+10， 把等式变形为关于x的一元二次方程的一般式：yx2 +(y−2)x+ y=0， 此方程有根，x为实数， △≥0，即△=(y−2)2 −4y2 =−(3y2 +4y−4)=−(3y−2)(y+2) 0， (3y−2)(y+2) 0， 解得； 232 y的最大值为 ，最小值为：−2． 3 练习7: （★★★★☆）已知关于x的一元二次方程(ab−2b)x2 +2(b−a)x+2a−ab=0(ab0)有两个 1 1 相等的实数根，求 + 的值． a b 【常规讲解】解：依题意，△=4(b−a)2 −4(ab−2b)(2a−ab)=0， 即：(a+b)2 −4ab+(ab−2b)(ab−2a)=0， (a+b)2 −4ab+[a2b2 −2ab(a+b)+4ab]=0， (a+b)2 +a2b2 −2ab(a+b)=0， [(a+b)−ab]2 =0， a+b=ab， 1 1 a+b 则 + = =1． a b ab 24