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第 8 讲 反比例函数的综合运用
知识点1反比例函数实际应用
1.分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要
科学合理，又符合实际。
2.函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后
根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
3.概括整合
（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【典例】
1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积
V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于
多少？（精确到0.01m3）【解析】解：（1）设 ，
由题意知 ，
所以k=96，
故 ；
（2）当v=1m3时， ；
（3）当p=140kPa时， ．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在年1月1日投放市场，前3个月只在本地销
售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售．
（1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于 20元/件，且不能超过80元/件，销售价
格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y= ，前3个月每件产品的定价多
少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入）
（2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售
（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？
（3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的 3个月），请从该年的最
大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？
【解析】解：（1）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，销售量y= （万件），
∴每月利润= ×（x﹣20）=200﹣ ，
∵20≤x≤80，
又∵每月利润随着x的增大而减小，
∴当x=80时，
y取到最大值，即每月利润最大，把x=80代入得：每月利润=150万元
即最大利润为150万元；
答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少150万元，
（2）∵每件产品的利润为（80﹣m﹣20）元，即（60﹣m）元，销售量为（10+0.2m）万
件，
∴每月利润=（60﹣m）×（10+0.2m），
整理后得：每月利润=﹣0.2m2+2m+600=﹣0.2（m﹣5）2+605，
∵每件产品的利润（60﹣m）≥0，
∴m≤60，
把m=5代入每月利润=﹣0.2（m﹣5）2+605得：每月利润为605万元，
即每月可获得的最大利润是605万元，
答：从第4个月开始，每月可获得的最大利润是605万元；
（3）前三个月本地销售的利润为150×3=450万元，
后九个月正常销售的利润为605×9=5445万元，
开拓开外地市场增加的利润为450+5445﹣3×500=4395万元，
答：从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加4395万元利润．
【方法总结】
应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
【随堂练习】
1．（安次区一模）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新
型商品成本为20元 件，第 天销售量为 件，销售单价为 元，经跟踪调查发现，这
40天中 与 的关系保持不变，前20天（包含第20天）， 与 的关系满足关系式
；从第21天到第40天中， 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，
浮动价与 成反比．且得到了表中的数据．
10 21 35
（天
（元 件） 35 45 35
（1）请直接写出 的值为 0. 5 ；
（2）从第21天到第40天中，求 与 满足的关系式；
（3）若该网店第 天获得的利润 元，并且已知这40天里前20天中 与 的函数关系式
为请直接写出这40天中 与 的关系式为： ；
求这40天里该网店第几天获得的利润最大？
【解答】解：（1）由表格可知：当 时， ，
代入 中得： ， ，（2分）
故答案为：0.5；
（2）设从第21天到第40天中， 与 满足的关系式： ，（3分）
把 和 代入得： ，
解得： ，
；（6分）
（3） ，前20天（包含第20天） ，
，
，
，（8分）
故答案为： ；
，当 时， ，（9分）
当 时， 有最大值是612.5；
当 时， ，（10分）
随 的增大而减小，
当 时， 有最大值，是725，（11分）
综上所述，这40天里该网店第21天获得的利润最大．（12分）
2．（云南模拟）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为
的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度 随时间 变化的函数图象，其中 段是恒温阶段， 段是双曲线 的一部分，
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求0到2小时期间 随 的函数解析式；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于 的时间有多少小时？
【解答】解：（1）当 时， ， ，
段是恒温阶段，
，
设函数解析式为 ，代入 ，和 ，得
，解得 ，
0到2小时期间 随 的函数解析式 ；
（2）把 代入 ，即 ，解得 ，
把 代入 ，即 ，解得 ，
，
答：恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于 的时间有15小时．
3．（青岛模拟）为了预防“甲型 ”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知
药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比例，药物燃烧后，
与 成反比例，如图所示，现测得药物 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求 关于 的函数关系式？自变量 的取值范围是什么？药物燃烧后
与 的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 时，学生方可进教室，那么从消毒
开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能
杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【解答】解：（1）设药物燃烧时 关于 的函数关系式为 代入 为
设药物燃烧后 关于 的函数关系式为 代入 为
药物燃烧时 关于 的函数关系式为 药物燃烧后 关于 的函数关系式为
（2）结合实际，令 中 得
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）把 代入 ，得：
把 代入 ，得：
所以这次消毒是有效的．4．（沭阳县期末）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于 200微克即为酒驾，某研究
所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度 （微克 毫升）与饮酒时
间 （小时）之间函数关系如图所示（当 时， 与 成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段 与 之间的函数表达式．
（2）问血液中酒精浓度不低于200微克 毫升的持续时间是多少小时？
【解答】解：（1）当 时，设直线解析式为： ，将 代入得： ，
解得： ，故直线解析式为： ，
当 时，设反比例函数解析式为： ，将 代入得： ，
解得： ，故反比例函数解析式为： ；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 ，
下降阶段的函数关系式为 ．
（2）当 ，则 ，
解得： ，
当 ，则 ，
解得： ，
（小时），
血液中药物浓度不低于200微克 毫升的持续时间6小时．
5．（蕲春县模拟）如图，实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液
中酒精含量 （毫克 百毫升）与时间 （时 的关系可以近似的用二次函数
刻画，1.5 小时后（包括 1.5 小时） 与 可近似的用反比例函数刻画．
（1）根据上述数学模型计算；
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当 时， ，求 的值．
（2）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克 百毫升时属于“酒
后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 在家喝完半斤
低度白酒，第二天早晨 能否驾车去上班？请说明理由．
【解答】解：（1） ，
① 当 时， 取得最大值，此时 ，
答：喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克 百毫升；
② 当 时， ，
，得 ，
即 的值是225；
（2）该驾驶员第二天早晨 不能驾车去上班，
理由：由（1）知 ，
，
晚上 到第二天早晨 是11个小时，
将 代入 ，得 ，
，
该驾驶员第二天早晨 不能驾车去上班．
6．（自贡模拟）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数
学课中的注意力指数 随上课时间 （分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数 是时间 的一次函数．
10分钟以后注意力指数 是 的反比例函数．
（1）当 时，求 关于 的函数关系式；
（2）当 时，求 关于 的函数关系式；
（3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于 50，为了保证教学效果本
节课讲完这道题不能超过多少分钟？
【解答】解：（1）当 时，设
将 、 两点代入得： 解得： ， ，
于是
（2）当 时，设 ，将 代入得：
于是 ；
（3）当 时， ，解得：
（2）当 时， ；解得：
，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
7．（富顺县一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40分钟中，学生的注意力随
教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的
注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学
生的注意力指标数 随时间 （分钟）的变化规律如下图所示（其中 、 分别为线
段， 为双曲线的一部分）
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达
到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【解答】解：（1）设线段 所在的直线的解析式为 ，
把 代入得， ，
．
设 、 所在双曲线的解析式为 ，
把 代入得， ，
当 时， ，
当 ，
第30分钟注意力更集中．
（2）令 ，
，
令 ，
，
，
经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
知识点2反比例函数与一次函数
1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。
2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= （k≠0）在第二象限内的图
象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点
C，且△ABO的面积为 ，求直线BC的解析式．
【解析】解：（1）∵直线y=﹣ x过点A（m，1），
∴﹣ m=1，解得m=﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
（2）设直线BC的解析式为y=﹣ x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为 ，
∴△ACO的面积= OC•2= ，
∴OC= ，
∴b= ，∴直线BC的解析式为y=﹣ x+ ．
2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y= 的图象有唯一的
公共点C
（1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y= 交于D、E
两点，求△CDE的面积．
【答案】
【解析】解：（1）令﹣2x+4= ，则2x2﹣4x+k=0，
∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y= 的图象有唯一的公共点C，
∴△=16﹣8k=0，
解得k=2，
∴2x2﹣4x+2=0，
解得x=1，
∴y=2，
即C（1，2）；
（2）∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，
∴A（2，0），B'（0，﹣4），
∴直线l为y=2x﹣4，
令 =2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x=3，x=﹣1，
1 2
∴E（﹣1，﹣6），D（3，2），
又∵C（1，2），∴CD=3﹣1=2，
∴△CDE的面积= ×2×（6+2）=8．
【方法总结】
一次函数，反比例两函数比大小：
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个X ,X 且X ＜0＜X 那么把这个图像分为了
1 2 1 2
4份，分别为Ⅰ:X＜X ，Ⅱ:X ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜X ，Ⅳ:X＞X ，树形结合，自变量相同，
1 1 2 2
谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把
图像分为了4部分）
【随堂练习】
1．（永春县校级自主招生）如图，点 、 是反比例函数 图象上的两点，延
长线段 交 轴于点 ，且点 为线段 中点，过点 作 轴子点 ，点
为线段 的三等分点，且 ．连接 、 ，若 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ，则 ， ， ，，
， ，
点 在 上，
，
，
，
连接 ， ．
，
，
，
，
，
．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
2．（江都区三模）如图，已知直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ，双曲线
与直线 不相交， 为双曲线上一动点，过点 作 轴于点 ，
轴于点 ，分别与直线 交于点 ， ，且 ，则 8 ．【解答】解：点 、 的坐标分别为 、 ，
即： ， ，
， ，
，
设点 ，则点 ，点 ，
则 ，
， ，
即 ，
解得： ，
故答案为8．
3．（长沙）如图，函数 为常数， 的图象与过原点的 的直线相交于 ，
两点，点 是第一象限内双曲线上的动点（点 在点 的左侧），直线 分别交 轴
轴于 ， 两点，连接 分别交 轴， 轴于点 ， ．现有以下四个结论：
① 与 的面积相等；②若 于点 ，则 ；③若 点的横
坐标为1， 为等边三角形，则 ；④若 ，则 ．
其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）【解答】解：①设点 ， ，
则直线 的解析式为 ，
， ， ，
， ，
与 的面积相等，故①正确；
反比例函数与正比例函数关于原点对称，
是 的中点，
，
，
，
， ，
， ，
不一定等于 ，
不一定是 ，
不一定是 ．故②错误，
点的横坐标为1，
可以假设 ，
为等边三角形，
，
，
， ，
，，
，
，
，
，
，故③正确，
如图，作 交 于 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共5小题）
4．（滨湖区期末）如图在平面直角坐标系 中位于第二象限的点 在反比例函数
的图象上，点 与点 关于原点 对称，直线 经过点 ，且与反比例函数 的图象交于点 ．
（1）当点 的横坐标是 ，点 坐标是 时，分别求出 、 的函数表达式；
（2）若点 的横坐标是点 的横坐标的4倍，且 的面积是16，求 的值．
【解答】解：（1）把点 代入 得：
，
当 时，代入 ， ，
点 与点 关于原点 对称，
把 ， 代入 得：
，解得： ， ，
，
答： 、 的函数表达式分别为 ， ．
（2）过 、 分别作 轴的平行线与过 作 轴的平行线相交于 、 ，
设 ，则 ， ，
此时， ， ， ， ，
，
，，
即： ，
，
解得： ，
答： 的值为 ．
5．（鄞州区期末）小林为探索函数 的图象与性经历了如下过程
（1）列表：根据表中 的取值，求出对应的 值，将空白处填写完整
2.5 3 3.5 4 4.5 5
6 3 2 1.2 1
（2）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象．
（3）若函数 的图象与 的图象交于点 ， ，且 为
正整数），则 的值是 ．
【解答】解：（1）当 时， ，同理当 时， ，
故答案为3，1.5；（2）描点描绘出以下图象，
（3）在（2）图象基础上，画出 ，
两个函数交点为 ， ，
即 ，
故答案为2．
6．（安次区二模）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 为常数）的图
象与 轴相交于点 ，与函数 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标及一次函数的解析式；
（2）点 的坐标为 ， ，过 作 轴，交直线 于点 ，作 轴，
交函数 的图象于点 ．
①若 ，比较线段 ， 的大小；
②直接写出使 的 的取值范围．
【解答】解：（1） 函数 的图象经过点 ．，
，
代入 得， ，
，
一次函数的解析式为 ；
（2）①当 时，点 的坐标为 ，
又 轴，交直线 于点 ， 轴，交函数 的图象于点 ，
当 时， ，即 ，
，
当 时， ，
，
；
②由①可得，当 ， ；
，
令 ，则 或 （舍去），
当 ， ；
，
由图象可得， 或 ．
7．（东莞市期末）如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
轴，垂足为 ．
（1）求 的值；
（2）点 在 上，若 ，求 的长；
（3）点 为 轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若 ，求点 的坐标．【解答】解（1） 直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
，
，
，
反比例函数为 ．
（2）设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
，
，
；
（3）设点 的坐标为
分两种情况：
①当 时，如图1，
，
，
，
，
②当 时，如图2，
同理得： ，，
点 的坐标为 或 ， ．
8．（句容市模拟）如图，已知反比例函数 与一次函数 的图象交于点
， 两点．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的面积；
（3）请直接写出不等式 的解．【解答】解：（1） 反比例函数 与一次函数 的图象交于点 、
，
， ，
解方程组 ，解得 ；
（2）由（1）知一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，
；
（3） 或 ．
知识点3反比例函数与几何综合应用
反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的
几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐
标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换
等结合及点坐标的应用。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反
比例函数 的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面
积为1.5，则k的值为 ．
【答案】3
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a），
∵点D在反比例函数y= 的图象上，∴k=xa，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠OAE=∠CAB=45°，
∴△OAE是等腰直角三角形， ∴E（0，﹣x），
∴S ABE= AB•OE= ax=1.5，
∴ax△=3，即k=3．
故答案为：3．
2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图
1 2
象关于x轴对称，Rt AOB的顶点A，B分别在y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象
1 2
△
上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 ．
【答案】（3+ ，﹣1+ ）
【解析】解：如图，
作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E，
∴∠ODC=∠BEO=90°，OB=OC，∠COD+∠BOE=90°，∵∠COD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠BOE，
∴△COD≌△OBE，
∴CD=OE=2，OD=BE，S =S ，
COD OBE
△ △
∵反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图象关于x轴对称，
1 2
∴k1+k=0，
2
∴点C在双曲线y= 上，
1
设B（m，﹣2）（m＞0），
∴C（2，m），
∴k=2m
1
连接BC交OA于H，
则CH=BH，OH=AH，
∴H（ ， ），
∴A（m+2，m﹣2），
∴k=（m+2）（m﹣2）
1
∴（m+2）（m﹣2）=2m，
∴m=1+ 或m=1﹣ （舍），
∴m+2=3+ ，m﹣2=﹣1+ ，
∴A（3+ ，﹣1+ ），
故答案为：（3+ ，﹣1+ ）．
3.如图，反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过
点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出
符合条件的所有D点的坐标．【解析】解：（1）把点A（3，4）代入y= （x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y= ．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y= ，得
y= =6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ﹣y =y ﹣y 即4﹣y =2﹣0，故y =2．
A D B C D D
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ′﹣y =y ﹣y 即y ﹣4=2﹣0，故y =6．
D A B C D D′
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC=BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴x ﹣x =x ﹣x 即x ﹣6=6﹣3，故x =9．
D″ B C A D″ D″
y ﹣y =y ﹣y 即y ﹣2=0﹣4，故y =﹣2．
D″ B C A D″ D″
所以D″（9，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= （x＞0，0＜m＜n）的图
象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说
明理由．
【解析】解：（1）①如图1，∵m=4，
∴反比例函数为y= ，
当x=4时，y=1，
∴B（4，1），
当y=2时，
∴2= ，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，由①知，B（4，1），
∵BD∥y轴，
∴D（4，5），∵点P是线段BD的中点，
∴P（4，3），
当y=3时，由y= 得，x= ，
由y= 得，x= ，
∴PA=4﹣ = ，PC= ﹣4= ，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=4时，y= = ，
∴B（4， ），
∴A（4﹣t， +t），C（4+t， +t），
∴（4﹣t）（ +t）=m，
∴t=4﹣ ，
∴C（8﹣ ，4），
∴（8﹣ ）×4=n，
∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为 +2t= +2（4﹣ ）=8﹣ ，
∴D（4，8﹣ ），
∴4（8﹣ ）=n，
∴m+n=32．【方法总结】
反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解
方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键．
求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。
【随堂练习】
1．（商丘二模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ，
两点．过点 作 轴，垂足为 ，且 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据所给条件，请直接写出不等式 的解集；
（3）若 ， 是函数 图象上的两点，且 ，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）把 ， 代入 得： ，
即 ，
则 ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，延长 、 交于 ，
， ，
， ， ，
，
解得： ，
即 ， ，
把 代入 得： ，
即反比例函数的解析式是 ；
把 ， 代入 得：
，
解得： ， ，
即一次函数的解析式是 ；
（2） ， ，
不等式 的解集是 或 ；
（3）分为两种情况：当点 在第三象限时，要使 ，实数 的取值范围是 ，
当点 在第一象限时，要使 ，实数 的取值范围是 ，即 的取值范围是 或 ．
2．（华蓥市模拟）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
交于二象限内的 点和四象限内的 点，与 轴将于点 ，连接 ，已知
， ，点 的坐标为 ．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 的取值范围；
（3）求 的面积．
【解答】解：（1）如图，作 轴于点 ，，
设 、则 ，
，
则 ，
、 ，
则点 坐标为 ，
将点 坐标代入 ，得： ，
反比例函数解析式为 ，
将点 代入 ，得： ，
，
将点 、 坐标代入 ，
得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为 ；（2）由函数图象知当 或 时，一次函数的值小于反比例函数的值；
（3）在 中当 时， ，
解得： ，
，
．
3．（杜尔伯特县一模）已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点
，与反比例函数在第一象限内的图象的交于点 ，连接 ，若 ．
（1）求该反比例函数的解析式和直线 的解析式；
（2）若直线 与双曲线的另一交点为 点，求 的面积．
【解答】解：（1）由题意得： ，
即 ，
，，
设反比例函数的解析式为： ，
把点 的坐标代入得： ，
，
设直线 的解析式为： ，
把 、 代入得： ，
解得： ，
；
（2）由题意得： ，
解得： ， ，
，
．
4．（祥云县二模）如图，直线 与双曲线 相交于 、
两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在 轴上存在一点 ，使得 的值最小，求点 的坐标．
【解答】解：（1）将点 的坐标代入双曲线 ，
得 ，反比例函数的解析式为： ；
将 点坐标代入反比例函数的解析式
可得 ，
点坐标为 ，
将 ， 的坐标代入直线 得，
，
解得 ，
直线解析式为： ；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ．
将点 和点 代入 可得，
，
解得
，
令 ，得 ，
．5．（南江县期末）如图所示， 是直线 上的一点，直线 与双曲线
相交于 、 ．
（1）求双曲线的解析式及直线 的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集；
（3）若直线 与 轴交于 ，直线 与 轴交于 ，求 的面积．
【解答】解：（1） 是直线 上的一点，
，解得： ，
点 ．
将 代入 中，
，解得： ，
双曲线解析式为 ．
是双曲线 上的一点，
，
点 ．
将 、 代入 中，
，解得： ，直线 的解析式为 ．
（2）观察函数图象，可知：当 或 时，双曲线在直线 的上方，
不等式 的解集为 或 ．
（3）当 时， ，
点 ；
当 时， ，
点 ．
，
．
6．（宁城县期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、
两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求 的面积．
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围．
【解答】解：（1）把 代入 ，得： ，反比例函数的解析式为 ，
把 代入 ，得： ，即 ，
将点 、 代入 ，
得： ，
解得： ，
一次函数的解析式为 ；
（2）在一次函数 中，令 ，得： ，解得： ，
则 ；
（3）由图象可知，当 或 时，一次函数的值大于反比例函数的值．
7．（昌平区期末）如图，一次函数 的图象与反比例 为常数，且 的
图象交于 ， 两点，
（1）求反比例函数的表达式及点 ， 的坐标
（2）在 轴上找一点，使 的值最小，求满足条件的点 的坐标．
【解答】解：（1）把点 ， 代入一次函数 ，
得 ， ，
解得 ， ，
， ；点 代入反比例函数 得 ，
反比例函数的表达式 ；
（2）作点 作关于 轴的对称点 ，交 轴于点 ，连接 ，交 轴于点 ，此时
的值最小，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 两点代入得， ，
解得 ， ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
点 坐标 ， ．
8．（沈丘县一模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ，
两点．过点 作 轴，垂足为 ，且 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式 的解集；
（3）若 ， 是函数 图象上的两点，且 ，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）把 ， 代入 得： ，
即 ，
则 ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，延长 、 交于 ，
， ，
， ， ，
，解得： ，
即 ， ，
把 代入 得： ，
即反比例函数的解析式是 ；
把 ， 代入 得： ，解得： ， ，
即一次函数的解析式是 ；
（2） ， ，
不等式 的解集是 或 ；
（3）分为两种情况：当点 在第三象限时，要使 ，实数 的取值范围是 ，
当点 在第一象限时，要使 ，实数 的取值范围是 ，
即 的取值范围是 或 ．
9．（宿豫区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的
图象与反比例函数 的图象交于第一、三象限内的 、 两点，与
轴交于点 ，点 在 轴负半轴上， ，且四边形 是平行
四边形，点 的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接 ，求 的面积；
（3）直接写出关于 的不等式 的解集．
【解答】解：（1）当 时， ，则 ，，
四边形 是平行四边形
， ，
，
把 代入 得 ，
反比例函数解析式为 ；
把 代入 得 ，解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）当 时， ，解得 ，则 ，
；
（3）当 或 时， ，
不等式 的解集为 或 ．
10．（北京）在平面直角坐标系 中，函数 的图象 经过点 ，直线
与图象 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 在点 ， 之间的部分与线段 ，
， 围成的区域（不含边界）为 ．
①当 时，直接写出区域 内的整点个数；
②若区域 内恰有4个整点，结合函数图象，求 的取值范围．
【解答】解：（1）把 代入 得 ；
（2）①当 时，直线解析式为 ，
解方程 得 （舍去）， ，则 ， ，
而 ，
如图1所示，区域 内的整点有 ， ， ，有3个；
②如图2，直线 在 的下方时，当直线 过 时， ，
且经过 ，
区域 内恰有4个整点， 的取值范围是 ．
如图3，直线 在 的上方时，
点 在函数 的图象 ，
当直线 过 时， ，
当直线 过 时， ，
区域 内恰有4个整点， 的取值范围是 ．
综上所述，区域 内恰有4个整点， 的取值范围是 或 ．综合运用: 反比例函数的综合运用
1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y= （x＞0）的图
象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．【解析】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中
心，
∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得 =1，解得k=2，
∴反比例函数解析式为y= ，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时， =2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD=3，OC=2．
∵点E是OB的中点，
∴S = S = × ×3×2= ；
DOE OBD
△ △
（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为 ×8=3，
或 ×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若 （1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），若 （1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时， ，
解得 ，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时， ，
解得 ．
此时，直线解析式为y=﹣ x+ ，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣ x+ ．
2.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函
1 1 1
数y= 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
2
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y＞0；
1
（3）当x为何值时，y＜y，请直接写出x的取值范围．
1 2【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
1 1
∴ ，
解得 ．
∴一次函数的表达式为y=x+2．
1
∵反比例函数 的图象经过点D（2，4），
∴ ．
∴k=8．
2
∴反比例函数的表达式为 ．
（2）由y＞0，得x+2＞0．
1
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y＞0．
1
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精
含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；
1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y= （k＞0）表示（如图所示）．
（1）求k的值．
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于 72毫
克/百毫升？（用分钟表示）【解析】解：（1）当x=1.5时，y=﹣200x2+400x=﹣200×2.25+400×1.5=150，
∴k=1.5×150=225；
（2）当y=72时，x=3.125小时=175.5分钟，
所以175.5分钟内其酒精含量不低于72毫克/百毫升．
