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第 02 讲 反比例函数图像与性质的综合应用
课程标准 学习目标
1. 掌握求待定系数法求反比例函数解析式的基本步
骤，并能够熟练的求出反比例函数解析式。
①二待定系数法求反比例函数解析式
2. 掌握反比例函数中k的几何意义与代数意义，并能
②反比例函数k的几何意义与代数意义
对其熟练应用。
③反比例函数与其他函数交点问题
3. 能够熟练解决函数之间的交点问题，以及由交点引
出的其他问题。
知识点01 待定系数法求反比例函数解析式
1. 待定系数法求反比例函数的具体步骤：
具体步骤如下：①设 反比例函数 解析式；②带函数图像上的点；③解方程求比例系数；④写函
数解析式。
题型考点：①利用待定系数法求反比例函数解析式。
【即学即练1】1．已知函数 ，当x＝1时，y＝﹣3，那么这个函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝﹣3，
∴ ＝﹣3，
解得k＝﹣3，
∴这个函数的解析式是y＝﹣ ．
故选：B．
【即学即练2】
2．已知反比例函数 的图象经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（8，2），C（4，﹣6）是否在这个函数的图象上？
【解答】解：（1）∵A（﹣2，﹣8）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣2×（﹣8）＝16，
∴反比例函数解析式为：y＝ ；
（2）∵8×2＝16，
∴B（8，2）在反比例函数图象上，
∵4×（﹣6）＝﹣24≠k，
∴C（4，﹣6）不在反比例函数图象上．
【即学即练3】
3．已知反比例函数 图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点（2，y），（4，y ）是反比例函数图象上两点，试比较y ，y 大小．
2 1 2
【解答】解：（1）将点A（1，1）代入y＝ ，得k＝1，
∴反比例函数解析式为：y＝ ，
（2）∵点（2，y ），（4，y ）是反比例函数图象上两点，
1 2
∴当x＝2时，y ＝ ，当x＝4时，y ＝ ，
1 2
∴y ＞y ．
1 2知识点02 反比例函数k的几何意义
1. k的几何意义：
图① 图②
①如图①，在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到
的三角形的面积等于 。
推广：在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例
函数图像上的点与垂足点得到的三角形的面积都是 。
②如图②，在反比例函数图像上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面
积为 。
题型考点：①反比例函数k的几何意义的应用。
【即学即练1】
4．下面四个图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第1个图中，阴影面积为3，
故符合题意；
第2个图中，阴影面积为 ，
故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为 ，
故符合题意；
第4个图中，阴影面积为 ，故不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
5．如图，两个反比例函数y ＝ 和y ＝ 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴
1 2 1 2 1
于点A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2
A．4 B．2 C．1 D．6
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C 于点B，
2
∴ ，
∴S△POB ＝2﹣1＝1．
故选：C．
【即学即练3】
6．如图所示，过反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂
足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S ，S ，那么它们的大小关系是（ ）
1 2
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【解答】解：依题意有：Rt△AOC和Rt△BOD的面积是个定值 |k|．
所以S ＝S ．
1 2
故选：B．
【即学即练4】
7．两个反比例函数C ： 和C ： 在第一象限内的图象如图所示，设点 P在C 上，PC⊥x轴于点
1 2 1
C，交C 于点A，PD⊥y轴于点D，交C 于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
2 2A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△AOC ＝S△BOD ＝ |k|＝ ，S矩形PCOD ＝|2|＝2，
∴四边形PAOB的面积＝2﹣2• ＝1．
故选：A．
知识点03 反比例函数与其他函数的交点问题
1. 函数与函数的交点问题：
解决函数与函数的交点问题，需要把两个函数相等起来建立方程去求解。建立得到的方程的解释函数
交点的 横坐标 ，将横坐标带入函数中可求得交点的 纵坐标 。从而得到两个函数的交点。
2. 反比例函数与正比例函数的交点：
反比例函数是一个中心对称图形，对称中心是原点，正比例函数经过原点，若反比例函数与正比例函
数有交点，则一定是 两 个交点。且这两个交点一定关于 原点 对称。反比例函数与正比
例函数的系数若 同号 ，则两个函数有交点。若 异号 ，则两个函数无交点。
3. 反比例函数与一次函数的交点问题：
反比例函数与一次函数建立方程，得到的方程是一个 一元二次方程 ，若方程有两个不相等的
实数根，这这两个函数有 2 个交点；若方程有两个相等的实数根，则两个函数只有 1 个交点；
若方程没有实数根，则两个函数 没有 交点。
题型考点：①利用函数交点求取值范围。
【即学即练1】
8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数
的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞4
【解答】解：由图象可知：
当x＜1时，反比例函数大于一次函数的函数值，当x＝1时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当1＜x＜4时，一次函数大于反比例函数的函数值，
当x＝4时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当x＞4时，反比例函数大于一次函数的函数值，
即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1＜x＜4，
故选：B．
【即学即练2】
9．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k x（k ≠0）的图象与反比例函数 的图象有
1 1
交点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．k k ＜0 B．k k ＞0 C．k +k ＜0 D．k +k ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵正比例函数y＝k x的图象与反比例函数y＝ 的图象有公共点，
1
∴k 与k 同号，即k •k ＞0．
1 2 1 2
故选B．
【即学即练3】
10．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标
1 1 2
为3，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y ＜y 时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
1 2
故选：B．
【即学即练4】
11．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞ 的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为 ，
∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，
∴ ，
∴B（﹣2，﹣1），
由题意得关于x的不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范
围，
∴关于x的不等式 的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：C．
题型01 待定系数法求函数解析式
【典例1】
已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝7．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x＝5时，求y的值．
【解答】解：（1）∵y是x的反比例函数，∴y＝ （k≠0），
∵当x＝4时，y＝7，
∴7＝ ，
解得k＝28，
∴y关于x的函数解析式为y＝ ；
（2）把x＝5代入y＝ 得：y＝ ．
【典例2】
已知y＝y +y ，y 与x成正比例，y 与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．
1 2 1 2
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝﹣2时，求y的值．
【解答】解：（1）设y ＝mx，y ＝ ，
1 2
则y＝mx+ ，
根据题意得 ，
解得 ．
所以y与x的函数表达式为y＝x+ ．
（2）把x＝﹣2代入得，y＝﹣2+ ＝﹣ ．
【典例3】
已知y＝y +y ，y 与（x﹣1）成正比例，y 与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣
1 2 1 2
1．
（1）求y的表达式；
（2）求当x＝﹣2时y的值．
【解答】解：（1）∵y 与（x﹣1）成正比例，y 与（x+1）成反比例，
1 2
∴y ＝k （x﹣1），y ＝ ，
1 1 2
∵y＝y +y ，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．
1 2∴ ，
∴k ＝﹣2，k ＝1，
2 1
∴y＝x﹣1﹣ ；
（2）当x＝﹣2，y＝x﹣1﹣ ＝﹣2﹣1﹣ ＝﹣1．
【典例4】
如图，反比例函数 的图象与直线x＝﹣3交于点P，△AOP的面积等于3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）利用图象，求当﹣3＜x＜0时，y的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与直线x＝﹣3交于点P，
∴点P的横坐标为﹣3，OA＝3，
∵△AOP的面积等于3．
∴ •OA•PA＝3，
∴PA＝ ＝2，
∴点P的坐标为（﹣3，2），
将P（﹣3，2）代入 得： ，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）∵当x＝﹣3时，y＝2，
∴当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围是y＞2．题型02 反比例函数k的几何意义：一个象限内
【典例1】
如图，A为反比例函数y＝ （k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB ＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
【解答】解：由于点A是反比例函数y＝ 图象上一点，则S△AOB ＝ |k|＝3；
又由于k＞0，则k＝6．
故选：D．
【典例2】
如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数 （k＞0，x＞0）的图象与线段
AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，
∴S△AOB ＝3S△BOC ，
∴S△BOC ＝ ×12＝4，
∴ |k|＝4，
而k＞0，
∴k＝8．
故选：C．【典例3】
在平面直角坐标系中，点 A是x轴正半轴上的一个定点，点 P是双曲线y＝ （x＞0）上的一个动点，
PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【解答】解：设点P的坐标为（x， ），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB是个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积＝ （PB+AO）•BO＝ （x+AO）• ＝ + ＝ + • ，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选：C．
【典例4】
如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，
则k的值为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为 ，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y＝ 上，
∴x＝ ，
∴矩形ABCD中心的坐标为（ ， ）
∴BC＝2（ ）＝ ﹣2m，
∵S矩形ABCD ＝8，
∴（ ﹣2m）•n＝8．
4k﹣2mn＝8，
∵点A（m，n）在y＝ 上，
∴mn＝k，
∴4k﹣2k＝8
解得：k＝4
故选：D．
题型03 反比例函数k的几何意义：多个象限内
【典例1】
如图，点P是反比例函数 图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x
轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（ ）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36
【解答】解：连接OP，
∵点B是点A关于x轴的对称点，
∴OA＝OB，
∴S△AOP ＝S△POB ＝ S△PAB ，
∵△PAB的面积为18，
∴S△AOP ＝9，
∴|k|＝18．
又∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＝﹣18．
故选：C．
【典例2】
如图，A，B是函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行
于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC面积为S，则（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2【解答】解：∵A，B是函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行
于y轴，
∴S△AOC ＝S△BOD ＝ ，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD ＝S△AOC ＝ ，S△BOC ＝S△BOD ＝ ，
∴四边形ADBC面积＝S△AOD +S△AOC +S△BOC +S△BOD ＝ ×4＝2．
故选：C．
【典例3】
如图，A、B是函数y＝ 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为
S，则S＝ 4 ．
【解答】解：如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．
∵A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AC∥y轴，
∴AC⊥x轴，AD＝CD，OA＝OB，
∴S△COD ＝S△AOD ＝ ×2＝1，
∴S△AOC ＝2，
∴S△BOC ＝S△AOC ＝2，
∴S△ABC ＝S△BOC +S△AOC ＝4．
故答案为：4．【典例4】
如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝ 图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，
△ABC的面积为6，则k的值为 ﹣ 6 ．
【解答】解：由对称性可知，OA＝OB，
∴S△AOC ＝S△BOC ＝ S△ABC ，
∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6，
∴S△BOC ＝ S△ABC ＝ ＝ |k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
题型04 反比例函数k的几何意义：双反比例函数
【典例1】
如图，是反比例函数y＝ 和y＝ （k ＜k ）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于
1 2
A、B两点，若S△AOB ＝2，则k
2
﹣k
1
的值是（ ）A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k ＝ab，k ＝cd，
1 2
∵S△AOB ＝2，
∴ cd﹣ ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k ﹣k ＝4，
2 1
故选：C．
【典例2】
如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 y＝ 和y＝ 的图象的四个分支上，则实数n的值为（
）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点 O，过点A，B分别作x轴的垂
线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝ 上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC ＝S△OBD ＝ ＝ ，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
【典例3】
双曲线C₁ ： 和C₂ ： 的图象如图所示，点A是C₁ 上一点，分别过点A作AB⊥x轴，
AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂ 交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【解答】解：∵S△AOD ＝S△AOB ﹣S△DOB ，
∴ ，
∴|k|＝5，
∵反比例函数位于第三象限，
∴k＝﹣5，
故选：D．
【典例4】
如图，函数 和 的图象分别是l 和l ．设点P在l 上，PA∥y轴交l 于点A，
1 2 2 1
PB∥x轴交l 于点B，则△PAB的面积为（ ）
1
A．1 B．4 C． D．
【解答】解：如图，延长PA、PB分别交x轴，y轴于点C、D，连接OA、OB，设点A的横坐标为x，则点A的纵坐标为 ，点P的纵坐标为 ，
∴PA＝PC﹣AC＝ ﹣ ＝ ，
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，点B的纵坐标为 ，
∴点B的横坐标为 x，
即BD＝ x，
∴PD＝PB﹣BD＝x﹣ x＝ x，
∴S△PAB ＝ PA•PB
＝ × × x
＝ ，
故选：C．
题型05 函数的交点
【典例1】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象上与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y
1
轴交于点C，已知点A（6，2），点B的横坐标为﹣4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且S△ABD ＝15，求点D坐标．【解答】解：（1）∵点A（6，2）在比例函数 上，
∴2＝ ，
∴m＝12，
∴反比例函数解析式为y ＝ ，
2
∵点B（﹣4，n）在反比例函数y ＝ 上，
2
∴n＝ ，
∴n＝﹣3，
∴B（﹣4，﹣3），
∵点A，点B在一次函数y ＝kx+b的图象上，
1
∴ ，
解得： ，
∴一次函数解析式为y ＝2x﹣10；
1
（2）如图，所示：
设点D（0，d），
∵点C是一次函数为y ＝2x﹣10与y轴的交点，
1
∴点C（0，﹣10），
∴CD＝|d+10|，
∴S△ABD ＝S△BDC +S△ADC ＝15，
∴ ×4+ ×CD×6＝15，
∴CD＝3，
∴|d+10|＝3，∴d＝﹣7或d＝﹣13，
∴点D的坐标为（0，﹣7）或（0，﹣13）．
【典例2】
如图，一次函数y ＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y ＝ 的图象交于
1 2
点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OC，OD，求△COD的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ＝3，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由y ＝ 过点C（1，2）和D（2，n）可得： ，
2
解得： ．
∴y ＝ ．
2
又由y ＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得： ，
1
解得 ．
∴y ＝﹣x+3．
1
（2）由y ＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
1
∴OB＝3．
而点D到y轴的距离为2，点C到y轴的距离为1，
∴S△COD ＝S△BOD ﹣S△BOC ＝ ×3×2﹣ ＝ ．
（3）由题意，可设P（m， ）（m＞0），
又PQ∥x轴且Q在直线AB上，
∴Q（3﹣ ， ）．又PQ＝3，
∴|m﹣3+ |＝3．
∴解得，m＝3± ．
∴P（3+ ，3﹣ ）或（3﹣ ，3+ ）．
【典例3】
如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m≠ ）的图象交于 A（﹣1，n），B（3，
1 2
﹣2）两点．
θ
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣ ＞0时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数 图象上，
∴ ，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为 ，
将A（﹣1，n）代入 ，
得： ，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得，
解得： ，
∴一次函数解析式为y ＝﹣2x+4；
1
（2）由图可得：x＜﹣1或0＜x＜3时，kx+b﹣ ＞0；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y ＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
1
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即 |a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【典例4】
如图，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
1 2
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求△AOB的面积．
（3）当y ＞y 时，直接写出x的取值范围．
1 2
【解答】解：（1）将A点坐标代入反比例函数得，
m＝﹣2×1＝﹣2．
所以反比例函数的解析式为 ．
将B点坐标代入反比例函数解析式得，
n＝ ．
即点B的坐标为（1，﹣2）．将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得 ．
所以一次函数解析式为y ＝﹣x﹣1．
1
（2）令直线AB与x轴的交点为M.
将y＝0代入一次函数解析式得，
﹣x﹣1＝0，
解得x＝﹣1
即点M的坐标为（﹣1，0）．
所以 ，
，
故 ．
（3）由函数图象可知，
在直线x＝﹣2的左侧和直线x＝0与直线x＝1之间的部分，
一次函数y 的图象在反比例函数y 图象的上方，
1 2
即y ＞y ，
1 2
所以当y ＞y 时，x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1．
1 2
1．反比例函数y＝ 经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣4x B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝4x【解答】解：由题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式y＝ ，
∴﹣4＝ ．
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
故选：B．
2．对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x增大而增大
C．从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是k2+2
D．若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，若x ＜x ，y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【解答】解：在反比例函数 中，k2+2＞0，
A、该反比例函数的图象在第一、第三象限，故A选项不符合题意；
B、该反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，故B选项不符合题
意；
C、从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是k2+2，故C选项符合题意；
D、该反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
当x ＜x ＜0时，y ＞y ，
1 2 1 2
当0＜x ＜x 时，y ＞y ，
1 2 1 2
当x ＜0＜x 时，y ＜y ，
1 2 1 2
故D选项不符合题意．
故选：C．
3．平面直角坐标系中，若点A（x ，2）和B（x ，4）在反比例函数 图象上，则下列关系式
1 2
正确的是（ ）
A．x ＞x ＞0 B．x ＞x ＞0 C．x ＜x ＜0 D．x ＜x ＜0
1 2 2 1 1 2 2 1
【解答】解：解法一：∵反比例函数 ，
∴反比例函数 的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（x ，2）和B（x ，4）都在第一象限，
1 2
∵4＞2＞0，
∴x ＞x ＞0．
1 2故选：A．
解法二：∵点A（x ，2）和B（x ，4）在反比例函数 图象上，
1 2
∴ ， ，
∴ ， ，
∵k＞0，
∴x ＞x ＞0．
1 2
故选：A．
4．在反比例函数 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，
则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在反比例函数 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，则k＞1，
∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，
∴﹣k＝±2×1×2＝±4，则k＝±4，
∴k＝4，
∴该反比例函数的解析式为 ，
故选：A．
5．如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x 轴于
1 2 1
点A，交C 于点B，已知△POB 的面积为4，则k的值为（ ）
2
A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：∵PA⊥x 轴于点A，交C 于点B，
2∴S△POA ＝ ，S△BOA ＝ ＝4，
∵POB 的面积为4，
∴S△POB ＝ |k|﹣4＝4，
∵k＞0，
∴k＝16．
故选：A．
6．如图已知反比例函数C ： 的图象如图所示，将该曲线绕点 O顺时针旋转45°得到曲线
1
C ，点N是由曲线C 上一点，点M在直线y＝﹣x上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为
2 2
，则k的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C 绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，
2
∴旋转后点N落在曲线C 上，点M落在x轴上，如图所示，
1
设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，
过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，
∵MN＝ON，
∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，
∴S△MON ＝2S△PN'O ＝2× ＝|k|＝ ，
∵k＜0，
∴k＝﹣ ．
故选：B．7．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（2，0），与函数y＝ 的图象交于点B，C，点B的横坐标是
8，点C的横坐标是﹣6，则不等式组0＜ax+b＜ 的解集是（ ）
A．﹣6＜x＜2 B．﹣6＜x＜0 C．﹣6＜x＜8 D．0＜x＜2
【解答】解：观察图象可得，
当﹣6＜x＜0时，直线y＝ax+b位于x轴的上方、函数y＝ 图象得下方，
∴不等式组0＜ax+b＜ 的解是﹣6＜x＜0．
故选：B．
8．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线 分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函
数 （k＞0，x＞0）， （x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结
OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由题意可求B（0，﹣1），∵直线y＝ x﹣1与y ＝ 交于点C，
1
∴S△OCE ＝ k，
设D（x， ），
∴S△BOD ＝ ×1×（﹣x）＝﹣ x，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴ k＝﹣ x，
∴k＝﹣x，
∴D（﹣k，﹣2），
∵D点在直线y＝ x﹣1上，
∴﹣2＝﹣ k﹣1，
∴k＝2，
故选：A．
9．反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达式为 y ＝ ．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），
∴ ＝m．
∴m＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝ ．
10．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是
反比例函数 （k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例
函数的解析式为 y ＝ ．【解答】解：∵图中阴影部分的面积等于4，
∴正方形OABC的面积为4，
∵P点坐标为（2a，a），
∴2a×2a＝4，
∴a＝1（a＝﹣1舍去），
∴P点坐标为（2，1），
把P（2，1）代入y＝ ，得
k＝2×1＝2，
故答案为y＝ ．
11．如图，直线AB与反比例函数 交于点B，与x轴和y轴分别交于点A和点D，BC⊥AC于点C，若
点D是线段AB的中点，∠DAO＝30°，OA＝1，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝1，
∴OD＝ OA＝ ，
∵BC⊥AC于点C，
∴OD∥BC，
∵点D是线段AB的中点，
∴BC＝2OD＝ ，CO＝AO＝1，∴B（﹣1， ），
∵点B在反比例函数 的图象上，
∴k＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝ （x＞0），y＝ （x＜
0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ﹣ 4 ．
【解答】解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB ＝S△OCB ，
而S△OCB ＝ •|2|+ •|k|，
∴ •|2|+ •|k|＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13．如图，Rt△ABC，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（0，﹣2），BC的长为4，反比例函数
的图象经过点C．
（1）求反比例函数与直线AC的解析式；
（2）点P是反比例函数图象上的点，若使△OAP的面积恰好等于△ABC的面积，求P点的坐标．【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，且B（0，﹣2），
又BC＝4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）．
将点C坐标代入反比例函数解析式得，
y＝4×（﹣2）＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为 ．
设直线AC的函数解析式为y＝ax+b，
将A，C两点坐标代入得，
，
解得 ．
∴直线AC的解析式为 ．
（2）设点P坐标为（m，n），
由A（0，4）得，
OA＝4，
∴ ＝2|m|．
又△OAP的面积等于△ABC的面积，
且 ，
∴2|m|＝12，
解得m＝±6，
当m＝6时，
n＝ ＝ ；当m＝﹣6时，
n＝ ；
∴点P的坐标为（6， ）或（﹣6， ）．
14．如图，A、B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点
D，且AC＝1
（1）若k＝2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 1 ；
（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．
【解答】解：（1）∵AC＝1，k＝2，
∴点A（1，2），
∴OC＝2，OA＝ ＝ ．
∵点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴S△BOD ＝ |k|＝1．
故答案为： ；1．
（2）∵A，B两点在函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴A（1，k），B（k，1），
∴AO＝ ，AB＝ ．
∵AO＝AB，
∴ ＝ ，
解得：k ＝2+ ，k ＝2﹣ ，
1 2
经检验，k ＝2+ ，k ＝2﹣ 均为原方程的解，k ＝2+ 符合题意，k ＝2﹣ 不符合题意，舍去，
1 2 1 2
∴k＝2+ ．15．反比例函数 ， （n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P
作AB∥y轴，分别与y 、y 交于A、B两点．
1 2
（1）当n＝﹣10时，求S△OAB ；
（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．
（用含有n的代数式表示）．
【解答】解：（1）当n＝﹣10时，y ＝﹣ ，
2
∴S△BOP ＝ ×|﹣10|＝5，
∵A在y＝ 的图象上，
∴S△AOP ＝ ×|8|＝4，
∴S△OAB ＝S△BOP +S△AOP ＝9，
答：S△OAB ＝9；
（2）设P（m，0），则A（m， ），B（m， ），
∴AB＝| ﹣ |，
①当m＞0时，AB＝ ＝AD，
∴DP＝AD+AP＝ + ＝ ，
∴D（m， ），
设x＝m，y＝ ，则xy＝16﹣n，
∴y＝ ，即点D所形成的函数图象的表达式为y＝ ，②当m＜0时，AB＝ ，
同理可得y＝ ，
综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为y＝ ．
