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专题 12 分式与分式方程中常见的易错之六大题型
分式值为0时求值，忽略分母不为0
例题：（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式 ，则x的值是( )
A．1 B．－1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答
即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式为零的条件，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子
为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·八年级校考期末）已知分式 ，则 ．
【答案】【分析】根据分式的值为0的条件可得 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件（分母不为0，分子为
0）是解题的关键．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）若分式 的值为0，则 的值为 .
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件可得 ，且 ，再解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不
等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）使分式 的值为整数的所有整数x的和为
（ ）
A．8 B．4 C．0 D．
【答案】B
【分析】由整除的性质可知， 是7的因数，即可分别得出符合题意的 值，再求和即可．
【详解】解： 的值为整数，
为7的因数，，或 ．
又 为整数，
，或 ，或 ，或 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
1（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知n为整数，当 时，分式 的值是整数．
【答案】 或0或2或3
【分析】根据分式 的值是整数，得出2能别 整除，则 或 或1或2，求解即可．
【详解】解：∵分式 的值是整数，
∴2能别 整除，
∴ 或 或1或2，
解得： 或0或2或3，
故答案为： 或0或2或3．
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是根据整数的定义得出2能别 整除．
2．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）已知 为大于1的正整数，且代数式 的值也是整数，
则 可取的最大整数值是 ．
【答案】8
【分析】化简 得到 ，根据题意得到 或7，即可得到答案．
【详解】解： ，
∵代数式 的值也是整数， 为大于1的正整数，
∴ 或7，
当 时， ，
当 时， ，∴ 可取的最大整数值是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的值，解一元一次方程等知识，准确变形是解题的关键．
自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
例题：（2023上·江西赣州·八年级统考期末）先化简 ，再从 ，2，3中任意选
择一个合适的数代入求值．．
【答案】 ，5
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从 ，2，3中选取一个使得原分式
有意义的值代入化简后的式子即可．
【详解】解：
，
∵要使分式有意义， 不能取0和 ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．
1．（2023下·甘肃张掖·八年级校考期末）先化简 ，然后在0，1，2中选一个
你喜欢的 值，代入求值．
【答案】 ，
【分析】利用分式运算法则化简式子，再将x的值代入计算即可，注意分式有意义的条件．
【详解】解：，
∵ ， ，
将 代入化简的式子可得：原式 ．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，以及分式有意义的条件，代
入x值的时候，注意 且 ．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）先化简： ，再从 ， ，0，1
中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】括号内通分得到 ，括号外除法化为乘法得到 ，化简约分得到
，根据分母不等于0得到 ，或 ，从 ， ，0，1中挑选 ，即得．
【详解】解：
∵ ， ，
∴ ，或 ，∴从 ， ，0，1中挑选 ，
当 时，原式 ．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，解决问题的关键是熟练掌握分式的运算法则，在代入x
值时，注意分母不为0．
解分式方程不验根导致易错
例题：（2023下·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）解分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)原分式方程的解为
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 ，检
验”即可求解；
（2）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 ，检验”即可求
解．
【详解】（1）解：
等式两边同时乘以 ，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为 得， ，
检验，当 时，原分式方程的分母为 ， ，即原分式方
程有意义，
∴ 是原分式方程的解，即原分式方程的解为 ．（2）解：
等式两边同时乘以 ，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为 得， ，
检验，当 时，原分式方程的分母 ，原分式方程无意义，
∴ 是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）解方程：
(1) ． (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到
分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验： ，
∴方程的解为 ；
（2） ，
去分母得： ，解得： ，
检验： ，是增根，
∴方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【详解】（1）解：由
则去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
经检验： 是原分式方程的解；
（2）解：由 ，
则去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
因为 ，
经检验： 是增根，原分式方程无解．
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．分式方程无解与增根混淆不清
例题：（2023下·浙江丽水·七年级统考期末）关于x的分式方程 无解，则m的值是
．
【答案】 或7
【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情
况，分别进行计算即可．
【详解】解：关于x的分式方程 化为整式方程得，
，即 ，
由于分式方程无解，
所以 ，即 ，
或者分式方程有增根 ，
当 时， ，解得 ，
综上所述，m的值为 或7，
故答案为： 或7．
【点睛】本题考查分式方程的解，掌握分式方程解法，理解分式方程解的含义是正确解答的前提．
1．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）当 时，解分式方程
会出现增根．
【答案】6
【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程 会出现增根只能是
，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将 代入该分
式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
【详解】解：分式方程 会出现增根，
则 即 ，去分母得，
将 代入得 ，
即当 时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是
适合去分母后的整式方程．
2．（2023上·山东淄博·八年级校考期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值
为 ．
【答案】10或 或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程
无解．
【详解】解：（1） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ；
（2） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ．
（3）方程两边都乘 ，
得 ，
化简得： ．
当 时，整式方程无解．
综上所述，当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：10或 或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整
式方程无解的情形．
已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值
例题：（2023秋·四川绵阳·八年级校考期末）若关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是_______．
【答案】 且
【分析】根据解分式方程的方法解出未知数，再根据解为非负数即可求解．
【详解】解：关于 的分式方程 ，
移项，变形得，
分式加减得，
∴ ，解得， 且 ，
∵解为非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查根据分式的解求参数，掌握解分式方程的方法，分式有意义的条件，不等式
的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为负数，则m的取
值范围是 ．
【答案】 且
【分析】先解分式方程得到 ，再根据分式方程的解为负数和不能有增根列式求解即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得：
解得 ，
∵分式方程的解为负数，且 ，∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出 是解题的关键，注意一
定要舍去增根的情况．
2．（2023春·四川成都·八年级统考期末）若关于 的分式方程 的解小于 ，则 的
取值范围是
【答案】 且
【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于 ，列出不等式，进而即可求
解．
【详解】解：
两边同时乘以 ，得
解得： ，
∵分式方程 的解小于 ，
∴ ，且
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
一、单选题
1．（2023上·湖南长沙·八年级统考期末）若分式 的值等于 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据分式值为0的条件：分子等于0，分母不为0求出x的值即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解本题的关键．
2．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）关于 的方程 有增根，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 的根．有增根，最简公分母
，所以增根是 ，把增根代入整式方程即可求出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，得 ，
方程有增根，
最简公分母 ，即增根是 ，
把 代入整式方程，得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤： 确定增根的值； 化分式方程为
整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）分式方程 无解，则a的值是( )
A．3或2 B． 或3 C．- 或3 D． 或2
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如 的整式方
程后，如果 且 ，亦无解．据此即可解答．
【详解】解：将 化为整式方程得：
整理得：①∵分式方程 无解，
∴
将 代入 得：
∴ ．
②整式方程 中，
当 时，方程无解，
此时，
综合①②两种情况可知，a的值为3或2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键．
4．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）已知关于 的方程 的解是正数，那么 的取值
范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出 的取值范围．
【详解】解：去分母：
解得：
∵
∴
∵方程的解是正数
∴
∴
综上： 且
故选：A
【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提．
二、填空题
5．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）若分式 的值为零，那么x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可．【详解】解：由 ，得 ；
又 ，则
所以若分式 的值为0，则 的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为
0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
6．（2023下·四川成都·八年级统考期末）关于x的分式方程 有增根，则
．
【答案】2
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出 ，代入求值即可；
【详解】解： ，
，
，
∵方程有增根，
∴ ，
∴ ，
当 时，
，解得 ；
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键．
7．（2023上·湖南长沙·八年级校考期末）若关于x的分式方程 无解，则 ．
【答案】4或2/2或4
【分析】先把分式方程去分母得到 ，再分 和 两种情况讨论求解即可．【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
∵分式方程无解，
∴当 ，即 时满足题意；
当 时，则 ，
∴ ；
综上所述， 或 ，
故答案为：4或2．
【点睛】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，理解分式方程无解的意义，进行分类讨论是解
题关键．
8．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期末）若关于 的方程 的解为正数，则 的
取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值
范围．
【详解】解： ，
去分母得， ，
整理得， ，
解得， ，
∵分式方程的解为正数，
∴ 且 ，
∴ 且 ．故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式．解分式方程时注意分母不能为零．
三、问答题
9．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期末）解方程：
(1) ； (2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
（2）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】（1）解： ，
两边都乘以 ，得
，
解得
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：原方程即为： ，
两边都乘以 ，得 ，
解得
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方
程需要检验．
10．（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）解分式方程
(1) (2)
【答案】(1)(2)原分式方程无解
【分析】（1）方程两边同时乘 化为整式方程，解得 ，再代入 进行检验，即
可得到方程的解；
（2）方程两边同时乘 化为整式方程，解得 ，代入 检验，得到 是
增根，则分式方程无解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘 得，
，
解得， ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解是 ．
（2）
解：方程两边同时乘 得，
解得， ，
检验：当 时， ，
∴ 是增根．
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法和验根是解题的关键．
11．（2023下·广东揭阳·八年级统考期末）先化简，再求值： ，从 中
选择一个合适的 的值代入求值．【答案】 ；当 时，值为
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可．
【详解】原式
由分式有意义的条件可知： 不能取1，3，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．
12．（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）先化简 ，再从 ， ， 中选
择合适的 值代入求值．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后
将字母的值代入求解．
【详解】解：原式
∵ 时，原分式无意义，
∴ 只能为0，当 时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
13．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程
(1)当 时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 且
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将 代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将 代入计算，即可求出m的值；
（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．
【详解】（1）解：分式方程去分母得： ，
整理得： ，
（1）当 时， ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解；
（2）解：∵分式方程无解，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得： ，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得： 且 ．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子
大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）
拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
例如 ， ．
解决问题：
(1)已知 ，则 ______；
(2)对于分式 ，
①按分离常数法可以拆分为______；
②若该分式值为整数，求所有满足条件的整数x的值；
(3)利用分离常数法，请直接写出分式 的取值范围______．
【答案】(1)
(2)① ；②0、1、3、4；
(3)
【分析】（1）根据分离常数法即可得解；
（2）①将 分离为 即可得解，根据 为整数，则 ， 即可得解；
（3）把 化为 ，根据 的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为5；
（2）解：① ，
故答案为 ；
②若 值为整数，即 为整数，亦即 为整数，
故 ， ，∴ 可取0、1、3、4；
（3）解： ．理由：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，不等式，理解并能运用“分离常数法”是
解题的关键．
