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第 8 讲 一次函数
知识点1 一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.
【典例】
5
1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y= ；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1）-x2﹣
x
2x；⑦y= 中，是一次函数的有________________.
【答案】①②⑥
【解析】解：①y=πx是一次函数；
②y=2x﹣1是一次函数；
5
③y= ，未知数出现在分母的位置，不是一次函数；
x
④原式可化简为y=15，不是一次函数；
⑤y=x2﹣1，为指数的系数不为1，不是二次函数，
⑥原式可化简为y=-2x-1，是一次函数.
⑦y= ，未知数出现在分母位置，不是一次函数.
故事一次函数的有①②⑥
故答案为①②⑥.
【方法总结】
本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：
①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0.
注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置；
②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数.2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.
【解析】解：由y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得
{&|m|−2=1
，
&m−3≠0
解得m=﹣3，m=3（不符合题意的要舍去）．
故答案为-3.
【方法总结】
一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案．
牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键.
【随堂练习】
1．（蚌埠期中）当k=_____ 时，函数y=（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数．
【解答】解：由原函数是一次函数得，
k+3≠0 且|k+2|=1
解得：k=﹣1
故答案是：﹣1．
2．（句容市月考）若函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，
m= _______ ．
【解答】解：∵函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，
∴2m+1=1，m+3+4≠0，
解得：m=0；
或2m+1=0，
解得：m=﹣ ；
或m+3=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：=0或﹣ 或﹣3．
3．（袁州区校级月考）已知 y=（m﹣2）xn﹣1+3 是关于 x 的一次函数，则
n=____．
【解答】解：依题意得：n﹣1=1，
解得n=2．
故答案是：2．4．（双阳区校级月考）m为何值时，函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0）是一次
函数？
【解答】解：∵函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0）是一次函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．
知识点2 一次函数的图像
b
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（− ，0）的直线，一次函数y＝kx＋b的图象
k
也称为直线y＝kx＋b.
画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y轴的交点；②描
点：在直角坐标系中描出两个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即为一次函数的图像.
【典例】
1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.
【答案】
【解析】解：（1）根据y=x﹣2可得：
（2）描点：函数图形过两点（0，-2），（2，0）.
（3）连线：过两点画直线，如图所示．
【方法总结】
本题考查了一次函数的图象作法，熟练掌握作一次函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，是解题的
关键．
做一次函数图像的理论依据：两点确定一条直线.
【随堂练习】
1．（杭州）已知一次函数 和 ，函数 和 的图象可能是A． B．
C． D．
【解答】解： 、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、三象限，故 正确；
、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、三象限，故 错误；
、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、四象限，交点不对，故 错误；
、由①可知： ， ，
直线②经过二、三、四象限，故 错误．
故选： ．
2．（瑶海区期末）如图图象中，不可能是关于 的一次函数 的图象的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、由函数图象可知 ，解得 ；、由函数图象可知 ，解得 ；
、由函数图象可知 ，解得 ， ，无解；
、由函数图象可知 ，解得 ．
故选： ．
3．（西湖区期末）若实数 ， ， 满足 ，且 ，则函数 的
图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，且 ，
， ， 的正负情况不能确定），
，
函数 的图象与 轴正半轴相交，
，
函数 的图象经过第一、二、四象限．
故选： ．
4．（兴安盟四模）若式子 有意义，则一次函数 的图象
可能是
A． B．C． D．
【解答】解： 式子 有意义，
，解得 ，
， ，
一次函数 的图象过一、二、四象限．
故选： ．
5．（九江期末）两个一次函数 与 ， 为常数，且 ，它们在同
一个坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、三象限，故 错误；
、由①可知： ， ．
直线②经过一、三、四象限，故 正确；
、 ，故直线不经过原点，故 错误；
、由①可知： ， ，
直线②经过一、三、四象限，故 错误．
故选： ．
二．解答题（共1小题）
6．（沙坪坝区校级期末）如图，在 中 ， ， ．点 从点出发，沿折线 运动，当它到达点 时停止，设点 运动的路程为 ．点
是射线 上一点， ，连接 ．设 ， ．
（1）求出 ， 与 的函数关系式，并注明 的取值范围；
（2）补全表格中 的值；
1 2 3 4 6
1 2
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在 的取值范围内画
出 的函数图象：
（3）在直角坐标系内直接画出 函数图象，结合 和 的函数图象，求出当 时，
的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
当 时， ，
当 时， ，
即 ， ；
（2） ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ；
故答案为：12，6，4，3，2，
在 的取值范围内画出 的函数图象如右图所示；
（3） ，
则 函数图象如右图所示，
当 时，得 ；当 时， ；
则由图象可得，当 时， 的取值范围是 ．
知识点3 一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b的性质
1．增减性
2．图象所过象限
3．倾斜度
【典例】
1.直线y=kx+k（k≠0）一定经过第__________象限.
【答案】二、三
【解析】解：当k＞0时，直线y=kx+k（k≠0）经过一、二、三象限；
当k＜0时，直线y=kx+k（k≠0）经过二、三、四象限，
故答案为二、三.
【方法总结】
题目中没有给出k值的正负，所以要分情况讨论.分别求出k>0和k<0时直线所经过的象限，然后找出公共的象限，即所求答案.
本题考查了一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象与k，b的关系，注意：k＞0，函数图象经过第一、
三象限；k<0，函数图象经过二、四象限．
2.两条直线y=ax+b与y=bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y=bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，符合
1 2
y=bx+a的图象，故此选项正确；
2
B、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＞0，所以y=bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y=bx+a的图
1 2 2
象，故此选项错误；
C、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y=bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，不符合y=bx+a的图
1 2 2
象，故此选项错误；
D、由y=ax+b知：a＞0，b＞0，所以y=bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y=bx+a的图象，故
1 2 2
此选项错误；
故选A.
【方法总结】
先假设选项中的一条直线的图像准确，则由图像经过的象限可得a与b的符号，从而可判断出另一条直线
的图像所经过的象限，再与选项所给图形作对比即可判断该选项的正误.
根据k，b的正负，判定一次函数y＝kx＋b图象所过象限：
①k＞0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、三象限；
②k＞0，b＜0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、三、四象限；
③k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、四象限；
④k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第二、三、四象限；
3.一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是________________________.
【答案】1＜m＜2
【解析】解：∵一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，
{&m−2＜0
∴ ，
&m−1＞0解得1＜m＜2．
故答案为1＜m＜2.
【方法总结】
根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的不等式组，解不等式
组即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b的关系．直线经过一、三象限时，k＞0
时；直线经过二、四象限时，k＜0.直线与y轴正半轴相交时，b＞0；直线过原点时，b=0；直线与y轴负
半轴相交时，b＜0.
【随堂练习】
1．（南岗区期末）一次函数 的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【解答】解： 一次函数 中， ， ，
此函数的图象经过二、三、四象限．
故选： ．
2．（广丰区期末）一次函数 的图象如图，那么下列说法正确的是
A． 时， B． 时， C． 时， D． 时，
【解答】解： 、如图所示，当 时， ，故本选项错误；
、如图所示，当 时， ，故本选项错误；
、如图所示，当 时， ，故本选项错误；、如图所示，当 时， ，故本选项正确；
故选： ．
3．（呼兰区校级期末）如果直线 经过一、三、四象限，那么直线 经过
第 象限．
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【解答】解：已知直线 经过第一、三、四象限，
则得到 ， ，
那么直线 经过第一、二、四象限．
故选： ．
4．（涪城区校级自主招生）如图中的直线 ， ， ，
则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得： 为负数，
，， ， 的大小关系是 ．
故选： ．
5．（德州期末）一次函数 ，若 随着 的增大而减小，则该函数的图象经过
A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四
【解答】解： 一次函数 ， 随着 的增大而减小，
，即 ，
该函数图象经过第一、二、四象限．
故选： ．
6．（潮南区模拟）已知一次函数 ，当 时， 的最大值是
A．1.5 B．2 C．2.5 D．
【解答】解：在一次函数 中 ，
随 值的增大而减小，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
故选： ．
7．（杨浦区二模）如果 ， ，那么一次函数 的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【解答】解： ，
一次函数 的图象经过第二、四象限．
又 时，
一次函数 的图象与 轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选： ．
二．解答题（共1小题）
8．（梁山县期末）小东根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了
探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 全体实数 ；（2）已知：
①当 时， ；
②当 时，
③当 时， ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
（3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的
坐标 ，其中 ； ；：
0 1
5 1 0 1
（4）在平面直角坐标系 中，作出函数 的图象；
（5）根据函数的图象，写出函数 的一条性质．
【解答】解：（1）函数 的自变量 的取值范围是全体实数；
故答案为全体实数；
（3） 、 的取值不唯一，取 ，
把 代入 ，得 ，
即 ， ．
故答案为3，5；
（4）图象如右：（5）当 时，函数 有最小值0．
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系
同一直角坐标系内，两条直线l：y＝kx＋b 与l：y＝kx＋b 的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k值相同， b值不同．
【典例】
1
1.已知直线 l：y=﹣ x+1，请分别写出一条与直线 l 互相平行、互相垂直的直线的解析式：
2
______________，_______________.
1
【答案】y=﹣ x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
2
1 1
【解析】解： 在直线l：y=﹣ x+1中，k=﹣ ，b=1，
2 2
1
若直线与l互相平行，则一次项系数=﹣ ，常数项≠1，
2
1
∴与l互相平行的直线的解析式可以为y=﹣ x﹣1（答案不唯一），
2
1
若直线与l互相垂直，则一次项系数=-1÷（﹣ ）=2，常数项为任意值，
2
∴与l互相垂直的直线的解析式可以为y=2x﹣1（答案不唯一），
1
故答案为y=﹣ x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
2
【方法总结】
两直线平行，则k值相等，b值不相等；两直线垂直，则k值的乘积为-1.对于后者初中阶段不做研究，但
经常用到，方便解题，要求记住结论并能运用.
【随堂练习】
1．（阳东区期末）已知关于 的一次函数 的图象如图所示，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意： ，
．
故选： ．
2．（北碚区校级月考）一次函数 的图象经过点 和点 ，其中 ，
那么 、 应满足的条件是
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【解答】解： 一次函数 的图象经过点 和点 ，其中 ，
，
解得， ，
，
，
，
故选： ．
3．（杭州期末）在一次函数 的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：
甲认为当 时， 随 的增大而减小；
乙认为无论 取何值，函数必定经过定点 ， ．
则下列判断正确的是
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【解答】解：当 时， ，即 随 的增大而减小，故甲的说法正确；
在 中，当 时， ，
即无论 取何值，函数必定经过定点 ， ，故乙的说法正确．
故选： ．
4．（永年区一模）若一次函数 的图象不经过第三象限，则 的取值范
图是
A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的图象不经过第三象限，
，
解得 ．
故选： ．
5．（安次区二模）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，若直线 与菱形 有交点，则 的取值范围
是
A． B． C． D． 且
【解答】解：如图，在直线 中，令 ，则 ，直线 经过定点 ，
由菱形 的顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
可得 ， ，
易得直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
直线 与菱形 有交点，
的取值范围是 ，
故选： ．
6．（莲湖区模拟）已知一次函数 的图象不经过第三象限，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得
，
解得 ．
故选： ．
二．填空题（共6小题）
7．（南关区校级一模）如图，过点 的线 与图中的四边形 有不少
两个交点，其 、 、 、 ，则 的值可以是
．（写出一个满足条什的值即可）．【解答】解：当直线经过点 和点 时，
设直线解析式为 ，
解得
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 也在直线 上，
当直线经过点 和点 时，
设直线解析式为 ，
解得
直线 的解析式为 ，
综上所述： ．
故答案为： ．
8．（黄石港区期末）如果关于 的一次函数 的图象经过第一、三、四象
限，那么 的取值范围是 ．
【解答】解： 关于 的一次函数 的图象经过第一、三、四象限，，
．
故答案为： ；
9．（黔东南州期末）如图，过点 的直线 与图中的四边形 有不少
于两个交点，其中 、 、 、 ，则 的取值范围 ．
【解答】解： 直线 过点 ，
，
．
当直线 的图象过 点 时，
， ；
当直线 的图象过 点 时，
， ；
当直线 的图象过 点 时，
， ，
的取值范围是 ．
故答案为 ．
10．（淮安区期末）在一次函数 中， 随 的增大而增大，则 的取值范围
是 ．【解答】解： 的函数值 随 的增大而增大，
，
解得 ．
故答案为： ．
11．（柯桥区期末）在平面直角坐标系中，若直线 经过第一、三、四象限，则直
线 不经过的象限是 第三象限 ．
【解答】解：由一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
， ，
直线 经过第一、二、四象限，
直线 不经过第三象限，
故答案为：第三象限
12．（九龙坡区期末）在一次函数 中， 随 的增大而减小，则 的取值范
围为 ．
【解答】解： 一次函数 中 随 的增大而减小，
，
解得， ；
故答案是： ．
三．解答题（共2小题）
13．（怀柔区期末）对于平面直角坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图
形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称
这个最小值为图形 ， 间的“距离“，记作 ．特别的，当图形 ， 有公共
点时，记作 ．
一次函数 的图象为 ， 与 轴交点为 ， 中， ， ， ．
（1）求 （点 ， 1 ；当 时，求 ；（2）若 ．直接写出 的取值范围；
（3）函数 的图象记为 ，若 ，求出 的取值范围．
【解答】解：（1）一次函数 的图象与 轴交点 ，
（点 ， 表示点 到 的最小距离，就是点 到点 的距离，即：
，
（点 ，
当 时，直线 ，此时直线 与 所在的直线平行，且 和 均是等
腰直角三角形，
表示直线 到 的最小距离，就是图中的 ，
在等腰直角三角形 中， ，
故答案为：1， ；
（2）若 ．说明直线 与
有公共点，因此有两种情况，即： 或 ，仅有一个公共点时如图所示，即直线
过 点，或过 点，
此时可求出 或 ，根据直线 与 有公共点，
或 ，
答：若 时． 的取值范围为： 或 ．
（3）函数 的图象 与 轴、 轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函
数 的图象与 平行，
当 时，如图所示：在 中， ，则 ， ， ；即： ；
同理： ， ，即： ，
若 ，即 的值在 、 之间
答：若 ， 的取值范围为 ．
14．（路北区期中）已知一次函数 ．
（1）若函数图象经过原点，求 的值；
（2）若 随 的增大而增大，求 的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，得 ，
解得 ；（2）根据题意，得 ，
解得 ．
综合运用
1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：当k＞0时，两条直线都是从左到右上升的，而且两条直线交y中轴与正半轴，四个选项都
不符合题意；
∴k＜0，只有选项A正确，
故选A.
1
2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y= x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次函数的个数为
3
_______.
【答案】2
【解析】解：①y=﹣2x是正比例函数，也是一次函数，
②y=﹣3x2+1,未知数的次数不是1，不是一次函数，
1
③y= x﹣2是一次函数．
3
④y=（x+3）（x+2）- x2化简得y=5x+6，是一次函数
故答案为3.
3.若函数y=(m−2)xm2−3+4是一次函数，则m的值为______________.
【答案】-2
【解析】解：∵函数y=(m−2)xm2−3+4是一次函数，
∴m2﹣3=1，m﹣2≠0，
解得：m=±2，且m≠2，
又∵
∴m=-2.
故答案为-2.
1
4.已知直线l1：y=2x+1，l2：y＝− x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直线与l1平行，则
2
该直线的未知数的系数为_____________.【答案】相互垂直 2
1
【解析】解：∵2×（− ）=-1，
2
∴两直线互相垂直.
∵直线与l1平行，
∴该直线的未知数的系数与l1相同，为2.
故答案为互相垂直，2.
5. 已知一次函数y=kx﹣3中 y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.
【答案】二
【解析】解：∵一次函数y=kx﹣3中y随x的增大而增大，
∴k>0,
∴它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为二.
6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.
【答案】m＜2
【解析】解：如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为m＜2．
1
7.关于函数y= x−3，下列结论中正确的是_____________________.
2
①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．
【答案】②③
1 5
【解析】解：①∵当x=1时，y= ×1﹣3=﹣ ≠﹣2，
2 2
∴点（1，﹣2）不在一次函数的图象上，故结论错误；
1
②∵k= ＞0，b=﹣3＜0，
2
∴此函数的图象经过一、三、四象限，故结论正确；
1
③∵k= ＞0，
2
∴此函数的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，故结论正确．
故选答案为②③.8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．
【答案】
【解析】解：函数y=2x﹣1，
①列表：
②描点：函数图形过两点（0，﹣1），（1，1），
③画线：过两点画直线，如图所示．
