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第 9 讲 锐角三角函数
知识点1 正弦、余弦、正切
锐角三角函数相关概念
正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角
三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。
∠A
锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做 的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定
了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值
°0<∠A<90°
范围均为：0 函数的增减性分别为：
∠A
①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大
∠A
②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而减小
∠A
③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大.
【典例】
1.在Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=
△
【答案】4；
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= =4，
∴sinA= = ，
2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．【答案】
【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO= =2 ，
AC= = ，
OC= = ，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB= = = ．
3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=
．
【答案】2
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC= = =4 ，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA= = =2 ．
【方法总结】1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
2、相等的角相对应的三角函数值相等。
3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。
4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角
三角形的相应边的长度之比.
【随堂练习】
1．（萧山区期末）在Rt ABC中，∠C=Rt∠，给出下列结论：①sinA=cosB；
△
②sin2A+cos2A=1；③tanB= ；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵在Rt ABC中，∠C=Rt∠，
△
∴①sinA=cosB= ，故正确；
②sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= =1，故正确；
③tanB= = ，故正确；
故选：D．
2．（新津县期末）若角α，β都是锐角，以下结论：
①若α＜β，则 sinα＜sinβ；②若α＜β，则 cosα＜cosβ；③若α＜β，则 tanα＜
tanβ；④若α+β=90°，则sinα=cosβ．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：①∵sinα随α的增大而增大，∴若α＜β，则sinα＜sinβ，此结论正
确；
②∵cosα随α的增大而减小，∴若α＜β，则cosα＞cosβ，此结论错误；
③∵tanα随α的增大而增大，∴若α＜β，则tanα＜tanβ，此结论正确；
④若α+β=90°，则sinα=cosβ，此结论正确；
综上，正确的结论为①③④，
故选：C．3．（津南区校级模拟）在 Rt ABC中，∠C=90°，sinB= ，则tanA的值为（
）
△
A． B． C． D．
【解答】解：由Rt ABC中，∠C=90°，sinB= ，得
△
cosA=sinB= ．
由sin2A+cos2A=1，得sinA= = ，
tanA= = = ．
故选：D．
4．（龙口市校级月考）我们知道：sin30°= ，tan30°= ，sin45°= ，
tan45°=1，sin60°= ，tan60°= ，由此我们可以看到 tan30°＞sin30°，tan45°
＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？
请结合锐角三角函数的定义加以说明．
【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：
如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，设
∠A=α．
则tanα= ，sinα= ，
∵b＜c，
∴ ＞ ，
∴tanα＞sinα．
知识点2 特殊角的三角函数值30° ，45° ，60°
特殊角的三角函数值主要是指 这三个角的三角函数值，如下表：
【典例】
1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）= ，则α等于 度．
【答案】70
【解析】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）= ，sin60°= ，
∴α﹣10°=60°，
∴α=70°．
2.4cos30°+ +|﹣2|= ．
【答案】3
【解析】解：原式= =3
【方法总结】
1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。
2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。
【随堂练习】
1．（高新区期中）计算
（1）cos60°+
（2） ﹣|1﹣tan60°|
【解答】解：（1）原式= + × + ×
= + +1
=2；（2）原式= ﹣|1﹣ |
=1﹣ +1﹣
= ．
2．（潮南区月考）计算： ﹣sin60°（1﹣sin30°）
【解答】解：原式= ﹣ ×（1﹣ ）
= ﹣ ×
= ．
3．（沙坪坝区校级期中）计算下列各式
（1）tan30°×sin45°+tan60°×cos60°
（2）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°．
【解答】解：（1）原式= × + ×
= ；
（2）原式=（ ）2+2× +1﹣ +（ ）2
= + +1﹣ +
=2．
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元
素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
【典例】
1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD= ，AB=5，AD=3，则BC长为 ．【答案】5或3
【解析】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt ABD中，BD= = =4，
△
在Rt ADC中，tan∠CAD= = ，
∴CD△=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
综上：BC长为5或3。
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记| |
=a，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥
【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt OAB中，OB=5，AB=3，
△
∴OA= =4，
∴tan∠OBA= = ．
∴a=| |= =tan∠AOC=tan∠OBA= ．
故：a≥ ．
3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=
．【答案】17或
【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD= ，
∴ = ，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt AHD中，HD= =5，
△
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴ = ，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD= =17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′= = ，
故CD长为：17或 ．
【方法总结】
1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。
2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。
【随堂练习】
1．（海淀区校级月考）如图， 是 斜边上的高线，若 ， ，则2 ．
【解答】解： 是 斜边上的高线，
．
，
．
，
，
．
，
．
．
2．（永州期末）我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征
值”．如图， 是以 为顶点的“特征值”为 的等腰三角形，在 外有一点 ，
若 ， ， ，则 4 5 度， 的长是 ．
【解答】解：设等腰三角形的底角为 ，
是以 为顶点的“特征值”为 的等腰三角形，
根据定义可知顶角为 ．
，
，
即 ， ，过 点作 垂足为 ，交 延长线于 ，如图：
， ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 中， ．
故答案为：45， ．
二．解答题（共5小题）
3．（锡山区一模）已知： ， ，以 为一边作正方形 ，使 、 两
点落在直线 的两侧．
（1）如图，当 时，求 及 的长；
（2）当 变化，且其它条件不变时，求 的最大值，及相应 的大小．【解答】解：（1）①如图，作 于点 ，
中， ， ，
，
， ，
在 中， ，
．
②解法一：如图，因为四边形 为正方形，可将
绕点 顺时针旋转 得到△ ，
可得 △ ， ， ．
， ，
，
；
解法二：如图，过点 作 的平行线，与 的延长线交于 ，与 的
延长线交 于 ．
在 中，
可得 ， ， ．
在 中，
可得 ， ．
在 中，可得，
．
（2）如图所示，将 绕点 顺时针旋转
得到△ ， 的最大值即为 的最大值，
△ 中， ， ， ，
且 、 两点落在直线 的两侧，
当 、 、 三点共线时， 取得最大值（如图）
此时 ，即 的最大值为6．
此时 度．4．（香坊区模拟）阅读下列材料：
题目：如图1，在 中，已知 ， ， ，请用 、
表示 ．
解：如图2，作 边上的中线 ， 于 ，
则 ， ， ，
在 中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在 中， ， ， ，求 ， 的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用 或 表示 ．
【解答】解：（1）如图3中，在 中， ， ， ，
，
， ，
（2）如图2中， ．
5．（香坊区模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段 、
线段 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以 为边画 ，点 在小正方形的格点上，使 ，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以 为边且面积为3的 ，点 在小正方形的格
点上，使 ，连接 ，直接写出线段 的长．
【解答】解：（1）如图，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，
，
是直角三角形，且 ，
；
（2）如图， ，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
．
6．（无锡模拟） 如图，已知 ， ， 是射线 上一点．
（1）求点 到 的距离；（2）在下列条件中，可以唯一确定 长的是 ②③ ；（填写所有符合条件的序号）
① ；② ；③连接 ， 的面积为126．
（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求 ．
（参考数据： ， ，
【解答】解：（1）作 于 ，则 ．
在 中， ，
；
（2）①以点 为圆心、13为半径画圆，与 有两个交点，不唯一；
②由 知 的大小确定，在 中， 、 及 确定，此时的
三角形唯一；
③ 的长度和三角形的面积均确定，则点 到 的距离即可确定，则 上的点 是
唯一的；
故答案为：②③；
（3）方案一：选②，
由（1）得， ， ，
在 中， ，
，
．方案二：选③，
作 于 ，则 ，
由 得 ，
在 中，
，
．
7．（上海）如图，已知 中， ， ．
（1）求边 的长；
（2）设边 的垂直平分线与边 的交点为 ，求 的值．
【解答】解：（1）作 作 ，
在 中， ， ，
， ，
，
在 中，根据勾股定理得： ；
（2） 垂直平分 ，
， ，
，
，
在 中，根据勾股定理得： ，
，
则 ．知识点4 解直角三角形应用
①坡度，坡角
∠ABC
如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的 称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面
的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用
ι
表示，记作
ι=
h:l,坡度通常写成1：m
α
的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
。
于是 ，显然，坡
α
度越大， 越大，坡面就越陡。
°
②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于 90 得角叫方位角.如图；
∠NOA,∠SOB,∠NOD,∠SOC
都是方位角.
° °
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35 ；目标方向OB表示的方位角为南偏东75 ；目标方向OC
° °
表示的方位角为南偏西45 ，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40 .③仰角、俯角
如图：OC 为水平线，OD 为铅垂线，OA,OB 为视线，我们把视线 OA 与水平线 OC 所形成的
∠AOC成为仰角； ∠BOC
把视线 OB与水平线OC所形成的 称为俯角.在视线与水平线所成的角中，
当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的
角叫做俯角.
【典例】
1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角
∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高
度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m
（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．
【答案】1.2
【解析】解：作DK⊥AH于K．
∵四边形DKHG是矩形，
∴DK=GH=3.05m，在Rt ADK中．AK= =2.29（m），
∴DG△=HK=AH﹣AK=AB+BH﹣AK=1.74+1.74﹣2.29≈1.2（m）
2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行
1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏
东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行
小时即可到达．（结果保留根号）
【答案】
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ﹣90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 = （小时）
3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门 A处，有一斜坡AB，斜坡AB的
坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角
∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门
处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈ ，cos53°≈ ，tan63.4°≈2，sin63.4°≈ ）【答案】27.5
【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，
在Rt ABG中，AB= =13米，
△
∴BG=DF= AB= ×19.5=7.5米，
在R BCF中，BF= = ，
t
△
在R CEF中，EF= = ，
t
∵BE△=4，
∴BF﹣EF= ﹣ =5，
解得：CF=20．
∴教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米．
【方法总结】
1、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
2、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
【随堂练习】
1．（沙坪坝区校级一模）春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝
放在坡度为 的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点 齐平的 处，起风后小明开
始往下跑26米至坡底 处，并继续沿平地向前跑16米到达 处后站在原地开始调整，小
明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是 ，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方 处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝 、 、 、 、 五点
在同一平面，则风筝上升的垂直距离 约为 米．（参考数据： ，
，
A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7
【解答】解：设小明在 处视线的点为 ，延长 交 于点 ，
过点 作 平行于地面交 于点 ，
坡度为 ， ，则 ， ， ，
， ，
即： ，解得： ，
，则 ，
，
，
，
故选： ．
二．解答题（共8小题）
2．（陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学
习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点 ，并在点 处安装了测量器
，测得古树的顶端 的仰角为 ；再在 的延长线上确定一点 ，使 米，
并在 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 方向移动，当移动带点 时，
他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 的像，此时，测得 米，小明眼睛与地面
的距离 米，测倾器的高度 米．已知点 、 、 、 在同一水平直线上，
且 、 、 均垂直于 ，求这棵古树的高度 ．（小平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
则 ， ．
在 中， ，
，
．
， ，
．
由题意，易知 ，
，
即 ，
解之，得 ，
．
这棵古树的高 为 ．
3．（惠来县模拟）如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面的倾斜角
由 降为 ，如果改动前电梯的坡面 长为12米，点 、 、 在同一水平地面
上，求改动后电梯水平宽度增加部分 的长．（结果精确到0.1，参考数据： ， ，
【解答】解：由题意得，在 中，
， 米，
（米 ，
在 中， （米 ，
则 （米 ．
答：改动后电梯水平宽度增加部分 的长为6.2米．
4．（南阳二模）某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过
（即 ，交通管理部门在离该公路 处设置了一速度检测
点 ，在如图所示的坐标系中， 位于 轴上，测速路段 在 轴上，点
在 的北偏西 方向上，点 在点 的北偏东 方向上．
（1）在图中直接标出表示 和 的角；
（2）写出点 、点 坐标；
（3）一辆汽车从点 匀速行驶到点 所用时间为 ．请你通过计算，判断该
汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中 取【解答】解：（1）如图所示， ， ；
（2） 在直角三角形 中， ， 度，
，
点 的坐标是 ， ；
是等腰直角三角形，
，
的坐标是 ；
（3） ．
．
，
该汽车在这段限速路上超速了．
5．（南召县二模）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国
普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段 、
、 表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢 上且长度均为 ，的倾斜角为 ， ，支撑角钢 、 与地面接触点分别为 、 ，
垂直于地面， 于点 ．点 到地面的垂直距离为 ，求支撑角钢 和
的长度各是多少．（结果保留根号）
【解答】解：如图所示，延长 交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，
由题意知， 、 、 、 ，
在 中， ，
，
则 ；
，
在 中， ，
所以支撑角钢 的长为 ， 的长为 ．
6．（江北区模拟）如图，某人在山坡坡脚 处测得电视塔尖点 的仰角为 ，
沿山坡向上走到 处再测得点 的仰角为 ，已知 米，山坡坡度
，且 、 、 在同一条直线上．求电视塔 的高度以及此人所在位
置 的铅直高度 ．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【解答】解：作 于点 ，过点 作 ，垂足为 ．
在 中 ， 由 ， ， 得
（米 ，
过点 作 ，垂足为 ．
由 ，设 ，则 ．
， ．
在 中，由 ，
，即 ，
，即 米．
7．（德城区一模）如图，渔政310船在南海海面上沿正东方向以20海里 小时的速度匀速
航行，在 地观测到我渔船 在东北方向上的我国某传统渔场，若渔政310船航向不变，
航行半小时后到达 处，此时观测到我渔船 在北偏东 方向上．问渔政310船再航
行多久，离我渔船 的距离最近？（假设我渔船 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取
近似值）【解答】解：过点 作 交 的延长线于点 ，
由已知可得，
， ， ， ，
， ，
，
，
即 ，
解得， ，
，
，
渔政310船再航行 小时，离我渔船 的距离最近．
8．（沂南县模拟）如图，热气球探测器显示，从热气球 处看一栋楼顶部 处的仰角为，看这栋楼底部 处的俯角为 ，热气球与楼的水平距离 为100米，试求这栋
楼的高度 ．
【解答】解：由题意可得，
， ， 米， ，
在 中， ， 米，
，
米，
在 中， ， 米，
，
米，
米，
即这栋楼的高度 是 米．
9．（南京模拟）如图，从地面上的点 看一山坡上的电线杆 ，测得杆顶端点 的仰角
是 ，向前走 到达 点，测得杆顶端点 和杆底端点 的仰角分别是 和 ．
（1）求 的度数；
（2）求该电线杆 的高度．（结果保留根号）【解答】解：延长 交直线 于点 ，如图所示：
（1） ；
（2）设 米．
在直角 中， ，
则 米；
，
，
在直角 中， 米，
米，
则 ，
解得： ．
则 米．
在直角 中， 米．
（米 ．
答：电线杆 的高度为 米．综合运用：锐角三角函数
1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC= =5x，
EM= = x，
CM= =2 x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM= = ．
2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点
O，求tan∠AOD．
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF= CK，BF= BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF= CF= BF，
在Rt PBF中，tan∠BOF= =2，
∵∠A△OD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
3.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，求△ABC的面积。
【解析】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD △ =ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt ACD中，∵AC=2 ，
△
∴CD= = = ，
则BC=BD+CD=6 ，
∴S = •BC•AD= ×6 ×5=15 ；
ABC
△
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，
则BC=BD﹣CD=4 ，∴S = •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
ABC
△
综上，△ABC的面积是15 或10 。
4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC= ，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作
DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关
系式．
【解析】解：（1）在Rt CDE中，tanC= ，CD=x
△
∴DE= x，CE= x，
∴BE=10﹣ x，
∴S = ×（10﹣ x）• x=﹣ x2+3x．
BED
△
∵DF=BF，
∴S= S = x2 ，
BED
△
5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证： = ．
【解析】证明：如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt ABD中，sinB= ，
∴AD△=ABsinB，
在Rt ADC中，sinC= ，
∴AD△=ACsinC，
∴ABsinB=ACsinC，
而AB=c，AC=b，
∴csinB=bsinC，∴ = ．
6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格
的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得： ，
解得 ，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE=3或3 或 ；
（3）∵由图可计算AC=5，BC=4，
∴AB=
∴sin∠BAC= ．
7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）
为1：0.5，坝底AB=14m．（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使
得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【解析】解：（1）如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．
M N
由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt NBC中，tan37°= = = ，
△
∴BN= x，
∵x+3+ x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）如图，作FH⊥AB于H，
H
设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，由△EFH∽△FBH，可得 = ，
即 = ，
解得y=﹣7+2 或﹣7﹣2 （舍弃），
∴DF=2 ﹣7，
答：DF的长为（2 ﹣7）m．
8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的
边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、
D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米）．（参考数据： =1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt BCH中，CH= BC=5，BH=5 ≈8.65，
∴DH=15，△
在Rt ADH中，AH= = =20，
∴AB△=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．
9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣
H），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H 为北侧楼房底层窗台至地面高度．
1 1如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房
AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为
0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】
【解析】解：（1）在Rt EFH中，
△
∵∠H=90°，∴tan∠EFH=i=1：0.75= = ，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF= =5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H=0.9，
1
∴日照间距系数=L：（H﹣H）= = ，
1
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴ ≥1.25，∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得
桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求
无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【解析】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD= AD，BD=AD•tan∠BAD= AD，
∴BC=CD﹣BD= AD=30，
∴AD=15 ≈25.98．
答：无人机飞行的高度25.98米。
