文档内容
第 06 讲 锐角三角函数（6 个知识点+9 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝ ．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝ ．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝ ．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
知识点2．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
知识点3．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA＝
或sinA＝tanA•cosA．
知识点4．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
知识点5．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
知识点6．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sin ＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结
果． α
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
题型强化
题型一、正弦的概念辨析
1．（2024九年级下·全国·专题练习）在 中， ，若 的三边都缩小5倍，则 的
值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【知识点】正弦的概念辨析
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在 中， ．锐角A的对边a与斜边c的比叫做
的正弦，记作 ．直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的对边与斜边的比，
∵ 的三边都缩小5倍，
∴ 的对边与斜边的比不变，∴ 的值不变．
故选：C．
2．（2021·江苏苏州·一模）如图， 中， 的平分线与 的延长线交于 点， 与 交于
点， 的平分线交 于 点，若 ，则 的面积为 ．
【答案】
【知识点】正弦的概念辨析
【分析】过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC ，可得 ，可得 ，解得：
BE=9，BH= ，由sin∠AFN=sin∠CFM，得AN= ，进而即可求解．
【详解】解：∵在 中，AD∥BC， 的平分线与 的延长线交于 点，
∴∠DAE=∠BAE=∠AEB，
∴BA=BE，
∵ 的平分线交 于 点，
∴BH⊥AE，
过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC ，
∴CM∥BH，AH=EH=2+1=3，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠BAE，∴∠CFE=∠AEB，
∴CE=CF=3，
∴ME= EF= ×2=1，
∴ ，
∴ ，解得：BE=9，BH= ，
∴CD=AB=BE=9，
∵∠AFN=∠CFM，
∴sin∠AFN=sin∠CFM，即： ,
∴ ，解得：AN= ，
∴ 的面积= CD×AN=9× = ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，添加辅助
线构造相似三角形和直角三角形，是解题的关键．
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在矩形 中，点 为原点， 、 的长是方程
的两根（ ）．抛物线 经过点 、 ，与AB交于点 ．(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点 为线段 上一个动点（不与点 重合），点 为线段 上一个动点， ，连接 ，设
， 的面积为 ．
①求 关于 的函数表达式；
②当 最大时，点 的坐标为 ；
③当 最大时，点 在抛物线 的对称轴上，点 是平面内任意一点，是否存在点 、 ，
使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ② ③ ， ， ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、正弦的概念辨析、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次
函数综合)
【分析】（1）将 、 两点坐标代入抛物线 ，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用 表示出 的长度，进而求出三角形的面积 关于 的函数；
②先求出 时 取最大值，在求得直线 的解析式 ，设 ，根据 ，勾
股定理即可求解；
③由②可得 时， 取最大值，再根据点 、 、 、 为顶点的四边形是矩形，分情况求出 的坐标．
【详解】（1）解：
解得：
∵
∴ ，即 ,
将 、 两点坐标代入抛物线，得
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）① ， ，
，
过点 作 与 点，则 ，
，
，
；
∴
②∵ ，
∴当 时， 取最大值；∴ ,
设直线 的解析式为 ，将点 代入得
解得：
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ ，
∴
解得： 或 （舍去）
∴ ,
故答案为： ．
③在抛物线对称轴 上存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是矩形∵抛物线的解析式为∵
的对称轴为 ，
∴ 的坐标为 ，
又 ,
∴
当 时，则 在直线AB上，
∵ 在对称轴 上，
∴
当 时，则 的纵坐标与 点纵坐标相同，∴ ，
当 时，
设 ，
则 ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
如图所示，设 的中点为 ,则 ,
∵ ，
∴ 关于点 对称，
∴ ，
综上所述， ， ， ，【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值，解一元
二次方程，正弦的定义，掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型二、求角的正弦值
4．（2025九年级下·全国·专题练习）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，首先根据三角形在网格纸中的位置可以得到
、 、 ，根据勾股定理可以得到 ，再根据正弦定义求出 即可．
【详解】解：如下图所示，
由网格可知 、 、 ，
，
，
故选：C．
5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点 在等边 的内部，且 ， ，将线段
绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的值为 ．【答案】 /
【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合
（SAS）
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理，连接 ，如图，先利用旋转
的性质得 ，则可判定 为等边三角形得到 ，再证明
得到 ，接着利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形， ，
然后根据正弦的定义求解．
【详解】解：连接 ，如图，
∵线段 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ，垂足是点 ，若 ，
，求 的值．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、已知正切值求边长
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．首先
根据 的三角函数求出 的长度，然后得出 的长度，根据勾股定理求出 的长度，由
，代值计算即可．
【详解】解： ，
．
， ，
，
．
在 中，
，
．题型三、已知正弦值求边长
7．（24-25九年级下·全国·期末）在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知正弦值求边长、求角的余弦值
【分析】本题考查了解直角三角形．根据锐角三角函数的定义得出 ，设 ， ，
根据 ，即可得出答案．
【详解】解： ，
设 ， ，
．
故选：C．
8．（2024·山东聊城·三模）如图，半径为6的扇形 中， ，C，D分别是半径 的中
点，连接 ，则图中阴影部分面积为 ．（用含 的式子表示）
【答案】 /【知识点】求扇形面积、已知正弦值求边长
【分析】本题考查了锐角三角函数，扇形面积；过点C作 于E，求出 ，则可求得 面积，
再利用扇形面积减去 面积，即得阴影部分面积．
【详解】解：如图，过点C作 于E，
C，D分别是半径 的中点，
，
，
，
则 ；
故 ；
故答案为： ．
9．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于
点E，交 的延长线于点D．
(1)求 的正弦值；
(2)求点C到直线 的距离．
【答案】(1)(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、求角的正弦值、已知正弦值求边长
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义．
（1）过点 作 于点 ．由等腰三角形三线合一的性质得出 ．在 中，根据
正弦函数的定义得出 ，根据三角形内角和定理求出 ，则
；
（2）过点 作 于点 ．解直角 ，求出 ，则 ．再解直角
，求出 ，即点 到 的距离为 ．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ．
， ，
．
在 中， ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
，
又 ，
，
，
即 的正弦值为 ；（2）解：过点 作 于点 ．
在 中， ， ， ，
，
．
在 中， ， ，
，
即点 到 的距离为 ．
题型四、求角的余弦值
10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知 是 斜边上的高， ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值
【分析】本题考查了：①勾股定理；②锐角三角函数的定义；③同角的余角相等．并且注意到三角函数值
只与角的大小有关．易证 ，则求 的值就可以转化为求 的三角函数值．从而转化
为求 的边长的比．
【详解】解：由勾股定理得， ，
由同角的余角相等知， ，
，
故选：D．11．（24-25九年级下·全国·期末）在 中， ，则 ．
【答案】
【知识点】求角的余弦值
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键；由题意易得 是等腰直
角三角形，且 ，然后根据余弦的定义可进行求解．
【详解】解：由题意得： 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
12．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）如图，在平面直角坐标系 中，以y轴正半轴上一点
（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为 的射线l，在l上取点B，使 （k为正整数），
并在l下方作 ， ，线段 的中点分别为D，E．
(1)当 时，直接写出B，C两点的坐标；
(2)若抛物线 的顶点恰好为D点，且 ，求抛物线的解析式及此时
的值；
(3)当 时，记线段 的中点分别为 ，当 时，记线段 的中点分别为 ，求
直线 的解析式及四边形 的面积（用含m的代数式表达）．
【答案】(1)B点的坐标为 ， C点的坐标为 ．(2) ，
(3) ；
【知识点】平行四边形性质和判定的应用、求角的余弦值、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函
数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、平行四边形的判定和性质、勾股定理、余弦函数等知识点，
掌握数形结合思想方法是解题的关键．
（1）先分别求出点B、C到x轴和y轴的距离，然后确定B，C两点的坐标即可；
（2）先求出B点的坐标和C点的坐标，然后根据三角形中位线的性质得出点D和E的坐标，再根据D恰
为抛物线 的顶点即可得出抛物线的解析式，最后根据 得出
为等边三角形，从而可以得出 的值；
（3）先分别求出 点的坐标然后即可得出直线 的解析式，再根据 证出四边形
为平行四边形，最后通过解直角三角形得出 的长，即可求出四边形 的面积．
【详解】（1）解：过点B作 轴，交y轴于点F，过点C作 轴，垂足为G，交直线 于点
H，
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴B点的坐标为 ，
同理可得：C点坐标为 ；
∴B点的坐标为 ， C点的坐标为 ；（2）解：当 时， ，与（1）同理可得B点的坐标为 ，C点的坐标为
．
如图，过点B作y轴的垂线垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G，
两条垂线的交点为H，作 于点M， 于点N．
由三角形中位线的性质可得点D的坐标为 ，点E的坐标为 ．
由勾股定理得 ．
，即 ，
．
恰为抛物线 的顶点，它的顶点横坐标为 ，
．解得 ．
∴抛物线的解析式 ．
此时D，E两点的坐标分别为 ．
．
．
∴此时 为等边三角形， ．（3）解： 点的坐标分别为 ．
设直线 的解析式为
则 ，解得
∴直线 的解析式为 ．
可得直线 与y轴正方向的夹角为 ．
直线 ， 与y轴正方向的夹角都等于 ，
．
两点的坐标分别为 ，
由勾股定理得 ，
，
∴四边形 为平行四边形．
设直线 与y轴的交点为P，作 于Q．（如图）
可得点P的坐标为 ．，
．
题型五、已知正切值求边长
13．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．
如图，在由四个全等的直角三角形（ ， ， ， ）和中间一个小正方形 拼成
的大正方形 中，若 ，则正方形 与正方形 的面积的比值为（ ）．
A． B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质、已知正切值求边长
【分析】本题考查了正切，全等的性质．熟练掌握正切是解题的关键．
设 ，由 ，可得 ，则 ，正方形 的面积为 ，
，正方形 的面积为 ，进而可求正方形 与正方形
的面积的比值．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ， ，∴正方形 的面积为 ，
∴正方形 与正方形 的面积的比值为 ，
故选：D．
14．（2025九年级下·全国·专题练习）已知在 中， ，则 的长为
．
【答案】
【知识点】已知正切值求边长
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，先根据 ， ， 求出 的长，再由勾
股定理即可得出 的长．
【详解】解：在 中，
， ， ，
，
．
故答案为： ．
15．（22-23九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 ，O为坐标原点，
， ，将此三角形绕原点O逆时针旋转 ，得到 ，抛物线 经过
点A、B、C．求抛物线的解析式并写出它的顶点坐标．
【答案】抛物线的解析式为 ；顶点坐标为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知正切值求边长
【分析】本题主要查了求二次函数的解析式，解直角三角形；利用锐角三角函数可得 ，可求出B(0,3)，再根据旋转的性质求出 ，D(0,1)，再利用待定系数法解答即可．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴B(0,3)，
∵ 是由 绕点O逆时针旋转 而得到的，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
把A、B、C的坐标代入解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
，
抛物线的顶点坐标为 ．
题型六、特殊三角形的三角函数
16．（2025九年级下·全国·专题练习）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】特殊三角形的三角函数【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解： ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
17．（2025九年级下·全国·专题练习）在 中，如果 ，那么 的值是
．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正切与余弦的定义．直接利用正切与余弦
的定义进行求解即可．
【详解】解：在 中， ，
∴
故答案为： ．
18．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）0；（2） ； ．
【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知以
上知识是解题的关键．
（1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实
数的运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 的值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当 时，原式 ．
题型七、特殊角三角函数值的混合运算
19．（23-24九年级下·全国·期末） 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角
函数值进行计算即可．
【详解】解：
．故选：C．
20．（2025九年级下·全国·专题练习）计算： ．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算，代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，
可得答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
21．（24-25九年级下·全国·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算；
（1）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
题型八、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
22．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在 中，若 ，则么 一
定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根
据直角三角形的判定，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 一定是等腰直角三角形，
故选：D．
23．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在 中，若 ，则 是
．
【答案】等腰直角三角形
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状【分析】根据题意可得 ， ．据此即可求得答案．
【详解】根据题意，得
， ．
可得
， ．
则
．
所以， ．
所以， 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记 ， ， 的锐角三角函数值是解题
的关键．
24．（2023九年级下·全国·专题练习）如图， 在平面坐标系内，点 ， ．点 为 轴
上动点，求 的最小值．
【答案】
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、求角的正切值、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】取 ，连接 ，作 ， 于 交 轴于 ，先利用坐标求出线段长，得到
，进而得到 ，推出 ， ，得到 ，再利用
垂线段最短，得到当 与 重合， 与 重合时， 最短，即为 的长，利用三角函数即可求出
答案．【详解】解：如图，取 ，连接 ，作 ， 于 交 轴于 ，
， ，
， ， ， ，
，
，
， ，
，
当 与 重合， 与 重合时， 最短，最小值即为 的长，
在 中， ，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解
题关键．
题型九、三角函数综合
25．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比
叫做 的余割，用“ ”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说法
正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【知识点】三角函数综合
【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，原说法错误，不符合题意；
B、 ，原说法错误，不符合题意；
C、 ，原说法正确，符合题意；
D、 ，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
26．（2024·四川成都·二模）如图，在 中， ，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别
交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 之长为半径作弧，两弧相交于点 ，射
线 交边 于点 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、三角函数综合
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角函数，勾股定理等知识解题的关键是掌握相关的知识．过点
作 于 ，根据作图可知 平分 ，由角平分线的性质和题意可得 ，在
中， ，设 ，则 ，则 ，进而得到 ，求出 ，
进而得到 ，最后根据 即可求解．
【详解】解：过点 作 于 ，平分 ， ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
27．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点P、Q分别是
边 、 上的两个动点，且 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，作点 关于直线
的对称点 ，设 ．
(1)当 的面积为8时，求 的值．(2)当 时，求线段 的长．
(3)当点 落在四边形 的边上时，求 的值．
(4)直线 与四边形 的一条边交于 点，若 的面积是四边形 面积的 时，直接写出
的值．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
(4) 或
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、三角形中位线与三角形面积问题、相似三角形的判定与
性质综合、三角函数综合
【分析】（1）根据题意得到 ， ， ，再根据“ 的面积为8”建立等式求解，
即可解题；
（2）记 延长线交 于点 ，由对称的性质可知， ， ， ，推出
，得到 ，进而可得 ，根据 建立分式方程求解，
即可求出 ，利用勾股定理得到 ，再利用 ，得到 ，即可求得 ，进
而求得 ；
（3）根据点 落在四边形 的边上，可分以下两种情况讨论，①当 在 上时，②当 在 上
时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解
题；
（4）根据直线 与四边形 的一条边交于 点，可分以下两种情况讨论，①当 在 上时，②当 在 上时，根据这两种情况画出草图，结合 的面积是四边形 面积的 ，理由平行四边
形性质，得到 的面积是 面积的 ，得到 为 的中点或 为 的中点，结合（3）中①
的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
的面积为8，
，
整理得 ，
解得 或 ；
（2）解：记 延长线交 于点 ，
由对称性质可知， ， ， ，
，
，
，
，，
， ，
，
解得 ，经检验 是该方程的解，
， ，
，
，
，
解得 ，
；
（3）解：①当 在 上时，
四边形 为平行四边形，
，，
，
由对称性质可知， ， ，
，
，
，
，
解得 ，， ，
；
②当 在 上时，
四边形 为平行四边形，
，
∴ ，
由对称性质可知， ， ， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，解得： ，
， ，
，
，
，，
，
．
综上所述， 或 ；
（4）解： 或 ，理由如下：
的面积是四边形 面积的 ，
四边形 为平行四边形，
的面积是 面积的 ，
直线 与四边形 的一条边交于 点，
①当 在 上时， 为 的中点， 为 的中线，
四边形 为平行四边形，
，
，
与（3）中①的情况一致，
故 ；
②当 在 上时， 为 的中点， 为 的中线，
，四边形 为平行四边形，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
整理得 ，即 或 （舍去），
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四
边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
分层练习
一、单选题
1．已知在 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系2．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，
∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；求正切值
3．在 中， ， ， ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
4．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点D，连接 ，
若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴BD=AD.
∵AC=8cm，
∴CD+AD=CD+BD=8cm.
∵cos∠BDC= ，
∴CD=3，
∴BD=5cm，
∴BC= =4cm.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，则CD+AD=CD+BD=8cm，结合三角函数的概念可求
出CD的值，然后求出BD的值，再根据勾股定理进行计算.
5．如图，在平面直角坐标系中，点 分别在 轴负半轴和 轴正半轴上，点 在 上，
，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ．若 ，则 的值是
（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点P作 轴于点Q，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
∴
故答案为：B．
【分析】过点P作 轴于点Q，根据 ，可得 ，再结合
，可得 。6．如图， 内接于 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图，
可得
根据圆周角定理可得，
OB=OC，的长
故答案为：C.
【分析】连接OB，OC，由垂径定理可得 根据圆周角定理可得，
结合OB=OC，求得 再利用弧长公式即可求解.
7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， ，BC＝44cm，
则高AD约为（ ）（参考数据： ， ， ）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴ ，
∵BC＝44cm，
∴ cm.
∵△ABC，AB＝AC， ，
∴ .∵AD为BC边上的高， ，
∴在 中，
，
∵ ， cm，
∴ cm.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得DC= BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概
念就可求出AD.
8．如图， 为 的直径， ，C、D为 上两点，若 ，则 的长为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：连接AD∵ 为 的直径，
∴
∵ ，
∴
∴ ， ，解得： ．
故答案为：B．
【分析】连接 ，由 为 的直径， 可得 ，根据同弧所对的圆周角相等可得
，根据 即可求解.
9．如图，直线l： 分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作
△POB的外接圆 ，延长OC交 于点D，当△POD的面积最小时，则 的半径长为（ ）A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： A（8，0），B（4，0），
OA=8，OB=4，
由勾股定理得 ，
在 中， OD是直径，
，
，
，
，
，当 最小时，则OP最小，
点P在线段AB上运动，
当 时，OP最小，
，
，
，
，
，
OD=4，
的半径长为 2.
故答案为：B.
【分析】将 表示为 ，从而当 △POD的面积最小时 ， 时，OP最小，再根据三角
函数可解出直径得出结果.
10．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，
且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与
AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（ ）个①MC⊥ND；②sin∠MFC= ；③（BM+DG）²=AM²+AG²；④S△ =
HMF
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判
定-SAS
【解析】【解答】解：①设MC与ND交于点P，如图所示.
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC=AB=4
∠MBC=∠NCD=90°
∵AM=BN=1
∴NC=BC-BN=4-1=3
MB=AB-AM=4-1=3
∴NC=MB
在△MBC与△NCD中，∴△MBC≌△NCD
∴∠PNC=∠CMB
∵∠MBC =90°
∴∠CMB+∠PCN =90°
则∠PNC +∠PCN =90°
∴∠NPC=180°-（∠PNC +∠PCN）=90°
∴MC⊥ND
故①MC⊥ND符合题意.
②延长AE，作FQ⊥AF于点Q
∵MB=3，BC=4.∠B=90°
∴在Rt△MBC中，利用勾股定理得
∠BCM+∠BMC =90°
∵MC⊥ND，MF∥ND
∴∠FMC=90°
∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90°
∴∠QMF=∠BCM
∵FQ⊥AF
∠B=90°
∴∠FQM=∠B∴△MBC∽△FQM
∴ 即
∵四边形ABCD是正方形，AF平分∠QAG
∴∠QAF=
又∵∠FQM=90°
∴∠QFA=∠QAF
∴QA=QF
∴ 变形为 解得QA=QF =3
∴QM=QA+AM=4
∴在Rt△QMF中，利用勾股定理得
∴在Rt△FMC中，利用勾股定理得
∴sin∠MFC= 故②符合题意
③设（BM+DG）²=AM²+AG²存在
由上述可知BM=3，AM=1，AG=AD-GD=4-DG，
将其代入（BM+DG）²=AM²+AG²
得：（3+DG）²=1²+（4-DG）²
解得DG= ，符合题意，故③符合题意.
④作HI⊥MF于点I∵∠PCN=∠PCN，∠NPC=∠B=90°
∴△CPN∽△CBM
∴ 则 即
解得
∴MP=MC-PC=5-
∵∠IMP=∠MPH=∠MIH=90°
∴四边形MPHI是矩形
∴IH= MP
∴S△ = 故④符合题意
HMF
综上所述四项全部符合题意，
故答案为：D
【分析】①设MC与ND交于点P，通过证明△MBC≌△NCD，可得∠PNC=∠CMB，再证∠PNC
+∠PCN =90°，即得MC⊥ND；②延长AE，作FQ⊥AF于点Q，利用勾股定理得求出MC=5，再证
△MBC∽△FQM，可得 即 ，再利用等腰三角形的性质可得QA=QF=3，利用比
例式可求出QA=3，从而求出QM=QA+AM=4，再利用勾股定理先求出MF，再求出CF，根据sin∠MFC= 求解，即可判断；③设（BM+GD）2=AM2+AG2存在，据此求出DG，即可判断；④作
HI⊥MF于点I，证明△CPN∽△CBM，利用相似三角形的性质求出PC、MP，再证明四边形MPHI是矩
形，可得IH= MP ，根据S△ = 求解，即可判断.
HMF
二、填空题
11．已知 是锐角，且 ，那么 ．
【答案】45°
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
12．已知α是锐角，如果 ，那么α＝ ．
【答案】30°
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角， ，
∴ ，
故答案为：30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。
13．计算：|2−tan60°)= ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法14．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，点D在边AB上，点E在边AC上，
将△ABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果 ，那
么折痕DE的长为 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；同角三角函数的关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥AB于点H，
由翻折性质得AD=DP，∠ADE=∠PDE，
∵∠BPD=∠A，∠A+∠B=90°，
∴∠BPD+∠B=90°，
∴∠BDP=90°=∠ADP，
∴∠ADE=45°，
∵EH⊥AB，
∴∠DEH=∠EDH=45°，∴DH=EH，
∴DE= DH，
∵cotA=2= ，
∴AH=2HE，DP=2BD，
∴AD=DP=3DH，
∴BD= DH，
∵AB=9=BD+AD= DH+3DH，
∴DH=2，
∴DE= .
故答案为： .
【分析】过点E作EH⊥AB于点H，由翻折性质得AD=DP，∠ADE=∠PDE，由直角三角形量锐角互
余及等量代换推出∠BPD+∠B=90°，由三角形的内角和定理得∠BDP=90°=∠ADP，则∠ADE=45°，推
出△DEH是等腰直角三角形，则DE= DH，由等角的同名三角函数值相等得cotA=2=
，则AH=2HE，DP=2BD，D=DP=3DH，BD= DH，然后根据AB=BD+AD
建立方程可求出DH的长，从而得到DE的长.
15．计算： 的结果为 ．
【答案】3【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：3．
【分析】 ， ，据此求解．
16．如图，菱形 的顶点 与对角线交点 都在反比例函数 的图象上，对角线
交 轴于点 ， ，且 的面积为15，则 ；延长 交 轴于点 ，
则点 的坐标为 ．
【答案】8；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数
的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：延长DA交x轴于点M，过A作AH⊥ND于点H，设DE=a，则CE=2a，CD=AD=3a，AM=a，OD=2a，
∴S =S = OD·DA= =15，
△ADB △AOD
∴a= .
∵tan∠DOE= ，
∴ON=2DN，
∴OD= ，
∴D（2，4）.
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=8.
∵D（2，4），
∴B（4，8）.
∵∠EDN+∠NDO=90°，∠NDO+∠HDA=90°，
∴∠NDO=∠HDA，
∴△NDO∽△OND.
∵DA= ，
∴DH=6，AH=3，
∴A（8，1）.设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（8，1）、B（4，8）代入可得
解得 ，
∴y= x+15，
令y=0，可得x= ，
∴F（ ，0）.
故答案为：8；（ ，0）.
【分析】延长DA交x轴于点M，过A作AH⊥ND于点H，设DE=a，则CE=2a，CD=AD=3a，
AM=a，OD=2a，根据三角形的面积公式可得a的值，利用三角函数的概念可得ON=2DN，然后求出
OD的值，得到点D的坐标，代入y= 中可求出k的值；根据菱形的对角线互相垂直平分可得点B的
坐标，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△NDO∽△OND，求出DH、AH的值，得到点A的坐
标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，令y=0，求出x的值，据此可得点F的坐标.
17．在 中， 都是锐角，且 ，则 是
三角形．
【答案】等腰直角【知识点】求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∵三角形内角和为 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角
【分析】先根据非负性得到 ， ，进而根据特殊角的三角函数值得到 ，
，进而结合等腰直角三角形的判定即可求解。
18．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且
∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .
【答案】2
【知识点】圆的综合题；求特殊角的三角函数值；三角形-动点问题
【解析】【解答】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，∴OP⊥AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∵OP=OQ，
∴△POQ为等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB= =3，
∴CQ=2，
∴CQ的最小值为2．
故答案为2．
【分析】以CQ为直径作 圆O，当圆 O与AB边相切，切点即动点P时，CQ最短，由切线的性质可
知OP⊥AB，由∠A=30°，进而求得△POQ为等边三角形，得出∠APQ=30°，由此可得
PQ=OQ=OP=OC，在Rt△ABC中利用余弦值求出AC的长 ，从而求得CQ的最小值．
三、解答题
19．（1）计算：tan45°−(−2) 2−|2−❑√2)；
（2）已知 ，求代数式 的值
【答案】（1） ；（2）12
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求特殊角的三角函数值；求代数式的值-整体代入求
值
20．计算： .【答案】解：
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式= +2- - ，然后根据二
次根式的减法法则进行计算.
21．钓鱼岛是我国固有领土， 年 月 日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布 钓鱼
岛及其附属岛屿地形地貌调查报告 ，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如
图所示，点 是岛上最西端“西钓角”，点 是岛上最东端“东钓角”， 长约 米，点 是
岛上的小黄鱼岛，且 、 、 三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点 处时，恰好看到正
北方的小黄鱼岛 ，并测得 ， 根据以上数据，请求出此时执法船距离小
黄鱼岛 的距离 的值． 参考数据： ， ， ，结果精确
到 米．
【答案】解：设 米，
中， ，米，
中， ，
米，
，
解得 ，
答：执法船距离小黄鱼岛 的距离 约为 米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】设 米，利用正切的定义求出 ，再结合 长约 米，列出方
程 ，求出x的值即可。
22．
（1）根据个人爱好，从 ， 和 中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平
方和；
（2）采用配方法或公式法解一元二次方程 ．
【答案】（1）解：若选取 和 ，
∴ ；
若选取 和 ，
∴ ；
若选取 和 ，
∴ ；
（2）解：配方法： ，
，
，，
，
解得： ， ；
公式法： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）熟记 ， 和 ，再任意选取两个计算三角
函数的平方和即可.
（2）根据配方法解一元二次方程的一般步骤或公式法求解方程即可.
23．如图， 中， ， ，D是边 的中点，连结 ．
（1）已知 ，求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴设 ，则 ，∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：作 于 ，
由（1）得 ，
∵D是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意设 ，则 ，利用勾股定理列式计算求得 ，据此求解；
（2）作 于 ，求得 ，根据余弦函数求得 ，再利用勾股定理和余切函数的定
义求解．
24．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在
∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
（1）如图1，若AB= ，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF；
（3）若AB= ，设BP=2，求QF的长．
【答案】（1）1
（2）证明：∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，
∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
{
AB=AE
)
∠BAP=∠EAQ ，
AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABP=90°，
∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，
∵∠EBF=90°﹣60°=30°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF；
（3）如图，过点F作FD⊥BE于点D，∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB= ，
由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD= BE= ，
∴BF= =1，
∴EF=1，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=2，
∴QF=QE+EF=2+1=3．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数
的定义
【解析】【解答】解：（1）∵△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上
∴AB=AE，∠BAE=60°
∴∠APB=30°
∴
∴点E是AP的中点
∴QE⊥AP
∴
∵∠APQ=30°，∠APB=30°∴∠QPF=90°
∴QF=4
∴EF=QF-QE=1
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，则∠APB=30°，再根据含30°角的
直角三角形性质可得 ，再根据勾股定理求出QE长，QF长，再根据EF=QF-QE=1即
可求出答案.
（2）根据全等三角形的判定定理可得△ABP≌△AEQ（SAS），则∠AEQ=∠ABP=90°，再进行角之间
的转换可得∠BEF=∠EBF，根据等角对等边性质即可求出答案.
（3）过点F作FD⊥BE于点D，根据等边三角形性质可得BE=AB= ，再根据含30°角的直角三角形
性质可得BD= BE= ，根据锐角三角函数可得 ，则EF=1，再根据全等三角形性质可
得QE=BP=2，则QF=QE+EF=2+1=3，即可求出答案.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，抛物线
经过A，B两点，与x轴的另一个交点为 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 为直线 上方抛物线上一动点．
①连接 交 于点 ，若 ，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得 的度数恰好是 的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果
不存在，请说明理由．【答案】（1）
（2）① 或 ；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；同角三角函数的关系；二次函数-角度的存
在性问题
26． 在平面直角坐标系中，四边形 为矩形， ，连接 ．
（1）如图1， 平分 交y轴与点B，交 于点D，直接写出点 的坐标：
B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）；
（2）如图1，在（1）的条件下，F为 的中点，求 的值，并直接写出 的值；
（3）如图2，点M从O点出发沿射线 运动，点N从A点出发沿 运动， 分别为
的中点，若 两点以相同的速度同时出发运动，当 时，直接写出当
有最小值时 的长度．
【答案】（1）0；m；m；n；m-n；n
（2）解： = ；（3）解：PQ=
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
四边形 为矩形， ，
， ， ．
坐标为 ．
平分 ，
， ．
， 为等腰直角三角形，
， ，
点坐标 ，
过 作 于 ，
， ，
点坐标为 ．
故答案为：0，m；m，n；m-n，n；
（2）解：如图所示，连接 ，为等腰直角三角形， 为 中点，
， 为等腰直角三角形，
，
为为等腰直角三角形，
，
{ BF = BO )
即 BE BA ，
∠OBF=∠ABE
，
， ，
，
， ．
（3）解：如图所示，以 为边长，在 轴下方作正方形 ，两点以相同的速度同时出发运动，
，
{
AN=OM
)
OA=AB ，
∠MOA=∠NAB=90°
，
，
，
三点共线时， 有最小值，即 的长，
连接 交 于 点，即为此时 的位置，
在 中， ， ，
，
，
此时 ， ，
坐标为 ， 坐标为 ，
又 ， ， 分别为 中点，坐标为 ， 坐标为 ，
．
【分析】（1）由于四边形 为矩形， 平分 ，可得 ， 为等腰直角三角形，
于是 ， 对应的横纵坐标的长度都可求，由此得解．
（2）要求 的值，两个角不在同一个三角形内，因此考虑将其中一个角进行转化，将
两个角转化成在同一个三角形内，可证 ，于是 ， 的
值等于外角 ，同时得到相似三角形三边对应成比例 ，即得解．
（3）要求的最小值，两条线段的和最小值考虑利用“两点之间线段最短”来求解．以为边长作正方形，，
得到，即可将转化为，由此确定此时的位置，利用两点的中点坐标表示出坐标，然后利用两点间的距离公
式即可求．
