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第 03 讲 一次函数的图象
课程标准 学习目标
1．理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤；
①掌握作函数图象的一般步骤 2．掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问
②掌握一次函数的图象与性质 题；
3．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．
知识点01 正比例函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知一点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）；4）过象限、增减性
y=kx 过原点（0,0）的一条直线
k值
大致图象
经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限
增减性 随 的增大而增大 随 的增大而减小
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）正比例函数 中， 的值随着 值的增大而增大，则点 在
第
象限．
【答案】四
【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点位于的象限，根据函数增减性可知 ，从而得到 ，
通过点在象限的特征进行判断即可．
【详解】解： 正比例函数 中， 的值随着 值的增大而增大，
，
，
则点 在第四象限，
故答案为：四．
知识点02 一次函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（ ，0）；
4）过象限、增减性
（过一、二象限） （过三、四象限） （过原点）（过一、三象限）
随 的增大而增大
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
（过二、四象限）
随 的增大而减小
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练2】
1．（2024·山东聊城·三模）关于一次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点
C．当 时， D．函数值y随自变量x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关
键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令 ，求得 ，则可判断选项B；根据图
象的升降可判断C，最后可确定错误的选项．
【详解】解： ，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小；
故A、D两个选项正确；
令 ，得 ，
即图象与x轴交于点 ，
故选项B正确；
由于图象从左往右是下降的，故当 时， ，
故选项C错误；
故选：C．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数 与 轴、 轴分别相交于点 和点 ．(1)求点 和点 的坐标；
(2)点 在 轴上，若 的面积为6，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)当点 在点 上方时， ；当点 在点 下方时，
【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论
的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）令 ，求出x的值，得到点A的坐标，令 ，求出y的值，得到点B的坐标；
（2）分点 在点 上方和点 在点 下方两种情况讨论．
【详解】（1）解：当 时， ，
，
当 时， ， ，
；
（2）点 在 轴上，若 的面积为6，
，
，
，
当点 在点 上方时， ．
当点 在点 下方时， ．
知识点03 一次函数的平移
“上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化.
【即学即练3】
1.（2023春·云南临沧·八年级统考期末）将一次函数 的图像先向左平移 个单位长度，再向下平
移 个单位长度后得到的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将一次函数 的图像先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到的函
数解析式为： ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．
2.（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线 沿y轴向上平移a（ ）个单位
长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若 的面积为2，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算 和 的长是解
本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算 和 时对应的值，可得
和 的值，根据 的面积为2，列方程可得结论．
【详解】解：直线 沿y轴向上平移a个单位长度后，得到直线 ，
当 时， ，
∴ ，
∵直线 与x轴交于点A，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，
∴ （负值舍去）．
故答案为：4．
题型01 正比例函数的图象和性质
【典例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数 ，下列结论正确的是
（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．当 时， D．图象经过第二、四象限
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可．
【详解】解：A、由函数 可知，当 时， ，则图象经过点 ，该选项错误；
B、由函数 可知，当 时，则 随 的增大而减小，该选项错误；
C、由函数 可知，当 时， ，该选项错误；
D、由于函数 ， ，则函数图象经过第二、四象限正确；
故选：D．
【变式1】（23-24八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误．
【详解】A、当 时， ，
∴正比例函数 的图象必经过点 ，选项A不符合题意；
B、∵ ，
∴正比例函数 的图象经过第一、三象限，选项B不符合题意；
C、∵ ，
∴ 随 的增大而增大，选项C符合题意；
D、当x=0时， ，且 随 的增大而增大，
∴当x>0时， ，选项D不符合题意．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D． 随 的增大而减小
【答案】C
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、正比例函数 ，图象是一条直线，故该选项不符合题意；
B、当 时， ，图象不经过点 ，故该选项不符合题意；
C、 ，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意；D、 ，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意．
故选：C．
【变式3】（23-24八年级下·广东·阶段练习）关于正比例函数 ，下列说法中，错误的是（ ）
A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线
C． 随 的增大而增大 D．点 在其图象上
【答案】C
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质．解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质．本题根据一次函数的
性质，对四选项逐个进行判断即可得出结论．
【详解】解：A、当x=0时， ，故图象经过原点，说法正确；
B、正比例函数的图象是一条直线，说法正确；
C、 ， 随 的增大而减小，说法错误；
D、把 代入 ，得： ，说法正确．
故选：C．
题型02 画一次函数的图象
【典例1】（23-24八年级上·河南漯河·期末）已知函数 ．
(1)填表，并画出这个函数的图象
… …
x 0 _________
… …
… …
______ 0
… …
(2)根据函数 的性质或图象，直接写出x取何值时， ．【答案】(1)表中信息见解析，图象见解析
(2)
【分析】本题考查一次函数图象及性质，画一次函数图象，求自变量或因变量值．
（1）根据题意
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴表中信息如下：
… …
x 0
… …
… …
0
… …
图象如下：
；
（2）解：根据函数图象可知，当 时， ．
【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）已知一次函数 ，请回答下列问题：(1)请用描点法画出它的图象：
解：列表：
0
4 0
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到
的图象；表格中 的值为___________；请在坐标系中画出 的图象；
(2)若一次函数 的图象与一次函数 图象关于 轴对称，请画出一次函数 的图象，
并求出它的解析式；
(3)若平行于 轴的直线分别交 的图象， 的图象于 两点，已知 的长为4，则点
的横坐标是___________．
【答案】(1) ，图见解析
(2) ，图见解析
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数，轴对称，
（1）将 代入函数，即可解答，再利用描点法画函数图象，即可解答；
（2）得到一次函数 与 轴的交点， 关于 轴的对称点，再利用待定系数法，求得一次函数
解析式即可解答；
（3）设平行于 轴的直线为 ，求得直线 与两个函数的交点，利用两交点的横坐标之差的绝对值
为4，列方程即可解答．
熟知平行于y轴的线段长度为横坐标之差的绝对值是解题的关键．
【详解】（1）解：将 代入函数，可得 ，
解得 ，函数图象，如图所示：
（2）解：根据（1）可得函数图象与 轴的交点为 ，
关于 轴的对称点为 ，
把 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
，
函数图像，如图所示：
（3）解：设平行于 轴的直线为 ，
当 时，可得 ， ，
可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
则 ，
解得 ，
点 的横坐标为 或 ．
【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知直线 的表达式为 ，点A，B分别在x轴、y轴上．
(1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线 的图象；
(2)将直线 向上平移4个单位得到直线 ，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线
的表达式，并在下图中画出直线 的图象；
(3)若点P到x轴的距离为4，且在直线 上，求 的面积．
【答案】(1) ，点 ；图象见解答过程；
(2) ，点 ，直线 的表达式为 ；
(3)4或12．
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，
熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键．
（1）对于 ，当 时， ，当 时， ，由此可得点A，点B的坐标，然后画出直线
即可；
（2）根据一次函数平移的规律得直线 的解析式为 ，然后再分别求出点C，D的
坐标，画出直线 即可；
（3）根据点P在直线 上，可设点P的坐标为 再根据点P到x轴的距离为4得 ，由
此解出t，进而得点P的坐标，然后再求出 的面积即可．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，直线 如图1所示：（2）解：对于直线 ，向上平移4个单位得： ，
即直线 的解析式为 ，
对于 ，当 时， ，当 时， ，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，直线 如图2所示：
（3）解：∵点P在直线 上，
∴可设点P的坐标为 ，
∵点P到x轴的距离为4，
，
或 ，
由 解得： ，此时点P的坐标为 ，
由 解得： ，此时点P的坐标为 ，
①当点P的坐标为 时，如图4所示：∵点 ， ，
轴， ，
，
∵点D的坐标为 ，
，
；
②当点P的坐标为 时，过点P作 轴于H，如图3所示：
，
由（1）可知： ，
．
综上所述： 的面积为4或12．
题型03 一次函数的图象和性质
【典例1】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数 ，下列结论成立的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限
【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴函数图象经过一、二、四象限， 随 的增大而减小，
当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，图象必过点 ；
综上：只有选项B成立；
故选B．
【变式1】（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为
C．图象不经过第二象限
D．若两点 在该函数图象上，则
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的几何变换，一次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
把 代入 求出y的值，即可判断A；根据平移的性质即可判断B；由 ，利
用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数 的图象经过第一、二、四象限，可判断C；由
，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，即可判断D．
【详解】解：A、当 时， ，
∴图象不经过点 ，
故A错误，不符合题意；
B、图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 ，
故B错误，不符合题意；
C、解：∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数 的图象不经过第三象限，
故C错误，不符合题意；
D、∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵点 都在该函数图象上，
∴ ，
故D正确，符合题意．
故选：D．【变式2】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数 的图像与性质，下列说法中
不正确的是 （ ）
A．y随x的增大而增大
B．当 时，该图像与函数 的图像是两条平行线
C．若图像不经过第四象限，则
D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线
与直线 平行，那么 ．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平
行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D．
【详解】解：A、一次函数 中，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
B、当 时， ，一次函数 与 的图象是两条平行线，故本选项说法正确；
C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限，
，即 ，故本选项说法错误；
D、一次函数 中，
∵ ，
∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确．
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数 的判断，正确的是
（ ）
A．当 时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点 ，点 在该函数的图象上，若 ，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于 的方程 的解是 ，则 的图象恒过点
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平
移问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质
判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元
一次方程的关系判断选项D即可．
【详解】解：一次函数 中， ，则函数图象经过二、四象限，当 时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误；
一次函数 中， ，则y随x的增大而减小，由 ，得 ，但是 、 的值
与0的大小不能比较，故选项B错误；
函数 的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为 ，由新函数图象
经过原点，得 ，解得 ，故选项C错误；
若关于 的方程 的解是 ，则 的图象恒过点 ，故选项D正确．
故选：D．
题型04 已知函数经过的象限求参数范围
【典例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知一次函数 的图象经过第一、
三、四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数图象与系数的关系
得到 ， ，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】∵一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
∴ ， ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·河南信阳·期末）若一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则b
的值可以是 ．（写一个即可）
【答案】 （答案不唯一，任意负数均可）
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当 ， 时，一次函数 的图象
在一、三、四象限是解答此题的关键．
先根据一次函数 的图象经过一、三、四象限判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、三、四象限，
∴ ，
∴
∴b可以等于 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【变式2】（2024·福建南平·模拟预测）已知一次函数 的图象经过第一、二、三象限，则 取
值范围为 ．
【答案】【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数的图象，由题意可得 ，据此即可求解，掌握一次函数的图象特点是
解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数 的图象不经过第三象限，则
m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数 ，当 时，函数图象
经过一、二、三象限，当 时，函数图象经过一、三、四象限，当 时，函数图象经过一、
二、四象限，当 时，函数图象经过二、三、四象限．
依据一次函数 的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数
项不小于零，进而得到的m取值范围．
【详解】解： 一次函数 的图象不经过第三象限，
解得： ．
故答案为： ．
题型05 根据一次函数增减性求参数
【典例1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）若一次函数 中y随x的增大而减小，写出一个符合
条件的k的值 ．
【答案】0（答案不唯一，答案为 内的即可）
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】根据函数的性质，当 时，y随x的增大而减小解答即可．
本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
故 ．
故答案为：0．【变式1】（23-24八年级下·云南大理·期末）已知函数 的 值随 的增大而减小，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的增减性列出关于 的不等式即可．
【详解】解：∵函数 的 值随 的增大而减小，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）若一次函数 的图象经过点 和点
，当 时， ，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵当 时， ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数 ， 为常数，当 时，该一次函
数的最大值是5，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查一次函数的性质，分 和 ，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可．
【详解】解：当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，解得： ，
当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时， ，解得： （舍去）；
故答案为： ．
题型06 比较一次函数值的大小【典例1】（23-24九年级上·全国·开学考试）一次函数 的图象上有两点 和 ，且
，则 与 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据从一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由
即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数 中 ，
∴y随着x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点 ， ， ， 在直线 上，且
，则 ．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题考查一次函数的图象性质： 当 ， 随 增大而增大；当 时， 将随 的增大而减小
．根据 可得 将随 的增大而减小， 利用 的大小关系和函数的增减性可判断 ．
【详解】解： 当 时
将随 的增大而减小
故答案为：
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知点 在直线 上，且直线经过
第一、二、四象限，当 时， 与 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直接利用一次函数的性质分析得出答案．
【详解】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为： ．【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点 ， 是一次函数 图象上两点．
请用“>”“=”或“<”填空．
(1)若 ， ， ，则 ______ ；
(2)若 ， ，则 ______ ；
(3)若 ， ，则k______0．
【答案】(1)<
(2)>
(3)>
【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数 （k为常数， ）当 ，y的值
随x的值增大而增大；当 ， 的值随x的值增大而减小．
（1）（2）（3）根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴y的值随x的值增大而增大，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴y的值随x的值增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）∵ ， ，
∴y的值随x的值增大而增大，
∴ ．
故答案为： ．
题型07 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【典例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数 的图象与y轴的交点坐标为 ．
【答案】【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数 与y轴的交点为 是
解题关键．令 ，求出 的值，即可得到答案．
【详解】解：令 ，则 ，
函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数 与 轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，令 ，代入一次函数解析式，求出自变量的值，即
可得到答案．
【详解】解：对于一次函数 来说，
当 时， ，
解得 ，
∴一次函数 与 轴的交点坐标为 ，
故答案为：
【变式2】（22-23八年级下·云南楚雄·期末）已知一次函数 与坐标轴围成的三角形面积为 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积
公式求解即可，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解： 次函数 与坐标轴的交点分别为 ， ，
，
解得 ，
故答案为： ．
题型08 一次函数图象的平移问题
【典例1】（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解
析式为 ．【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点
是解题的关键．
【详解】解：正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，有一条直线 ，若把 轴
向上平移5个单位长度，平移后直线的表达式变为 ．
【答案】 /
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数与几何变换：直线 向下平移 个单位得到直线解析式为
，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据直线向下平移的法则即可得到答案．
【详解】解：直线 ，若把 轴向上平移5个单位长度，相当于该直线沿 轴向下平移 个单位，
那么该直线的表达式变为：
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数 的图象先向左平移4个单位长度，
再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将一次函数 的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的
图象对应的函数表达式是 ，
故答案为： ；
【变式3】（24-25九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系 中，将直线 向下平移1
个单位长度，得到直线 ，则 ．
【答案】2
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．
【详解】解：将直线 向下平移1个单位长度得 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为：2．题型09 两个一次函数图象共存问题
【典例1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数 与 在同
一坐标系内图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出
正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案．
【详解】解：①当 时，m、n同号， 过一、三象限，
m，n同正时， 经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限；
②当 时，m、n异号， 过二、四象限，
， 时， 经过一、三、四象限； ， 时， 过一、二、四象限；
结合各选项可知D正确，
故选：D．
【变式1】（22-23八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象；
分 和 ，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可．
【详解】解：当 时，函数 过二、四象限，函数 过一、二、三象限，选项B
中函数图象符合；
当 时，函数 过一、三象限，函数 过一、三、四象限，均不符合；
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 和 （k为常数，
）的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可
作出判断．
【详解】解：∵ 和 （k为常数， ），
∴函数 过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数 的图象经过一，三、四，且
图象是上升的，
故A、B、C不合题意，
D选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数 和一次函数 在同一个直
角坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分
和 两种情况讨论：当 时，分析两函数图像经过的象限； 时，再分析两函数图像经过的
象限，即可获得答案．
【详解】解：分两种情况：
①当 时，正比例函数 的图像过原点，且过第一、三象限，
而一次函数 的图像经过第一、三、四象限，无选项符合；
②当 时，正比例函数 的图像过原点、且过第二、四象限，
而一次函数 的图像经过第一、二、三象限，选项D符合．
故选：D．
题型10 一次函数中的规律探究问题
【典例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，……都在x轴
上，点 ， ， ……都在同一条直线上， ， ， ， ， ……都是等腰直角三角形，且 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．
先求出直线解析式，再根据题意分别求出 ， ， ，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐
标，即可得到答案．
【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点 ， ，
函数表达式为 ．
， ， ， ， ……都是等腰直角三角形，且 ，
∴ 的纵坐标为1，
的纵坐标为 ，
的纵坐标为 ，
……
的纵坐标为 ，
把 的纵坐标为 代入 中，
解得 ，
点 的坐标是 ．
故答案为：
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点 在直线 上，点
在 轴上， 是等腰直角三角形． ，
如果点 ，那么 的纵坐标是 ．
【答案】【分析】过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，设 ，
，分别求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由点 在直线
上得出该直线的表达式为： ，由点 在直线 上，得出 ，
再由点 在直线 上，得出 ，代入 求出 的值即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，
，
设 ， ，
点 ，
，
为等腰直角三角形，且 ，
，
同理可得： ， ， ，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 在直线 上，
，
解得： ，
该直线的表达式为： ，
点 在直线 上，
，
解得： ，点 在直线 上，
，
整理得： ，
将 代入 得： ，
点 的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次
函数的图象，等腰直角三角形的性质，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键．
【变式2】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于
点 ，以 为一边作正方形 ，使得点 在 轴正半轴上，延长 交直线于点 ，按同样方法
依次作正方形 、正方形 正方形 ，使得点 均在直线 上，点
在 轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正
方形的性质，可得出点 的坐标，同理可得出 、…的坐标，进而得到 、…的横
坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当 时，有 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ．
∵四边形 为正方形，
∴点 的坐标为 ．
同理，可得出： ， ， ，…，
∴ 的横坐标为2， 的横坐标为4， 的横坐标为8，…，∴ 的横坐标为 （n为正整数），
∴点 的横坐标是 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）一次函数 的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．一次函数
中，当 时，图象经过第一、三象限，当 时，图象经过第二、四象限，当 时，图象
交y轴正半轴，当 时，图象交y轴负半轴．
根据 判断直线经过经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
【详解】∵ 中， ，
∴直线经过第二、四象限，
又∵ ，
∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴直线 经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）关于一次函数 的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数
C．图象与x轴的交点坐标为
D．函数值随自变量的增大而减小
【答案】B
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平
移问题、判断一次函数的增减性【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平移变换与坐标变化，利用一次函
数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵一次函数 ，
∴一次函数 经过一、二、三象限，且函数值随自变量的增大而增大，
故A 、D错误，不合题意；
一次函数 向下平移3个单位，可得到 ，
故B正确，符合题意；
把 代入 得 ，解得： ，所以图象与 轴的交点坐标为 ，
故C错误，不合题意．
故选：B．
3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数 的图像经过三个点 、 、
，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的增减性， ，当 时，y随x的增大而增大；当 时，
y随x的增大而减小，据此判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数 的图像经过三个点 、 、 ，且 ，
∴ ，
故选：B．
4．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则函数
的图象一定经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数 ，函数值 随自变量 的增大而增大，
可以得到 ，再根据图像可以得到 ，即可得出 ，然后根据正比例函数的性质，即可得到函数
的图象经过哪几个象限．
【详解】解： 一次函数 ，函数值 随自变量 的增大而增大，
，
交y轴负半轴，
，
∴
函数 的图象经过二、四象限，
故选：B．
5．（24-25九年级上·重庆·开学考试）下列图象中，可以表示一次函数 与正比例函数
（k，b为常数，且 ）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以
得到 的正负和 、 的正负，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】A、由一次函数 的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项A可
能，符合题意；
B、由一次函数 的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项B不可能，不
符合题意；
C、由一次函数 的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项C不可能，不
符合题意；
D、由一次函数 的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项D不可能，不
符合题意；
故选：A．6．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）已知点 均在一次函数 的图象上，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过二、三、四象限 B．点 在第二象限
C． D．与x轴的交点坐标为(0,1)
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值
的大小
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A即可；将A、B代入
解析式，求出m、n的值，得出点C的坐标即可判定B；根据m、n的值即可判断C；把 代入函数解析
式，求出与x轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意；
把 分别代入 得：
， ，
∴点C的坐标为 ，
∴点 在第三象限，故B错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C正确，符合题意；
把 代入 得： ，
解得： ，
(1 )
∴与x轴的交点坐标为 ,0 ，故D错误，不符合题意．
2
故选：C．
二、填空题
7．（23-24八年级上·福建三明·期中）一次函数 的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是
．
【答案】6
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，先求出一次函数 与x轴，y
轴分别交于 ，再根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：在 中，当 时， ，
当 时， ，
∴一次函数 与x轴，y轴分别交于 ，
∴一次函数 的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是 ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）将直线 向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点
坐标为 ．
【答案】(1,0)
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了坐标的平移、直线与坐标x轴的交点问题等知识点，掌握平移规律“纵坐标向上
平移加，向下平移减”是解题的关键．
先根据坐标的平移规律求得函数解析式，然后求得平移后的直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】解：直线 向上平移2个单位长度，所得直线为： ，
令 ，解得： ，
∴平移后的直线与x轴的交点坐标为： ．
故答案为： ．
9．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
（1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有
；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ．
【答案】 ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的图象
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数 ，当 时，y
随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当 时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．
根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可．
【详解】解：① ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
当 时， ，解得 ，
∴与x轴交于正半轴，
∵ ，
∴与y轴交于正半轴；②
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
当 时， ，解得 ，
∴与x轴交于正半轴，
∵ ，
∴与y轴交于负半轴；
③ ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
当 时， ，解得 ，
∴与x轴交于负半轴，
∵ ，
∴与y轴交于正半轴；
④ ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
当 时， ，解得 ，
∴与x轴交于负半轴，
∵ ，
∴与y轴交于负半轴；
⑤ ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴该函数经过原点；
⑥ ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴该函数经过原点；
∵ 和 的k值相等，
∴ 和 互相平行；
（1）y随x的增大而增大的有②③⑥；（2）y随x的增大而减小的有①④⑤；
（3）图象互相平行的有②⑥；
（4）与x轴交于正半轴的有①②；
（5）与y轴交于正半轴的有①③．
故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③．
10．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点
在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意
得出 、 两点的坐标是解题的关键．
先求出 两点的坐标，故可得出 的长，再由轴对称的性质得出 ，故可得出 点坐标，进而
可得出结论．
【详解】解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，
∴当 ， ，
当 时， ，
∴ ，
， ，
，
将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，
，
．
将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，
，
设 ，则 ， ，
，即 ，解得 ，，
．
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线
与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有 个整点，三角形的边上有 个整点．若直
线 与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有且仅有6个整点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】此题考查一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据题意画出函数图象，进
而求解即可，若直线 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有 个整点，则这 个
整点是 ， ， ， ， ， ，因此此时的 的取值范围应介于这两条直线的
的值之间．
【详解】解：当 时， ，
直线 与 轴交于点 ；
当 时， ，解得 ，
直线 与 轴交于点 ；
画出图象如下：
由图象可得，直线 与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)
有 个整点，三角形的边上有 个整点．
如图，直线 一定过点 ，把 代入 得，k=1，
把 代入 得， ，
直线 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有 个整点，
的取值范围是 ，
故答案为： ， ， ．
12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 上，过点
作 ，交 轴于点 ；过点 作 轴，交直线于 ；过点 作 ，交 轴于点
；过点 作 轴，交直线 于点 ； ，按此作法进行下去，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题
【分析】此题主要考查了直线与坐标轴之间的关系．根据题目所给的解析式，求出对应的 坐标，然
后根据规律求出 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，将 代入直线解析式 中得 ，
， ，
，
，
，
，
的坐标为 ，
同理可以求出 的坐标为 ，
同理可以求出 的坐标为 ，
同理可以求出 的坐标为 ，
的坐标为 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数 ．
(1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围；
(2)若函数图象平行于直线 ，求这个函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象平移问题
【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数
的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据若图象经过一、二、三象限， ， 解不等式组即可解决问题；
（2）根据图象平行于直线 ，所以 相同即可求得 ，从而求得直线为 ．【详解】（1）解：∵函数图象经过一、二、三象限，
∴ ，
解得 ．
（2）∵一次函数 的图象与直线 平行，
∴ ，解得： ．
∴ ，
∴这个函数的表达式为 ．
14．（23-24八年级下·全国·期末）分别画出函数 和 的图象，再根据图象，回答下列问
题：
（1）两个图象各经过哪些象限？
（2）判断点 、 是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什
么？
【答案】画图见解析；（1）函数 的图象过第一、二、三象限，函数 的图象过第二、三、
四象限；（2） 、 在函数 的图象上， 在函数 的图象上
【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数解析式判断其经过的象限、画一次函数图象
【分析】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是画出函数的图象．本题属于基础题，难度不大，解决
该题型题目时，分别令 、 找出函数与坐标轴的交点坐标，根据交点坐标画出图象是关键．
利用画直线的方法画出两个函数的图象．
（1）结合函数图象，即可得出两个图象各经过哪些象限；
（2）分别将各点的横坐标代入这两个函数关系中，求解并判断即可．
【详解】解：在 中，令 ，则 ，得 ，令 ，得 ，
函数 的图象过点(0,1)和 ，
在 中，令 ，则 ，得 ，令 ，得 ，
函数 的图象过点 和 ，
在坐标轴上画出两函数图象，如图所示．（1）观察两函数的图象发现：函数 的图象过第一、二、三象限，函数 的图象过第二、
三、四象限；
（2）当 时， ， ，
在函数 的图象上；
当 时， ， ，
在函数 的图象上；
当 时， ， ，
不在这两个图象上；
当 时， ， ，
在函数 的图象上；
15．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知一次函数 ，请解答下列问题：
(1) 为何值时，该函数的图象与直线 平行？
(2) 为何值时， 随 增大而增大？
(3) 为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了两直线相交或平行的性质、一次函数 图象与系数的关系，明确：①当 时，
y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，②两直线平行时，一次项系数相等．
（1）两直线平行，则一次项系数相等，常数项不等，列式求解即可；
（2）根据y随x的增大而增大可知： ，求解即可；（3）函数的图象经过第二、三、四象限可知： ，求解即可．
【详解】（1）由题意得
解得 ；
（2）由题意得 ，
解得 ；
（3）由题意得
解得 ．
16．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数 经过点A，点A在第四象限，过点A作
轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且 的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使 的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数 上存在一点M，使得 若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)正比例函数的解析式是
(2)P点坐标为 或
(3)点 的坐标为 或
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．
（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得 ，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．
（3）设点 ，当 或 时，分点M在线段 上与在线段 延长线两种情况，由
列方程，从而可得点M的坐标．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且 的面积为3
∴ ，解得， ，
∴点A的坐标为 ，
∵正比例函数 经过点A，
∴ ，
解得 ，
∴正比例函数的解析式是 ；
（2）解：存在．
设 ，
∵ 的面积为5，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴P点坐标为 或 ．
（3）解：设 ，如图，
①点 在 上时，
当 时， ，
又 ,
若 时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，∴ 点的坐标为 ；
当点 时， ，
若 时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ；
②点 在 的延长线上时，
当 时， ，
若 时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ；
当点 时， ，
若 时，同理可得， 点的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ．
17．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题：(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ；
(3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
【答案】(1)4
(2)
(3) 或
【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各
点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）根据平移的规律求得即可．
【详解】（1）解：一次函数 的图象如图：
令 ，解得 ，令 ，则 ，
∴直线与x轴交点坐标为(2,0)，与y轴交点坐标为 ，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ，
故答案为：4；
（2）解：由图可知，当 时，y的取值范围为 ，
故答案为： ；
（3）解：将直线 沿y轴平移3个单位长度得 ，即 或 ．
18．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）请根据函数的学习路径，对函数 的图象与性质进行探
究，并解决相关问题．
x 0 1 2 3 4 5 6
y 5 m 1 1 3 n(1)表格中： ______， ______．
(2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）．
(3)观察图象，回答问题：
①当x_____时，y随x的增大而减小；
②该函数的最小值为______；
③已知直线 过点 和 ，直接写出当 的x取值范围是______．
【答案】(1)3，5
(2)见解析
(3)① ；② ；③
【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的图象、画一次函数图象
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地
识别图形是解题的关键．
（1）将 和 分别代入解析式求得 和 的值；
（2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
故答案为：3，5；
（2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示：（3）解：①由图可知，由图可知，当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ；
②当 时，函数值 最小，最小值为 ．
故答案为： ；
③ 直线 过点 和 ，如图所示，
当 的 取值范围是 ，
故答案为： ．
