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单元提升卷 04 导数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．如图所示的是 的导函数 的图象，下列四个结论：
① 在区间 上是增函数；
② 是 的极小值点；
③ 的零点为 和 ；
④ 是 的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
【答案】A
【分析】利用导函数 的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案．
【详解】由导函数 的图象可知，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，
在 上单调递增，故①正确，②正确；
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学科网（北京）股份有限公司又 和 是 的零点（是极值点），
不是 的零点，且 不是 的极大值点，故③④均错误；
故选：A
2．已知 的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据导数值的定义计算即可.
【详解】根据导数值的定义： .
故选：C
3．已知函数 满足 ，且 的导函数 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数 ，可得函数 在 上单调递减，再由其单调性即可求得
不等式.
【详解】设 ，则 ，因为 ，所以 ，即函数
在 上单调递减，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，即 的解集为 .
故选：D
4．函数 的导函数为 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的性质可得 时 ，即可求导代入求解.
【详解】当 时，则
，
此时 ，
所以 ，
故选：B
5．函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，且点 在 的图像上，
所以 在 处的切线的斜率为 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
故选：A.
6．已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意作出函数图象，可得 的范围，得到 ，令 ，
再由导数求最小值即可．
【详解】已知函数 ，作出函数图象如图：
当 时， ．
由 ，得 ，则 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
，即 的最小值为 ．
故选：A．
7．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】观察 的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.
【详解】 ， ， .
构造函数 ，则 ,当 时， ,函数 递增;当 时，
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学科网（北京）股份有限公司,函数 递减;
因为 ,所以
故选：B
8．若直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义得到 ，然后利用导数分析单调性求最值即可.
【详解】设切点坐标为 ，因为 ，
所以 ，故切线的斜率为： ，
，则 .
又由于切点 在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 .
令 ，则 ，设 ，
，令 得： ，
所以当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数.
所以 .
所以 的最大值为：1.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
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学科网（北京）股份有限公司9．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象，根据图象判断以下说法
正确的是（ ）
A．曲线 在 附近增加
B．曲线 在 附近减少
C．曲线 在 附近比在 附近增加的缓慢
D．曲线 在 附近比在 附近增加的缓慢
【答案】AD
【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可.
【详解】对于A、B选项，由图象可知， 在 与 附近均增加，故A正确，B错误；
对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，
与 均在对称轴 左侧，函数单调递增，
但增加的趋势逐渐趋于平缓，且 ， ，故C错误，D正确.
故选：AD
10．可能把直线 作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为直线 的斜率 ，
对于选项A：因为 ，则 ，
令 ，解得 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，则 ，
又因为 ，则方程 无解，故B错误；
对于选项C：因为 ，则 ，
令 ，解得 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，则 ，
令 ，解得 ，故D正确；
故选：ACD.
11．已知函数 ，则以下结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．
C．方程 有实数解
D．存在实数 ，使得方程 有4个实数解
【答案】BCD
【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即
可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数
形结合即可判定.
【详解】由 ，
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学科网（北京）股份有限公司显然当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，故A错误；
对于B项，易知 ，由 在 上单调递增可知
B正确；
对于C项，由上知 在 处取得极小值，而 ，故C正确，如图所示；
对于D项， ，即 ，当 ，显然成立，即 是其一根，当 时，原方程
等价于 ，令 ，
令 ，解得 ，即 在 上单调递减，
令 ，解得 或 时，即 在 和 上单调递增，故 在 处
取得极大值，在 处取得极小值， ，
又 时， ，可得 的大致图象，如图所示，
当 时， 有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；
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学科网（北京）股份有限公司故选：BCD
12．设函数 为 上的奇函数， 为 的导函数， ， ，则
下列说法中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由 为 上的奇函数， ， 可得 的性质，可判断A，
B；对 ， 求导可得导函数 的性质，即可判断C，D.
【详解】因为函数 为 上的奇函数，所以 ，因为 ，
，所以当 得 ，所以 ，故A正确；
又 ，可得 ，则
，
所以函数 关于直线 对称，故 的值无法确定，故B不正确；
因为 ，则 ①，所以 关于 轴对称，
又 ，所以 ，即 ，所以
关于点 对称，则 ②，
由①②得 ，所以 ，则 ，
故 的周期为6，由②可得 ，即 ，所以 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司由②得 ，所以 ，
则
，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 ，且 的最小值为0，则 的值为______．
【答案】
【分析】利用导数求出 ，结合已知最小值可得结果.
【详解】 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上为减函数，此时 无最小值，不合题意；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
令 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时， 取得最大值 ，
故 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司14．已知曲线 与曲线 有公切线 ，则 的方程为______.
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程
求解.
【详解】设直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，则 ，
所以该直线的方程为 ，即 ，
设直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，则 ，
所以该直线的方程为 ，即 ，
所以 ，消去 得 ，
令 ，因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ，则 为增函数，
所以 最多一个零点，容易知道 ，
所以 只有一个解 ，所以 ，所以 ，
所以该直线的方程为 ，即 .
故答案为： .
15．设函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】 在区间 上是减函数转化为 在 上恒
成立，进而可得.
【详解】因 ，
，
若 ， ，当 时， ，符合题意，
当 时， 得
，因 ，
故 ，
由题意 在 上恒成立，
设 ， 则 在 上单调递减，
故
故 ， ，
综上 ，
故答案为：
16．设函数 在区间 上有两个极值点，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】求得 ，根据题意转化为 在 上有两个不等的实数根，转化为
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学科网（北京）股份有限公司和 的图象有两个交点，求得 ，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】 ，
由题意知 在 上有两个不相等的实根，
将其变形为 ，设 ，则 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
的极大值为 ，又 ，
画出函数 的大致图象如图，
，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．曲线 上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线 ；
(2)垂直于直线 ；
(3)倾斜角为 .
【答案】(1) 是满足条件的点.
(2) 是满足条件的点.
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学科网（北京）股份有限公司(3) 是满足条件的点.
【分析】（1）设 时满足条件的点，求得 ，由切线与直线 平行，列出方程，
即可求解；
（2）由切线与直线 垂直，列出方程 ，即可求解；
（3）由切线的倾斜角为 ，得到 ，即可求解.
【详解】（1）解：设 时满足条件的点，
由函数 ，可得 ，可得 ，即切线的斜率为
因为切线与直线 平行，所以 ，解得 ，可得 ，
所以点 是满足条件的点.
（2）解：由（1）知，切线的斜率为 ，
因为切线与直线 垂直，所以 ，解得 ，可得 ，
所以点 是满足条件的点.
（3）解：由（1）知，切线的斜率为 ，
因为切线的倾斜角为 ，所以其斜率为 ，可得 ，解得 ，可得 ，
所以点 是满足条件的点.
18．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
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学科网（北京）股份有限公司(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案.
【详解】（1）
（2）
（3） ，
19．已知函数 （a为常数）．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到 ，故 ，变形得到函
数 ，求导得到其单调性，得到 的值域，得到答案.
【详解】（1）当 时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）若 在定义域内有两个极值点，则 是方程 即 的两个不相
等的正根，
从而得到 ，即 ，
又 ，故 ，且
令 ，则 ，
，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 的值域为 ，
所以 的范围是 .
20．已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司(2)求 的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）求导，分 和 讨论可得；
（2）根据（1）中结论可得单调区间.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 单调递增，满足题意；
当 时，令 ，解得 （舍去）或 ，要使 在 上单调递增，则 ，
所以 .
综上， 的取值范围为 .
（2）由（1）可知，当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递增，
令 ，解得 ， 在 单调递减.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
21．已知函数 ，在点 处的切线方程是 .
(1)求 ， 的值；
(2)设函数 ，讨论函数 的零点个数.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，求函数 的零点个数即 与 图象的交点个数，对 求导，
求出 的单调性和极值，画出 的图象，结合图像即可得出答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为在点 处的切线斜率为 ，
又 ，求得： .
（2）由（1）知， ，
令 ，则 ，
求函数 的零点个数即 与 图象的交点个数，
， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， 的图象如下：
当 或 ， 与 图象有1个交点，
当 或 ， 与 图象有2个交点，
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 与 图象有3个交点.
22．已知函数 ，
(1)求函数 的极值点；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)极大值点为 ，无极小值点；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的定义域及导数，再探讨导数值大于0和小于0的x范围作答.
（2）由给定不等式，构造函数，再借助导数求出函数最大值作答.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 的极大值点为 ，无极小值点.
（2）设 ， ，依题意， ，
求导得 ，令 ， ，
显然函数 在 上单调递减，又 ， ，
则 ，使得 ，即 ，有 ，即 ，
因此当 时， ，即 ，则 单调递增，
当 时， ，即 ，则 单调递减，
从而 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司
