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单元提升卷 02 不等式
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.
【详解】因为 ，显然有 ，故A正确；
而 ，所以 ，故B正确；
又 ，所以 ，故C正确；
不妨令 则 ，故D错误.
故选：D.
2．关于x的不等式 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接解一元二次不等式即可得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】不等式 可化为 ．
∵ ，∴ ．
∴原不等式的解集为 .
故选：D
3．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由因式分解结合一元二次不等式的解的特征即可求解.
【详解】由 得 ，解得 或 ，
故不等式的解为 ，
故选：C
4．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.
【详解】不等式 等价于 ，
利用数轴标根法可得 或 ，所以不等式解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
5．已知 ， ， 为不全相等的实数， ， ，那么 与 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号,
， ， 为不全相等的实数，因此等号不成立，即 ，
．
故选：A
6．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数式和对数式的互换得到 ， ，然后利用作差法和基本不等式比较大小即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知得 ， ，
又 ，所以 .
故选：D.
7．设集合 ，集合 为关于 的不等式组 的解集，若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得 在 上恒成立，由此可求 的范围，再求 的最小
值.
【详解】因为不等式组 的解集 ， ， ，
所以不等式 在 上恒成立，
且不等式 的解集包含集合 ，
又不等式 可化为 ，
所以不等式 的解集为 ，
所以 ，所以 ，且 ，所以 .
不等式 在 上恒成立，故 ，其中 ，
设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以当 时，函数 ， 取最大值，最大值为 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值，最小值为 .
故选：C.
8．已知正数a，b满足 ，则 最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
【答案】A
【分析】先进行化简得 ，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b满足 ，
所以
，当且仅当 ，联立 ，
即 时等号成立，
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若m， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数单调性可得m,n关系，特值法判断A,D选项，基本不等式求出B,C 选项.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司单调递减， ，
当 时满足 ，A选项错误；
，B正确；
，C正确；
，
当 时取等号，与已知 矛盾，D选项错误.
故选：BC.
10．已知函数 （ ， ），关于 的不等式 的解集为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． ，
B．设 ，则 的最小值为
C．不等式 的解集为
D．若 且 ，则 的取值范围为
【答案】AC
【分析】由题意可得， 是 的唯一解，可求得 ， ，从而求出 解析式．
再逐一检验各个选项是否正确，从而得到结论．
【详解】对于A选项： （ ， ），关于 的不等式 ，
即 ，它的解集为 ，
是 的唯一解，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得： ，故A选项正确；
由以上可得： ．
对于B选项： ，则 （ ），当 时， ，故B选项错误；
对于C项：不等式 ，即 ，
即 ，即 ，解得 或 或 ，
所以解集为 ，故C选项正确；
对于D选项：若 即
可知 在 上是增函数，在 是常数函数，且 时， ，
所以 得： 或 ，解得 ，
则 的取值范围为 ，故D选项错误；
故选：AC.
11．已知 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的最小值是 D． 的最小值是3
【答案】BC
【分析】根据基本不等式可求得 ，判断A，将 变形为 结
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学科网（北京）股份有限公司合基本不等式，判断B，由 整理得到 结合基本不等式可判断CD.
【详解】对于A，因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
由 ，
即 ，解得 ，
即 ，A错误；
对于B， 由 ， , ，
当且仅当 时取等号，
得 ，
所以 ,
又 ，
所以 ，即 ，
故B正确；
对C选项，因为 ， , ，
得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，C正确，
对于D, C选项知： ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立,但 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．（等号取不到）,故D错误；
故选：BC.
12．已知正实数 、 、 满足 ， ，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用换底公式可判断A选项；设 ， ，利用对数与指数的
互化，以及幂函数的单调性可判断B选项；比较 、 的大小，利用作商法结合幂函数的单调性可判断C
选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，则 ，所以 ，故A对；
对于B选项，设 ，则 ， ，
因为幂函数 在 上为增函数，所以 ，即 ，
设 ，则 ， ，
因为幂函数 在 上为增函数，
所以 ，即 ，则 ，故B错；
对于C选项，因为 ，且 ， ，
所以 ，所以 ，则 ，故 ，
所以 ，即 ，故C对；
对于D选项，由基本不等式，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，故D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为 ，它的两边都留有宽为 的空白，顶部和底部都
留有宽为 的空白，若 ，则纸张的用纸面积最少为__________cm2．
【答案】
【分析】设矩形的长和宽分别为 ，得到纸张面积为 ，结合基本
不等式，即可求解.
【详解】由题意，设排版矩形的长和宽分别为 且 ，且
则纸张的面积为
当且仅当 时，即 ，即 时，等号成立，
所以纸张的用纸面积最少为 .
.
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学科网（北京）股份有限公司14．已知 ， ， ， ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】由已知可得 ，结合基本不等式求 的最小值，再求 的最小值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
所以 ，当且仅当 时取等号．
所以 的最小值为 .
故答案为： .
15．若不等式 的解集也满足关于x的不等式 ，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】解得不等式 的解集，令 ，根据不等式 的解集也满足
关于x的不等式 ，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】解不等式 可得 ，即不等式 的解集为
因为不等式 的解集也满足关于x的不等式 ，
故令 ，则 ，
解得 ，
即a的取值范围是 ，
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司16．若 ，不等式 恒成立，则实数m的最小值为___.
【答案】 /
【分析】构造新函数 ，利用二次函数的性质求得 最大值，进而求得实数m的最
小值.
【详解】 时，不等式 恒成立，即 恒成立，
令
时， ，则 ，
则 ，则 ，
故实数m的最小值为
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．证明下列不等式：
(1)已知 ，求证
(2)已知 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
又因为 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
（2）证明： ， ， ；
又 ， ， ；
.
18．求下列不等式的解集：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次不等式的解法求解即可；
（2）利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，则 ，解得 ，
所以 的解集为 .
（2）因为 ，
所以 ，则 ，即 ，
故 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的解集为 .
19．已知关于 的不等式 的解集为 或 .
(1)求 的值；
(2)当 ，且满足 时，有 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出 、 的值；
（2）由题可得 ，结合基本不等式，求出 的最小值，得到关于 的不等式，解出即可．
【详解】（1）因为不等式 的解集为 或 ，
所以1和 是方程 的两个实数根且 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
（2）由（1）知 ，于是有 ，
故
当且仅当 ， 时，即 时，等号成立.
依题意有 ，即 ，
得 ，所以 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司20．“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造
等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，
具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己
的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设
该高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产
80百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本 万元，且
，每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能
够全部售出.
(1)求企业获得年利润 （万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润 销售收入 成本）；
(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
【答案】(1)
(2)当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元
【分析】（1）由条件根据利润和销售收入，成本之间的关系求出年利润与年产量之间的关系；
（2）分区间，结合二次函数性质和基本不等式求年利润的最大值.
【详解】（1）∵ ，
∴当 时，
.
当 时，
.
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， .
（2）由（1）得
∴当 时，
∴当 时， （万元）
当 时，
（万元）
当且仅当 ，即 时等号成立.
又 .
故当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元.
21．解关于x的不等式
【答案】答案见解析
【分析】原不等式可化为 ，分 、 、 三种
情况求解即可.
【详解】原不等式可化为 .
当 ，即 时， 或 ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， 或 .
综上，当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，解集为 或 .
22．（1）解关于 的不等式 ；
（2）已知关于 的不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）分类讨论 解不等式可得结果；
（2）分类讨论 项系数，利用判别式可得结果.
【详解】（1）①当 时，原不等式化为 ,解得 或 ；
②当 时，原不等式即为 ，解得 ；
③当 时，原不等式化为 ，
若 时，解得 ；
若 时，得 ，不等式无解；
若 时，解得 .
综上可知，当 时，解集为 或 ；
②当 时，解集为 ；
③当 时，解集为 ；
当 时，解集为空集；
当 时，解集为 .
（2）①当 ，即 或 时，
若 ，不等式化为 ，即 ，不符合题意；
若 ，不等式化为 ，符合题意.
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学科网（北京）股份有限公司②当 ，即 且 时，由二次不等式 对一切实数 恒
成立，
得 ，解得 .
综上所述：实数 的取值范围为 ．
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