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单元提升卷 03 函数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，且 ，则实数 的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．（ 2023·山西临汾·统考二模）已知函数 是定义在 上的连续函数，且满足
， .则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程 有两个不同的解 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
6．已知定义域为 的函数 ，若对任意的 、 ，都有 ，则称函数 为
“定义域上的 函数”，给出以下五个函数：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ；
⑤ ， ，
其中是“定义域上的 函数”的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，有（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若对任意的 ， ，均有
成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
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学科网（北京）股份有限公司选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 1 D． 的图象与 轴有1个交点
10．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为 （单位：℃），环境温度为 （
，单位℃），物体的温度冷却到 （ ，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系
为 ，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，
根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据： ）
A．函数关系 也可作为这壶外水的冷却模型
B．当 时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟
C．若 ，则
D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短
11．已知幂函数 对任意 且 ，都满足 ，若
，则（ ）
A． B． C． D．
12．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C
地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地
的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2 h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有下列说法：
① ；②16的4次方根是 ；
③ ；④ ．
其中，正确的有________(填序号)．
14．已知函数 在 上有零点，则实数a的取值范围是________________．
15．已知函数 是二次函数又是幂函数，函数 ，函数 ，则
的值为______．
16．已知 为定义在R上的奇函数， 为偶函数，且对任意的 ， ， ，都有
，试写出符合上述条件的一个函数解析式 ______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（1）已知 ， ，求 .（用 表示）
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学科网（北京）股份有限公司（2）已知 ， ，求 .（用 表示）
18．已知函数 .
(1)作出函数 的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数 的零点的个数．
19．已知 是定义在 上的奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
20．已知函数 ，且 ，当 的定义域是 时，此时值域也是 .
(1)求 的值；
(2)若 ，证明 为奇函数，并求不等式 的解集.
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学科网（北京）股份有限公司21．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
(1)求函数 的解析式和单调区间；
(2)若关于x的方程 有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
22．已知函数 .
(1)若 在区间 上恒成立，求m的取值范围；
(2)当 时，证明： 在区间 内至少有2个零点.
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