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第 02 讲 公式法因式分解
课程标准 学习目标
①公式法的因式分解 1.会用运用公式法分解因式.
知识点01 运用平方差公式因式分解
运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式 ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．套用平方差公式分解是解题的关
键．
【详解】解： ，故答案为： ．
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）将下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
（1）整理后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）整理后利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）整理后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
知识点02 运用完全平方公式因式分解
运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
【即学即练2】
1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式： 进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）因式分解： ．
【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解
是解题的关键．
先提公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）原式提取公因式 后，再运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1） ，
解：原式 ，
；
（2） ，
解：原式 ，
．
题型01 判断能否用平方差公式因式分解
例题：（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】依次各选项分解因式，即可求解，本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式．
【详解】解：A、 ，无法分解因式，不符合题意，
B、 ，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
C 、 ，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
D、 ，应用平方差公式分解因式，符合题意，
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公
式的结构特征，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意；
B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意；
C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意；
D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意．
故选：B．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公
式的结构特征： ，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可．
【详解】解：A中， ，故选项不符合题意；
B中， ，故选项不符合题意；
C中， ，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意；
D中， ，故选项不符合题意；
故选：C．
3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】此题考查了因式分解 运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】A． ，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意；
B． ，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意；
C． ，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意；
D． ，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意．
故选：C．
题型02 判断能否用完全平方公式因式分解
例题：（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】提公因式法分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B． ，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C． ，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D． ，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个
分析即可选出本题答案．
【详解】解：∵ ，∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵ ，
∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵ ，即不符合完全平方公式，
∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
∵ ，
∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．
【详解】解：① ，不能用完全平方公式分解因式；
② ；
③ ，不能用完全平方公式分解因式；
④ ；
⑤ ．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，
这种方法叫公式法；平方差公式： ；完全平方公式： ．
3．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式① ；② ；③ ；④
；⑤ 中，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键．
根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求
解．【详解】解：① ，不能用公式法分解因式，不符合题意；
② ，能用公式法分解因式，符合题意；
③ ，不能用公式法分解因式，不符合题意；
④ ，不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤ ，能用公式法分解因式，符合题意；
综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个，
故选：A ．
题型03 运用平方差公式因式分解
例题：（2025·海南三亚·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
直接利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）因式分解： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是利用平方差公式．利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级下·吉林松原·开学考试）分解因式： ．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
故答案为： ．
题型04 运用完全平方公式因式分解
例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）将 因式分解后的结果为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．用完全平方根公式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）因式分解 的结果为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为：3．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式：
（ ） ；
（ ） ；
（ ） ；
（ ） ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】（ ）利用完全平方公式因式分解即可；
（ ）利用完全平方公式因式分解即可；
（ ）利用完全平方公式因式分解即可；
（ ）利用完全平方公式因式分解即可；
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：（ ）原式 ，
故答案为： ；
（ ）原式 ，
故答案为： ；
（ ）原式 ，
故答案为： ；
（ ）原式 ，
故答案为： ．
题型05 综合运用公式法因式分解
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合运用公式法分解因式【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键．
（1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可；
（2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）因式分解
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：
提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案；
（2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解；
（3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
；（3）
．
2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）因式分解．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式
法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法求解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）
．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；（4）解：
．
题型06 综合提公因式和公式法因式分解
例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）先提取公因式 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
3．（24-25七年级下·全国·周测）把下列各式进行因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法．
（1）提取公因式即可得；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得；
（3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得；
（4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ，
；
（3）解：原式 ，
，
；
（4）解：原式 ，
，
．
题型07 运用因式分解求多项式的值
例题：（24-25九年级下·北京·开学考试）已知 ， ，则 ．
【答案】24
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，利用平方差公式分解因式是解题的关键．先利用平方差公
式分解因式，再整体代入即可求解．
【详解】解： ， ，
．
故答案为：24．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提
公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知 ， ，则 ．
【答案】100
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键．
先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将 、 代入计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
故答案为：100．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若 满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征
解答即可．
【详解】解：因为
所以
故答案为： .一、单选题
1．（24-25八年级上·山东威海·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公
式的结构特征： ，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可．
【详解】解： A中， 不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题
意；
B中， 不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意；
C中， 是两数（或式）的平方差，故能用平方差公式分解因式，故符合题意；
D中， 不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意；
故选：C．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）把多项式 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
故选：A．
3．（24-25八年级上·云南红河·期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．10 B． C．7 D．
【答案】A
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，把 化为 ，再代入
计算即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
故选：A
4．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列多项式：① ；② ；③ ；④
中，能用公式法分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式分解因式，直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进
而得出答案．
【详解】解：① ，能用公式法分解因式；
② ，不能用公式法分解因式；
③ ，能用公式法分解因式；
④ ，能用公式法分解因式；
故选：C．
5．（24-25九年级上·广西玉林·期末）如果 ，那么 的值为（ ）
A．16 B．64 C．32 D．8
【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为 ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
故选B．
二、填空题
6．（安徽省淮南市部分学校2024-2025学年九年级下学期开学第一次联考数学试题）因式分解：
．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查的知识点是提公因式法、公式法分解因式，解题关键是熟练掌握因式分解的方法．
综合提公因式法、公式法进行因式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
7．（24-25九年级下·北京·阶段练习）分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】15
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，把 化为 ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：
9．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键在于用因式分解表示式子的形式．
由题意知 ， ，将已知条件代入求解即可．
【详解】解：
，
， ，
故答案为：
10．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知 ，则 的值为 ；（2）已知 ，则 的值为 ．
【答案】 2 0
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了代数式求值，因式分解，熟练掌握代数式求值的方法是解答本题的关键．
（1）先将 分解因式得到 再代入 得到 化简得
再代入 得到2；
（2）先将 分解因式得到 再代入 得到0．
【详解】解：（1） ，
，
，
原式 ，
，
，
，
原式 ；
（2） ，
，
，
原式 ，
故答案为：2；0．
三、解答题
11．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用提公因式法进行分解因式，即可作答．
（2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式，即可作答．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
12．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
（1）提公因式再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）根据平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
（1）原式先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先根据进行平方差公式因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
15．（24-25八年级上·山东威海·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法、公式法，选择合适的方法进行因
式分解是解题的关键．
（1）直接提取公因式 即可得到答案；
（2）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解即可得到答案；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可得到答案．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方
公式等）进行因式分解．
（1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终
结果；
（2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果；
（3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；（3）原式
．
17．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式，乘法公式因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可；
（4）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．18．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面是嘉淇同学把多项式 分解因式的具体步骤：
……………………………………第一步
……………………………………第二步
…………………………………第三步
………………………………第四步
(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ；
(2)请给出这个问题的正确解法．
【答案】(1)分解因式不彻底；
(2)见解析．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
（1）观察同学的解法，找出错误原因即可；
（2）首先提取公因式 ，得到 ，它符合平方差公式\ 的形式，其中 ，
，再利用平方差公式进一步分解因式，得到最终结果 ．
【详解】（1）解：嘉淇解法错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽；在第一步变形后，
提取公因式应该是 ，而不是 ；
（2）解：正确解法如下：
，
，
．
19．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是
边长为 的大正方形，2块是边长为 的小正方形，5块是长为 ，宽为 的相同的小长方形，
且 ．
(1)观察图形，把多项式 进行因式分解；
(2)若这张大长方形纸板的周长为 ，图中空白部分的面积为 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用
【分析】本题考查了列代数式、因式分解．
（1）结合代数式的几何意义因式分解；
（2）根据空白部分的面积得到 ，再由大长方形的周长得到 ，化简得
， ，再根据阴影部分的面积为 ，整体代入求值即可得到阴影
部分的面积．
【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，小长方形的面积为
，
∴ 为大长方形的面积，
∵大长方形的长为 厘米，宽为 厘米，
∴大长方形的面积为 平方厘米，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵这张大长方形纸板的周长为 ，空白部分的面积为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴阴影部分的面积为：
，
答：图中阴影部分的面积为 ．
20．（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式 进行因式分解的
过程．
解：设 ，
原式 …………（第一步）
……………………（第二步）…………………………（第三步）
…………………（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解
的最后结果：____________
(3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解．
① ；
② ．
【答案】(1)公式法
(2)不彻底；
(3)① ；②
【知识点】完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】本题考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关
键．
（1）根据完全平方公式，即可解答；
（2） 中的 还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案；
（3）①设 ，原式可化为 ，根据完全平方公式可得 ，所以可化为 ，
进一步运用完全平方公式即得到答案．
② ，原式可化为 ，根据完全平方公式可得 ，所以可化为 ，进一步运
用平方差公式即得到答案．
【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法；
（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，
因为 ，
所以分解的最后结果为 ；
（3）解：①设 ，
则．
②设
则
．
