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第 01 讲 因式分解概念与提公因式因式分解
课程标准 学习目标
①因式分解的定义 1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
②提公式法的因式分解 2.会用提公因式法分解因式；
知识点01 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式.
【即学即练1】
1．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可．
【详解】解：A、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 ，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、 ，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意；
D、 ，属于因式分解，故符合题意；
故选D．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了分解因式的应用，根据分解因式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握分解因式的定义
是解此题的关键．
【详解】解：A、等号的右边不是几个整式的积的形式，故不符合题意；
B、从左到右是整式乘法，不是分解因式，故不符合题意；
C、 ，分解错误，故不符合题意；
D、 ，等号的右边是几个整式的积的形式，故符合题意；
故选：D．
知识点02 提公因式法因式分解
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最
好能一次性提取完.
【即学即练2】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)(3)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
（1）利用提取公因式法直接分解因式即可；
（2）利用提取公因式法直接分解因式即可；
（3）利用提取公因式法直接分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
题型01 判断是否因式分解
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】十字相乘法、判断是否是因式分解、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的
知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，是整式乘法，不符合题意；
B、 ，不是积的形式，不符合题意；
C、 ，故原式分解错误，不符合题意；
D、 ，分解正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形
叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得．
【详解】解：A． ，是因式分解，选项说法正确，符合题意；
B． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；
C． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；
D． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；
故选：A ．
2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定
义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；
B、 ，是整式的乘法，不符合题意；
C、 ，分解错误，不符合题意；
D、 ，等式右边不是整式积的形式，不符合题意；
故选：A．
3．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ）
① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可．
【详解】解：① 是整式乘法；
② 结果是和的形式，不是因式分解；
③ 是整式乘法；
④ 是因式分解；
⑤ 是因式分解；
⑥ 中含有不是整式的式子，不是因式分解；
故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义，
故选：B．
题型02 已知因式分解的结果求参数
例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解
的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解： ，
， ，
， ，
，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因
式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，则 的值
；
【答案】14
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当 时， ，则当 时，
，据此求解即可．
【详解】解：当 时， ，
∵关于 的多项式 有一个因式为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：14．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是 ，得
则
解得
∴另一个因式是 的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式 有一个因式是 ，求a的值．
【答案】(1)另一个因式为 ， 的值为9
(2)
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：
（1）设另一个因式为 ，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论；
（2）设另一个因式为 ，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即
可求出结论．
【详解】（1）解：设另一个因式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
另一个因式为 ， 的值为9；
（2）解：设另一个因式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 。
题型03 已知因式分解中错题正解
例题：甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，分解结果为 ；乙看错了 ，分解
结果为 ，则正确的分解结果为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别运算 和 ，确定 、 的值，然后进行因式分解即可．
【详解】解：∵甲看错了 ，分解结果为 ，
∴由 ，可知 ，
又∵乙看错了 ，分解结果为 ，
∴由 ，可知 ，
∴ ，∵ ，
∴正确的分解结果为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出 、 的
值．
【变式训练】
1．在分解因式 时，小明看错了b，分解结果为 ；小张看错了a，分解结果为
，求a，b的值．
【答案】 ，
【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为 ，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为
，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值．
【详解】解：∵ ，小明看错了b，
∴ ，
∵ ，小张看错了a，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．
题型04 公因式
例题：（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式 分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各
项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数
取指数最低的．据此求解即可．
【详解】解：把多项式 分解因式，应提的公因式是 ，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式 的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】多项式 ，
各项系数 的最大公约数为 ，
各项都含有 ， 的最低指数为 ，
该多项式的公因式为 ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式 分解因式时应提取的公因式是 ．
【答案】 /
【知识点】公因式
【分析】本题考查了公因式，方法是：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项
的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的
最低次幂．按照此方法即可找到公因式．
【详解】解：多项式的公因式为： ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式 的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可．
【详解】解：多项式 的公因式是 ，
故答案为： ．
题型05 提公因式法因式分解
例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）因式分解： ．【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解．利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解： ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
（1）用提公因式法分解因式即可；
（2）用提公因式法分解因式即可.
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键．
（1）直接利用提公因式法分解因式即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可；
（3）将 变形为 ，再直接提公因式 进行求解，即可解题．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式．
（3）解：原式
．
题型06 利用提公因式法因式分解求值
例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，
【知识点】已知字母的值，化简求值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可．
【详解】解： ，
当 ， 时，
原式
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知 ， ，则多项式 的值为（ ）
A． B．15 C． D．2
【答案】C
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】由题意利用提取公因式的分解方法把 因式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题，本题的关键是把所求代数式分解因式．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，长宽分别为 、 的长方形周长为16．面积为12，则
的值为（ ）A．193 B． C．384 D．
【答案】B
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出 ， ，然后
将整式因式分解化简整体带入求解即可
【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12，
∴ ， ，
则
．
故选：B．
3．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a、b满足 ， ，
(1)求代数式 值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)28
(2)96
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）先将 变形为 ，然后把已知条件代入计算即可；
（2）先将 变形为 ，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
；
（2）解：∵ ， ，
由（1）得 ，
∴．
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式
【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟
练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键．
【详解】解： ，
故多项式 的公因式是 ，
故选：D．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的
形式，进行解答，即可．
【详解】A、 ，不属于因式分解，不符合题意；
B、 属于因式分解，符合题意；
C、 ，不属于因式分解，不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式 可因式分解为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了因式分解，先得出 ，结合多项式 可因式分解为
，列式 ，即可作答．
【详解】解： ，
∵多项式 可因式分解为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
4．（23-24八年级下·广东清远·期末）已知 ， ，那么代数式 的值为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．70
【答案】D
【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
5．（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式 和 从左到右的变
形，下列说法中（ ）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解
D．①不是因式分解，②是因式分解
【答案】A
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：① ，属于因式分解；
② ，属于因式分解；
所以①和②都是因式分解．
故选：A．二、填空题
6．（2025七年级下·全国·专题练习）因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）直接利用提公因式法求解，即可解题；
（2）直接利用提公因式法求解，即可解题．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
故答案为： ， ．
7．（24-25八年级上·山东威海·期末）若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查因式分解，代数式的知识，解题的关键是先提公因式 ，式子变形为： ，再根
据 ， ，代入进行计算，即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填
序号）
； ；
① ； ② ．
③【答案】 / ④ /
【知识点】判断是否是因式分解、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
①② ②① ③④ ④③
【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因
式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即
可．【详解】解：① 是整式乘法，
② 是整式乘法，
③ 是因式分解，
④ 是因式分解．
故答案为：①②；③④．
9．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式 进行因式分解得到 ，则 的值
为 ．
【答案】13
【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把 运用多项式乘多项式的法则
展开，再与 进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，
因为多项式 进行因式分解得到 ，
所以
那么 ， ，
故 ， ，
所以 ，
故答案为： ．
10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数a、b满足 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键．
将 左边因式分解可得 ，再结合 即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
答案为： ．
三、解答题
11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）用提公因式法分解因式即可；
（2）用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
．
12．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式分解因式即可；
（2）直接利用提公因式分解因式即可；
（3）直接利用提公因式分解因式即可；
（4）直接利用提公因式分解因式即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；（3）解：
；
（4）解：
；
13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，求 的值．
【答案】
【知识点】分母有理化、提公因式法分解因式、已知字母的值，化简求值
【分析】本题主要考查了分母有理化，分解因式，先分母有理化求出 ， ，然后对
进行因式分解，最后代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
，
∴
．
14．（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，则 ，
即 ，∴ ，解得 ．故另一个因式为 ，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，则 ______；
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
【答案】(1)40
(2)另一个因式为 ，k的值为20
【知识点】代入消元法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解．
（1）设另一个因式为 ，可得 ，再进一步解题即可；
（2）设另一个因式为 ，可得 ，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：设另一个因式为 ，
由题意得： ，
即 ，
则有 ，
解得 ，
∴另一个因式为： ， 的值为40．
（2）解：二次三项式 有一个因式是 ，设另一个因式为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴另一个因式为 ，k的值为 ．
15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式
有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，．
解得： ，
∴另一个因式为 ， 的值为 ，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为________，得： =________，
则
．
解得： =________， =________．
另一个因式为________， 的值为________．
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【答案】(1) ； ； ； ； ；
(2)另一个因式为 ， 的值为
【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆
运算是关键．
（1）设另一个因式是 ，则 ，再建立方程组解题即可；
（2）设另一个因式是 ，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、
p的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：设另一个因式为 ，得： ，
则
．
解得： ， ．
另一个因式为 ， 的值为20，
故答案为： ； ； ； ； ； ；
（2）解：二次三项式 有一个因式是 ，设另一个因式是 ，则
，则 ，
解得 ，
∴另一个因式是 ， 的值为 ．
