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单元提升卷 01 集合与常用逻辑用语
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．不能说明存在量词命题“ ”为真命题的例子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将各个选项代入计算可得.
【详解】对于A： 此时 ，符合题意；
对于B： 此时 ，符合题意；
对于C： 此时 ，符合题意；
对于D： 此时 ，不符合题意.
故选：D
2．已知 ， ，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，直接求出集合 中的元素作答.
【详解】因为 ，由 ，得 或 ，
又 ，且 ，即有 且 ，因此 ，
所以 .
故选：A
3．使“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
因为 真包含于 ，所以 是 成立的一个充分不必要条件.
故选：A
4．对于非空实数集 ，记 .设非空实数集合 ，若 时，则
.现给出以下命题：
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学科网（北京）股份有限公司①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有 ；
②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有 ；
③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有 ；
④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数 ，使得对任意的 ，恒有
，
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】根据集合定义得 为不小于集合 中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义
得到新集合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判
断④.
【详解】由已知， 为不小于集合 中最大值的所有数构成的集合.
①因为 ，设集合M和P中最大值分别为m和p，则 ，故有 ，正确；
②设 ，则 ，故 ，错误；
③设 ，则 ，故 ，错误；
④令 ，则对任意的 ， ，故恒有 ，
正确.
故选：B
5．已知函数 ，则下列论述正确的是（ ）
A． 且 ，使
B． ，当 时，有 恒成立
C．使 有意义的必要不充分条件为
D．使 成立的充要条件为
【答案】B
【分析】通过分析函数的定义域，单调性和值域，即可得出结论.
【详解】由题意，
在 中，
对于A，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴若 ，当且仅当 时， ，A错；
对于B，
当 时， 为增函数，而 ，
在 上为增函数，
由复合函数单调性知，当 时，函数 单调递增，B正确；
对于C，
∵ 有意义，∴ ，
而 为 的真子集，
是 的充分不必要条件，C错；
对于D，
令 ，则 ，
故 ，
而 为 的真子集，
故 是 成立的充分不必要条件，D错误.
故选：B.
6．关于x的方程 ，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是 ；（2）方程有二异号实根的充要条件是 ；
（3）方程两根均大于1的充要条件是 .
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】对于（1），举反例 ，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推
出 ， 可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例
，即可判断.
【详解】对于（1），令 满足 ，但 ，方程
无实数解，（1）错；
对于（2），必要性： 方程 ，有一正根和一负根， .
充分性：由 可得 ，所以 及 ,
方程 有一正根和一负根，（2）对；
对于（3），令 ，两根为 ，满足 ，但不符合方程两根均
大于1，（3）错.
故选：B
7．设全集 ，集合 ，M，N都是U的子集，则
图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】B
【分析】由图可得，阴影部分表示集合为： 且 .化简集合M，N后可得答案.
【详解】注意到 或 ， 或 .
又由图可得阴影部分表示集合： 且 ，
则阴影部分集合为： .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B
8．设全集 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先弄清 的含义，再求 ，最后再求补集即可得答案.
【详解】由 ，可得 ，
所以集合 表示的是直线 去掉点 后的所有点的集合，
集合 表示的是坐标系内不在直线 上的点的集合，
所以 .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设A为非空实数集，若 ，都有 ，则称A为封闭集．其中正确
结论的是（ ）
A．集合 为封闭集
B．集合 为封闭集
C．若集合A， 为封闭集，则 为封闭集
1
D．若A为封闭集，则一定有
【答案】BD
【分析】根据集合的并集、元素与集合的关系，由封闭集定义出发，结合子集概念分析元
素与集合的关系，即可分析正误.
【详解】解：对于A，集合 ，当 ， 时， ，
故 不是封闭集，A选项错误；
对于B，集合 ，代表偶数集，
因为任何两个偶数的和、差、积仍然是偶数，
所以集合 是封闭集，B选项正确；
对于C，举反例： ， ，
取 ， ，但 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，虽然集合 为封闭集，但 不一定是封闭集，C选项错误；
对于D，若 为封闭集，则取 得 ，D选项正确；
故选：BD.
10．（多选） ， ，且 ，则 的可能值为
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【分析】根据 ， ，得到 ，分类讨论解决即可.
【详解】由题知
由 ，解得 或
所以 ，
因为 ，所以
当 时， ，满足题意，
当 时， ， ，即 ，或 ，即 ；
故选：BCD
11．下列说法正确的有（ ）
A．命题“若 ，则 ”的否定是“若 ，则 ”
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．命题“ ， ”是假命题，则实数a的取值范围为
D．命题“ ， ”是真命题，则实数m的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的否定及存在量词命题的否定可判断AB，根据全称量词命题
及存在量词命题的真假结合二次函数的性质可判断CD.
【详解】命题“若 ，则 ”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“ ，
则 ，故A不正确；
命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故B正确；
“ ， ”是假命题，则它的否定“ ， ”
是真命题，
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学科网（北京）股份有限公司则当 时， ，不合题意，
当 时，则 ，解得 ，故C正确；
“ ， ”是真命题，则 ，
又 ，
则 ，解得 ，故D正确．
故选：BCD．
12．下列说法正确的是（ ）
A．“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条
件
B．若 是 的必要不充分条件， 是 的充要条件，则 是 的充分不必要条件
C．方程 有唯一解的充要条件是
D． 表示不超过 的最大整数， 表示不小于 的最小整数，则“ ”是“
”的充要条件
【答案】AB
【分析】根据充分条件和必要条件的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件，
故A正确；
对于B，若 是 的必要不充分条件，则 ， ；
若 是 充要条件，则 ， ；
则有 ， ，即 是 的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当 时，方程 可化为 ，也满足唯一解的条件，故C错误；
对于D，依题意，得 ， ，所以“ ” “ ”，即充分性成立；
反之不成立，如 ， ， ，不能推出“ ”，即必要性不成
立，故D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知全集 ，集合 ，且 ，
则实数m的取值范围为__________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先求出 ，由 ，讨论 和 求解即可.
【详解】 ，因为 ，所以
①当 时， ，解得： ，
②当 时， 或 ，
解得： .
故答案为： .
14．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是__________；
若 的子集有 个，则满足条件的所有整数 的和是_________.
【答案】
【分析】由 即可求得 时 的取值范围；根据 的子集个数可确定 中有 个元
素，根据 对称轴位置可确定 ，由此可构造不等式组求得 的范围，进而得
到整数 的所有取值，加和即可得到结果.
【详解】若 ，则 ，解得： ，即 的取值范围为 ；
若 的子集有 个，则 中有 个元素；
的对称轴为 ， ，
若 有 个元素，则 ， ，解得： ；
则实数 的取值范围为 ，则整数 所有可能的取值为 ，
满足条件的所有整数 的和为 .
故答案为： ； .
15．若“ ”是“函数 对一切 恒有意义”的充分
条件，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据对数函数和二次函数性质化简结论可得 恒成立，由已知
在 上恒成立，由此可求a的取值范围.
【详解】函数 对一切 恒有意义，
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学科网（北京）股份有限公司即 在 上恒成立，
即 恒成立．
由“ ”是“函数 对一切 恒有意义”的充分条件，
故 在 上恒成立，
令 ， 为关于b的一次函数，
要使 在 上恒成立，只需 ，
即 ，注意到 ，
解得 ．
所以a的取值范围是 .
故答案为： .
16．命题: ， 的否定为真命题，则实数a的最大值为
__________.
【答案】5
【分析】利用含有量词命题的否定及不等式恒成立可解得a的最大值
【详解】由特称命题的否定可知： ， 的否定为
，且为真命题.
分离参数化简得： 恒成立.
对 ，当且仅当 时取得最小值4，
即 ，∴a的最大值为5
故答案为：5
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）设全集为 ，集合 或 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合 ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）图中阴影部分表示 ，根据交集、补集的定义计算可得；
（2）依题意分 与 两种情况讨论，列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为 ，
或 ，则 ，
所以图中阴影部分表示 .
（2） ， ，且 ，
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
当 时，则 或 解得 .
综上， 的取值范围为 .
18．（12分）已知集合 ， .
(1)用区间表示集合 ；
(2)是否存在实数 ，使得 是 的_____条件.若存在，求出 的取值范围；若不存
在，请说明理由.
请从以下三个条件中选择一个条件补充到上面的横线上并完成相应作答：
①充分必要；②充分不必要；③必要不充分
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）解不等式后可得集合 .
（2）根据条件关系可得对应集合的包含关系，从而可得参数的取值范围.
【详解】（1）由 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）若选择①，即 是 的充要条件，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
若选择②，即 是 的充分不必要条件，
即 是 的真子集，则 且 （两个等号不同时成立），
解得 ，故实数 的取值范围是 ．
若选择③，即 是 的必要不充分条件，即 是 的真子集，
当 时， ，解得 ．
当 时， 且 （两个等号不同时成立），
解得 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
19．（12分）已知命题 ，当命题 为真命题时，实数 的取值集
合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知 有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出 且 ，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答
案.
【详解】（1）因为 为真命题，所以方程 有解，即 ，
所以 ，即 ；
（2）因为 是 的必要不充分条件，所以 且 ，
i）当 时， ，解得 ；
ii）当 时， ，且 等号不会同时取得，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
综上， .
20．（12分）已知关于x的不等式 的解集为S.
(1)当 时，求集合S；
(2)若 且 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解；
（2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
解得： ，
所以不等式的集合为 ；
（2）若 且 ，
则 或 ，解得： 或 ，
所以 的取值范围是 .
21．（12分）已知全集 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)当“ ”是“ ”的必要非充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合 ，再根据
集合的交运算即可求解.
（2）求出 ，根据题意可得 ，再由集合的包含关系即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）当 时， ，
或 或 ，
所以 或 .
（2）由（1）可得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件，
则 ，
显然 ，不成立；
当 时， ，解不等式可得 ，此时 ；
当 时， ，解不等式可得 ，此时 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
实数 的取值范围是 .
22．（12分）设全集是实数集R，集合 ， .
(1)当 时，求 和 ；
(2)若 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据函数定义域得 ，解出即可得到集合 ，解出 中的指数不等
式即可得到集合 ；
（2）得到 ，由题意得到 ，分 和 讨论即可.
【详解】（1）由 得 ，
即集合 ；
由 ，得 ， ，即集合 .
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学科网（北京）股份有限公司故 ， .
（2） 或
, ，
①若 ，则 ；
②若 ，则 ，
， ，
， ，
即 ，因此 ， .
综上所述，实数m的取值范围是 .
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