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专题4.34 几何图形初步（挑战综合（压轴）题分类专题)
（专项练习）
【类型一】几何图形
【类型①】几何图形➼➻展开图★✭相关计算
1．（2021·安徽淮南·模拟预测）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的
碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
碟子的个数 碟子的高度（单位：cm）
1 2
2 2+1.5
3 2+3
4 2+4.5
… …
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐
地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
2．（2020·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）如图所示的是一个几何体的表面展开
图．（1）该几何体的名称是________．
（2）根据图中所给信息，求该几何体的体积（结果保留 ）．
【类型②】几何图形➼➻归纳与类比➼➻点、棱、面关系
3．（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、
自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过
研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在
一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数
4 6 8
V
棱数E 6 12面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：
____________________________．
4．（2018·四川凉山·中考真题）观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 6 10 12
棱数 9 12
面数 5 8
观察上表中的结果，你能发现 、 、 之间有什么关系吗？请写出关系式.
【类型二】直线、射线、线段【类型①】直线、射线、线段➼➻作图题★✭最值
5．（2020·浙江·模拟预测）如图，已知直线 和直线外三点 、 、 ，按下列要求
画图：
（1）画射线 ；连接 ；延长 至 ，使得 ；（不写做法不写结论）
（2）在直线 上确定点 ，使得 最小，这样做的理由是
____________________．
（3）在（2）的条件下，若 ，求 长．
6．（2019·江苏扬州·中考模拟）按要求作图，并保留作图痕迹．
如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺作线段AD，使AD=a+2b﹣c．
【类型②】直线、射线、线段➼➻线段中点★✭线段计算
7．（2018·湖南邵阳·中考模拟）如图，点 在线段 上，点 分别是 的
中点．
（1）若 ，求线段MN 的长；（2）若 为线段 上任一点，满足 ，其它条件不变，你能求出
的长度吗？请说明理由．
（3）若 在线段 的延长线上，且满足 分别为 AC、BC的中
点，你能求出 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
8．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知 是线段 上的两个点，
点 分别为 的中点．
（1）若 ， ，求 的长和 的距离；
（2）如果 ， ，用含 的式子表示 的长．【类型③】直线、射线、线段➼➻线段计算➼➻动点问题
9．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点
左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是： ；点B表示的数是： ．
（2）A，B两点间的距离是 个单位，线段AB中点表示的数是 ．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电
子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C
处相遇，求点C表示的数．
10．（2019·江西萍乡·一模）线段AB=60厘米．
（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段
BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求：
①几分钟后，P,Q两点相遇？
②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？
（2）如图2，AO=PO=8厘米， ．现将P点绕着点O以20度/分的速度顺
时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P,Q两点也能相遇，
求点Q的速度．【类型三】角
【类型①】角➼➻方位角★✭作图题
11．（2016·四川达州·一模）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母：（直接在图
1中画图）
①以已知线段AB（图1）为直径画半圆O；
②在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接AC、BC；
③过点O画OD∥BC交半圆O于点D．
（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
已知：∠AOB（图2）．
求作：∠AOB的平分线．12．（2020·全国·七年级单元测试）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的
方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OE是射线OB的反向延长线.
(1) 求射线OC的方向角；
(2) 求∠COE的度数；
(3) 若射线OD平分∠COE，求∠AOD的度数.【类型②】角➼➻角平分线★✭角的运算
13．（2019·山西太原·一模）综合与探究：如图，射线 在 上方，射线 在
下方， ， （ ， ）， 与 分别是
和 的平分线．
操作发现：（1）当 ， 时，求 的度数；
（2）继续探究，当 固定不变，把 扩大为 时，求 的度数；
探索发现：（3）在完成（1）（2）时，小亮发现 与 之间存在一个固定的数
量关系．你认为小亮说的对吗？请说明理由．
14．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期末）把一副三角板的直角顶
点O重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；
（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？
（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．【类型③】角➼➻余角和补角★✭角的旋转★✭角的计算
15．（2020·浙江杭州·模拟预测）按要求完成如下两个小题．
（1）已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求出这个角．
（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点， ，OF平分 ，
，求 的度数．16．（2020·浙江·模拟预测）如图，射线 、 把 分成三个角，且度比是
，射线 平分 ，射线 平分 ，且
．
（1）求 的度数；
（2）求 的补角的度数．
【类型④】角➼➻角平分线★✭角的旋转★✭角的计算
17．（2020·湖北随州·模拟预测）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——
问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平
分线，则∠AOC的度数为 ；.
【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想
∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB
绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每
秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止
运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？18．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知 是直线 上一点，将一个直角三角尺
按图①方式放置，直角边 在直线 上，另一条直角边 与 的夹角 ，
射线 在 内部．
（1）如图②，将三角尺 绕着点 顺时针旋转，当 平分 时，试判断
与 的大小关系，并说明理由．
（2）若 ，三角尺 绕点 顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间
为 ，则当 为何值时 ？
（3）在（2）的条件下，在三角尺 绕点 顺时针旋转一周的过程中，
的值能否为定值？若能，求 的取值范围．【类型四】线段和角的计算的数学思想
【类型①】线段和角的计算➼➻方程思想
19．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数， ， ．
(1) 点A表示的数是______；
(2) 若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，
点C恰好是BP的中点；
(3) 若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为
M，当 时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
20．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，在数轴上有 两点，点A在点B的
左侧，已知点B对应的数为3，点A对应的数为a．
（1）若 ，则线段 的长为________（直接写出结果）．
（2）若点M为线段 的中点，则点M表示的数_______（用含a的代数式表示，直
接写出结果）
（3）若点C在线段 之间，且 ，求点C表示的数（用含a的代数式表
示）
【类型②】线段和角的计算➼➻分类讨论思想21．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分
别是a，b，其中a＝12．
(1) 在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作
法，保留作图痕迹）
(2) 若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．
(3) 在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接
写出MN的长．
22．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，在长方形ABCD中， ， ，
动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→B→C运动，到点C停止；同时动点Q
从点B出发，以每秒2cm的速度在B、C间作往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随
之停止运动．设点P运动的时间是x（秒）， 的面积是 ．
(1) 点Q共运动______秒．
(2) 当点P沿折线A→B→C运动时，用含x的代数式表示线段 的长．
(3) 用含x的代数式表示S．
(4) 当P、Q两点相遇时，直接写出x的值．【类型③】线段和角的计算➼➻方程思想★✭分类讨论思想
23．（2022·全国·七年级专题练习）已知线段 ，点 在线段 上，且
．
(1) 求线段 ， 的长；
(2) 点 是线段 上的动点且不与点 ， ， 重合，线段 的中点为 ，设
①请用含有 的代数式表示线段 ， 的长；
②若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称 ， ， 三点
为“共谐点”，请直接写出使得 ， ， 三点为“共谐点”的 的值．
24．（2021·全国·七年级专题练习）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线
OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射
线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过
t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为 ；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速
度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．参考答案
1．（1）1.5x+0.5；（2）叠成一摞后的高度为23cm．【分析】（1）由表中数据可得出碟子个数与碟子高度的规律，可得碟子数为x时，碟
子的高度为2+1.5（x﹣1）；
（2）根据三视图得出碟子的总数，代入（1）即可得出答案．
解：（1）∵（1-1）×1.5=0，（2-1）×1.5=1.5，（3-1）×1.5=3，……，
∴当桌子上放有x个碟子时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）＝1.5x+0.5．
（2）由三视图可知共有15个碟子，
∴叠成一摞的高度＝1.5×15+0.5＝23（cm），
答：叠成一摞后的高度为23cm．
【点拨】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是
具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关
系式是此题的关键．
2．（1）圆柱；（2）24 .
【分析】（1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论；
（2）依据圆柱的体积计算公式，即可得到该几何体的体积．
解：（1）该几何体的名称是圆柱，
故答案为圆柱．
（2）该几何体的体积 ．
【点拨】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何
体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关
键．
3．（1）表格详见分析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）从特殊到一般探究规律即可．
解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：
．
【点拨】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探
究规律的方法，属于中考常考题型．
4．8，15，18，6，7；
分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与
n棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 12
棱数b 9 12 15 18
面数c 5 6 7 8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共
有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；
故a，b，c之间的关系：a+c-b=2．
【点拨】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、
棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱
柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．
5．（1）见分析；（2）图见分析，理由是：两点之间线段最短；（3）7
【分析】（1）以A为端点，画射线AB，连接BC，以点B为端点，画射线BC，以C
为圆心BC为半径画弧，交射线BC于点D，使 ；
（2）连接AC交直线l于点E，此时 ，根据两点之间线段最短得出结果；
（3）由 求出结果．解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
此时 ，
理由是：两点之间线段最短；
（3） ．
【点拨】本题考查线段、射线和直线，解题的关键是掌握线段、射线和直线的性质和
作法，以及线段的计算方法．
6．见分析.
【分析】首先画一条射线，再依次截取AB=a，BC=CD=b，再截取DE=c，即可得到
AE.
解：如图所示：AE即为所求．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一
般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
7．（1）7.5；（2） a，理由见分析；（3）能，MN= b，画图和理由见分析
【分析】（1）据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再
利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN即可得出答案．
（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC即可得出答案．
解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM= AC=4.5cm，
CN= BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．
所以线段MN的长为7.5cm．
（2）MN的长度等于 a，
根据图形和题意可得：MN=MC+CN= AC+ BC= （AC+BC）= a；
（3）MN的长度等于 b，
根据图形和题意可得：
MN=MC-NC= AC- BC= （AC-BC）= b．
【点拨】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等
的线段，注意根据题意画出图形也是关键．
8．（1）10，11；（2）
【分析】（1）利用 即可求出 的长，进一步求取 的距离即可；
（2）根据（1）中的式子 、 将 ，
代入进一步求解即可.
解：（1）∵ ， ，
∴
∵点 分别为 的中点，
∴AM= AC，BN= BD，∵
∴ ，
∴ cm；
（2）由（1）可知 ，
∵ ， ，
∴
∴ .
【点拨】本题主要考查了线段中点的相关计算，熟练掌握相关概念是解题关键.
9．（1）-20，100．（2）120，40；（3）28．
【分析】（1）根据点的位置确定符号和值即可；
（2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数；
（3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数．
解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单
位，
∴点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100．
故答案为：-20，100．
（2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120；
线段AB中点到A的距离是120÷2=60，
线段AB中点表示的数为-20+60=40；
故答案为：120，40；
（3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒）
点C距A的距离为12×4=48，
点C表示的数为-20+48=28．
【点拨】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，
会求两点间的距离．
10．(1)①6;②4或8;(2)22(厘米/分)
【分析】(1)①算出P,Q总速度,利用总路程除以总速度即可算出相遇所花费的时间;
②先算出两点相距20厘米所需要花费的时间,再在相遇的前后分别讨论出相距20厘米的时间即可．
(2)先算出点P在AB线段上所需要的时间,此时AP为18厘米,则PB为44厘米,再利用
路程÷时间算出速度即可．
解：(1)①60÷(4+6)=60÷10=6(分)．
答:6分钟后,P,Q两点相遇．
②20÷(4+6)=20÷10=2(分)．
6－2=4(分),6+2=8(分)
答:4分钟或8分钟后,P,Q两点相距20厘米．
(2)40÷20=2(分),即2分钟后P点在AB直线上．
360÷20=18(分),即P点绕一圈需要花费18分钟．
由以上可知18分钟后运动早已停止,所以P,Q若要相遇只能在2分钟后．
当P点在AB上时,AP=16厘米．PB=60－16=44厘米．
44÷2=22(厘米/分)．
答:点Q的速度为:22(厘米/分)．
【点拨】本题考查线段上的动点问题,关键在于熟用速度公式,分类讨论各种情况．
11．作图见分析.
试题分析：（1）找出AB的中点，以其为圆心0.5AB长为半径画圆即可；在半圆O上
取不同于点A、B的一点C，连接线段AC、BC；利用同位角相等，两直线平行即可作出
BC的平行线OD；
（2）利用基本作图中的“作一个角等于已知角”即可．
解：（1）如图：
（2）说明：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于两点C、D；
②分别以点C、D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线OE．
考点：作图—基本作图．
12．(1)射线OC的方向是北偏东 °；(2)∠COE＝ °；(3)∠AOD＝ °.【分析】（1）先求出∠AOC=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOC=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COE的度数；
（3）根据射线OD平分∠COE，即可求出∠COD=35°再利用∠AOC=55°求出答案即可．
解：(1)∵射线OA的方向是北偏东 °，射线OB的方向是北偏西 °
即∠NOA＝ °，∠NOB＝ °，
∴∠AOB＝∠NOA＋∠NOB＝ °，
又∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝ °，
∴∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝ °+ ° °，
∴射线OC的方向是北偏东 °.
(2)∵∠AOB＝ °，∠AOB＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝ °+ °＝ °，
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOE＝ °，
∴∠COE＝ °－ °＝ °，
(3)∵∠COE＝ °，OD平分∠COE，
∴∠COD＝ °，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝ °+ °＝ °.
【点拨】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将
正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成
北（南）偏东（西）多少度．
13．（1）10°；（2）30°；（3）小亮的说法正确，见详解
【分析】（1）先求出 ，再根据角平分线的定义求出∠BOP和∠BOQ的度
数，即可得到 的度数；
（2）按照（1）的方法即可求出 的度数；
（3）先求出 ，再求得
，即可得到结论.
解：（1）当 时， .
∴∵ 与 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴
（2）当 时，
同理可得： ，
∴
∴
（3）小亮的说法正确
由题可知 ， ，
∴
∵ 与 分别是 和 的平分线，
即小亮的说法正确
【点拨】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的定义，能够利用和差关系
运算求解是关键．
14．（1）180°；（2）180°；（3）60°．
试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结
论；
（2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，
∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；
（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣
∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论．
解：（1）∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=45°．
∵∠AOC+∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．故答案为180°；
（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；
（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOC．
∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），
∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），
∴∠BOC=60°．
考点：余角和补角；角平分线的定义．
15．（1）60°；（2）38°
【分析】（1）设这个角为x度，表示出这个角的余角是（90-x）度，补角是（180-x）
度，然后列出方程求解即可；
（2）根据垂直的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出
∠AOF，然后求出∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．
解：（1）设这个角为x度，则这个角的余角是（90-x）度，补角是（180-x）度，
由题意得：90-x= （180-x），
解得x=60，
所以这个角是60°；
（2）∵CO⊥OE，
∴∠COE=90°，
又∵∠COF=26°，
∠EOF=90°-26°=64°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=64°，
∴∠AOC=64°-26°=38°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=38°．
【点拨】本题考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，是基础题，（1）设出未知
数列出方程是解题的关键，（2）准确识图，找出各角度之间的关系是解题的关键．
16．（1） ；（2） ．
【分析】（1）设 ，则 ， ．根据题意可知， ， ．即可
列出 ，求出x，即可求出 ．
（2）根据（1）和 即可求出 的大小．
解：（1）设 ，则 ， ．
根据图可知， ，
∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，
∴ ， ．
∴ ，即 ．
解得 ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∴ 的补角大小为 ．
【点拨】本题考查角平分线的性质、补角的定义以及解一元一次方程．根据题意列出
角的等量关系式是解答本题的关键．
17．（1）85°；（2）∠AOC＝ ；理由见分析；（3）经过 ， ，4秒时，其
中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【分析】（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后
根据角平分线的性质算出∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.
（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然
后根据角平分线的性质用m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问
题.
（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、
∠BOA表示出来，然后分四类情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.
解：（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝ +m＝
（3）设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝ 之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x＝4（舍）；
1
②当x在 和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x＝ ；
2
③当x在2和 之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x＝ ；
3
④当x在 和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x＝4.
4
答：经过 ， ，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练
掌握角平分线的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.
18．（1） = ；（2）t=15；（3）能是定值，12
