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第 03 讲 一次函数的图象
课程标准 学习目标
1．理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤；
①掌握作函数图象的一般步骤 2．掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问
②掌握一次函数的图象与性质 题；
3．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．
知识点01 正比例函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知一点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）；4）过象限、增减性
y=kx 过原点（0,0）的一条直线
k值
大致图象
经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限
增减性 随 的增大而增大 随 的增大而减小
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）正比例函数 中， 的值随着 值的增大而增大，则点 在
第
象限．
知识点02 一次函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（ ，0）；
4）过象限、增减性
（过一、二象限） （过三、四象限） （过原点）
（过一、三象限）
随 的增大而增大
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
（过二、四象限）
随 的增大而减小
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练2】
1．（2024·山东聊城·三模）关于一次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点
C．当 时， D．函数值y随自变量x的增大而减小
2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数 与 轴、 轴分别相交于点 和点 ．
(1)求点 和点 的坐标；
(2)点 在 轴上，若 的面积为6，求点 的坐标．
知识点03 一次函数的平移
“上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化.
【即学即练3】
1.（2023春·云南临沧·八年级统考期末）将一次函数 的图像先向左平移 个单位长度，再向下平
移 个单位长度后得到的函数解析式为 ．
2.（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线 沿y轴向上平移a（ ）个单位
长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若 的面积为2，则a的值为 ．
题型01 正比例函数的图象和性质
【典例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数 ，下列结论正确的是
（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大C．当 时， D．图象经过第二、四象限
【变式1】（23-24八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有
【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D． 随 的增大而减小
【变式3】（23-24八年级下·广东·阶段练习）关于正比例函数 ，下列说法中，错误的是（ ）
A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线
C． 随 的增大而增大 D．点 在其图象上
题型02 画一次函数的图象
【典例1】（23-24八年级上·河南漯河·期末）已知函数 ．
(1)填表，并画出这个函数的图象
… …
x 0 _________
… …
… …
______ 0
… …
(2)根据函数 的性质或图象，直接写出x取何值时， ．【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）已知一次函数 ，请回答下列问题：
(1)请用描点法画出它的图象：
解：列表：
0
4 0
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到
的图象；表格中 的值为___________；请在坐标系中画出 的图象；
(2)若一次函数 的图象与一次函数 图象关于 轴对称，请画出一次函数 的图象，
并求出它的解析式；
(3)若平行于 轴的直线分别交 的图象， 的图象于 两点，已知 的长为4，则点
的横坐标是___________．
【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知直线 的表达式为 ，点A，B分别在x轴、y
轴上．(1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线 的图象；
(2)将直线 向上平移4个单位得到直线 ，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线
的表达式，并在下图中画出直线 的图象；
(3)若点P到x轴的距离为4，且在直线 上，求 的面积．
题型03 一次函数的图象和性质
【典例1】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数 ，下列结论成立的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限
【变式1】（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为
C．图象不经过第二象限
D．若两点 在该函数图象上，则
【变式2】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数 的图像与性质，下列说法中
不正确的是 （ ）
A．y随x的增大而增大
B．当 时，该图像与函数 的图像是两条平行线
C．若图像不经过第四象限，则
D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限
【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数 的判断，正确的是
（ ）
A．当 时，该函数图象经过一、三、四象限B．点 ，点 在该函数的图象上，若 ，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于 的方程 的解是 ，则 的图象恒过点
题型04 已知函数经过的象限求参数范围
【典例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知一次函数 的图象经过第一、
三、四象限，则m的取值范围是 ．
【变式1】（23-24八年级下·河南信阳·期末）若一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则b
的值可以是 ．（写一个即可）
【变式2】（2024·福建南平·模拟预测）已知一次函数 的图象经过第一、二、三象限，则 取
值范围为 ．
【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数 的图象不经过第三象限，则
m的取值范围是 ．
题型05 根据一次函数增减性求参数
【典例1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）若一次函数 中y随x的增大而减小，写出一个符合
条件的k的值 ．
【变式1】（23-24八年级下·云南大理·期末）已知函数 的 值随 的增大而减小，则 的取值范
围是 ．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）若一次函数 的图象经过点 和点
，当 时， ，则k的取值范围是 ．
【变式3】（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数 ， 为常数，当 时，该一次函
数的最大值是5，则k的值为 ．
题型06 比较一次函数值的大小
【典例1】（23-24九年级上·全国·开学考试）一次函数 的图象上有两点 和 ，且
，则 与 的大小关系为 ．
【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点 ， ， ， 在直线 上，且
，则 ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知点 在直线 上，且直线经过
第一、二、四象限，当 时， 与 的大小关系为 ．【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点 ， 是一次函数 图象上两点．
请用“>”“=”或“<”填空．
(1)若 ， ， ，则 ______ ；
(2)若 ， ，则 ______ ；
(3)若 ， ，则k______0．
题型07 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【典例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数 的图象与y轴的交点坐标为 ．
【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数 与 轴的交点坐标为 ．
【变式2】（22-23八年级下·云南楚雄·期末）已知一次函数 与坐标轴围成的三角形面积为 ，则
的值为 ．
题型08 一次函数图象的平移问题
【典例1】（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解
析式为 ．
【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，有一条直线 ，若把 轴
向上平移5个单位长度，平移后直线的表达式变为 ．
【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数 的图象先向左平移4个单位长度，
再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【变式3】（24-25九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系 中，将直线 向下平移1
个单位长度，得到直线 ，则 ．
题型09 两个一次函数图象共存问题
【典例1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数 与 在同
一坐标系内图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与
的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 和 （k为常数，
）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数 和一次函数 在同一个直
角坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
题型10 一次函数中的规律探究问题
【典例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，……都在x轴
上，点 ， ， ……都在同一条直线上， ， ， ， ， ……都是
等腰直角三角形，且 ，则点 的坐标是 ．
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点 在直线 上，点
在 轴上， 是等腰直角三角形． ，
如果点 ，那么 的纵坐标是 ．【变式2】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于
点 ，以 为一边作正方形 ，使得点 在 轴正半轴上，延长 交直线于点 ，按同样方法
依次作正方形 、正方形 正方形 ，使得点 均在直线 上，点
在 轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）一次函数 的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）关于一次函数 的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数
C．图象与x轴的交点坐标为
D．函数值随自变量的增大而减小
3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数 的图像经过三个点 、 、
，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
5．（24-25九年级上·重庆·开学考试）下列图象中，可以表示一次函数 与正比例函数
（k，b为常数，且 ）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）已知点 均在一次函数 的图象上，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过二、三、四象限 B．点 在第二象限
C． D．与x轴的交点坐标为(0,1)
二、填空题
7．（23-24八年级上·福建三明·期中）一次函数 的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是
．
8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）将直线 向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点
坐标为 ．
9．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
（1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有
；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ．
10．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点
在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．11．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线
与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有 个整点，三角形的边上有 个整点．若直
线 与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有且仅有6个整点，则 的取值范围是 ．
12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 上，过点
作 ，交 轴于点 ；过点 作 轴，交直线于 ；过点 作 ，交 轴于点
；过点 作 轴，交直线 于点 ； ，按此作法进行下去，则点 的坐标为 ．
三、解答题
13．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数 ．
(1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围；
(2)若函数图象平行于直线 ，求这个函数的表达式．
14．（23-24八年级下·全国·期末）分别画出函数 和 的图象，再根据图象，回答下列问
题：
（1）两个图象各经过哪些象限？
（2）判断点 、 是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什
么？15．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知一次函数 ，请解答下列问题：
(1) 为何值时，该函数的图象与直线 平行？
(2) 为何值时， 随 增大而增大？
(3) 为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？
16．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数 经过点A，点A在第四象限，过点A作
轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且 的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使 的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数 上存在一点M，使得 若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由
17．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ；
(3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
18．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）请根据函数的学习路径，对函数 的图象与性质进行探
究，并解决相关问题．x 0 1 2 3 4 5 6
y 5 m 1 1 3 n
(1)表格中： ______， ______．
(2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）．
(3)观察图象，回答问题：
①当x_____时，y随x的增大而减小；
②该函数的最小值为______；
③已知直线 过点 和 ，直接写出当 的x取值范围是______．
