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第 02 讲 一次函数与正比例函数
课程标准 学习目标
1．掌握正比例函数的概念；
①掌握正比例函数的概念
2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的
②掌握一次函数的概念
关系式；
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为： ；自变量的次数为1；常
数项 可以为任意实数．一般地，形如 （ ， 是常数）的函数，叫做一次函数．根据定义
作答即可．
【详解】解：y是x的一次函数的有：① ，② ，共2个，
故选：B．
2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知 是 关于 的一次函数，则一次函数解析
式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 （ ， 为常数）的函数为一次函数．
根据定义得： 且 ，求出 的值即可．
【详解】解：由已知可得 且
解得 且
∴ ．
故一次函数解析为：
故答案为： ．
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，注意把握正比例函数的概念是解题关键．根据正比例函数的
定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如 （k为常数，且 ）的函数，那么y
就叫做x的正比例函数逐项判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，故本选项错误；
B、 是正比例函数，故本选项正确；
C、 自变量的次数是二次，故本选项错误；D、 自变量的次数是不是1，不是正比例函数，故本选项错误；
故选：B．
2．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数 的图象经过点 ．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知函数值求自变量．
（1）将点 代入正比例函数 ，求出 ，即可得到正比例函数的解析式；
（2）将 代入正比例函数 ，即可求出x的值．
【详解】（1）解： 正比例函数 的图象经过点 ，
，
，
即正比例函数的解析式 ；
（2）解：当 时， ，
∴ ．
题型01 正比例函数的定义
【典例1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1） ；（2） ；（3） ；
（4） 中，是正比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是 ，此题可以根据正比例的
定义进行解答．
【详解】解：（1） 是正比例函数，故正确；
（2） 是一次函数，故错误；（3） 是正比例函数，故正确；
（4） 的次数为二，不是一次函数，故错误；
故选：C．
【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数 的定
义条件是：k为常数且 ，自变量次数为1．根据正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，即可求解．
【详解】解：A．该函数属于一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．该函数的次数是 ，不是1，因此该函数不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．该函数中自变量的次数是2，因此不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．该函数符合正比例函数的定义，是正比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列函数中，表示 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，形如 （ 是常数， ）的函数叫做正比例函数．根
据正比例函数 的定义条件： 是常数且 ，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【详解】解：A、 是一次函数，不是正比例函数，故本选项不合题意；
B、 不是表示 是 的正比例函数，故本选项不合题意；
C、 不是表示 是 的正比例函数，故本选项不合题意；
D、 符合正比例函数的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中y是x的正比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如 ，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可．
【详解】解： 是正比例函数；
当 时， 是正比例函数；
是一次函数；
不是正比例函数，
不是正比例函数．
故是正比例函数的有①③，共2个，
故选：B．
题型02 一次函数的识别
【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如y=kx+b(k≠0)的函数，熟练掌握定义是解题的关键．根据一
次函数的定义求解即可．
【详解】解：① ，当 时，不是一次函数；
② 是一次函数；
③ 不是一次函数；
④ 是一次函数；
⑤ 不是一次函数；
所以是一次函数的有2个．
故选：B．
【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一般地，形如 （ ，k、b是常
数）的函数，叫做一次函数解答．【详解】解：A、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意；
B、是一次函数，符合题意；
C、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意；
D、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：① ；② ；③ ；④
．其中是一次函数的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如 （ ， 为常数）的
函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数，
∴一次函数有 个，
故选： ．
【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：① 是一次函数；
② 是一次函数；
③ 不是一次函数；
④ 是一次函数；
⑤ 不是一次函数．
故选：B
题型03 根据一次函数的定义求参数
【典例3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知函数 是关于x的一次函数，则
．
【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义得出 且 ，即可得出m的值．
【详解】解：∵函数 是关于x的一次函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：
【变式1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知 是y关于x的一次函数，则
．
【答案】
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 为常数）的函数为一次函数．
根据定义得： 且 ，求出m的值即可．
【详解】解：∵ 是y关于x的一次函数
∴ 且
解得 且
∴ ．
故答案为：
【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若 是关于x的一次函数，则实数
．
【答案】2
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的概念，形如 ，其中k，b是常数的函数是一次函数的一般形
式；由概念知， ，且 ，求解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ；
故答案为：2．
【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知 是一次函数，则 的值是
【答案】
【知识点】根据一次函数的定义求参数、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数 的定义条件是： 、 为常数，
，自变量次数为 ．首先根据一次函数定义确定 的值，再代入代数式 ，求值即可．
【详解】解：由题意得： 且 ，解得： ，
．
题型04 求一次函数自变量或函数值
【典例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线 经过点 ，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，图象上的点的坐标满足函数解析式．把
点代入 ，即可求得 的值．
【详解】解：由题意得：
解得：
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·广东·阶段练习）已知一次函数 的图象经过点 ，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标适合一次函数解析
式是解题的关键．本题直接把点 代入一次函数 ，即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图像经过点 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）当 时，y与x的函数解析式为 ，则y的
范围是 ．
【答案】 /
【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值
【分析】代入 及 ，求出 值，进而可得出 的范围．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征
以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ”是解题的关键．
【详解】解：当 时， ；
当 时， ，当 时， 的范围是 ．
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数 ．
(1)求当 时，函数y的值；
(2)求当 时，自变量x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解
题的关键．
（1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解；
（2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：当 时， ；
（2）解：当 时， ，
解得： ．
题型05 列一次函数解析式并求值
【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10
(2)P（7，3）
【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x
的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；
（2）把S=12代入函数解析式即可．
【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，
∴y=10-x，
∴OA=8，P（x，10-x）
∴S= ×8(10-x)=-4x+40．
又∵x>0，且10-x>0，
∴0<x<10．
（2）当S=12时，即12=40-4x，
解得x=7，∴y=10-7=3，
∴S=12时，P点坐标（7，3）．
【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算．
【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表
示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【答案】（1） ，y是x的一次函数；（2）
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为： （km），即 ；
当火车到达甲地时，即
∴ ，即火车行驶1.5h到达甲地
∴
y是x的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得： ．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【变式2】如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以 的速度向丙地行驶．
设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ， 是 的一次函数；（2）140
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km
∴y=100+80x
∴y是x的一次函数；（2）当 时，得：y=100+80×0.5=140．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，
某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，
多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本
笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和 本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
元，选择第二种方案购买所需费用为 元．
(1)请分别写出 ， 与x之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为
优惠．
【答案】(1) 与x之间的关系式为 ， 与x之间的关系式为
(2)选择方案②更为优惠
【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可；
（2）将 分别代入 、 求出结果比较大小即可．
【详解】（1）解：方案①： ，
方案②： ，
与x之间的关系式为 ， 与x之间的关系式为 ；
（2）当 时， ； .
，
选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键．
题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式
【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把 代入（1）所求解析式中进行求解即可．【详解】（1）解：设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点 在这个函数的图象上，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点 在（1）中函数的图象上，求a的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关
键；
（1）根据题意设设 ，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把点 代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
当 时，
，
解得： ，
与x的函数关系式为 ，
即 ；
（2）把 代入 得 ，
∴ ．
【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与 成正比例，当 时 ；
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当 时，求x的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相
关知识是解题的关键
（1）设解析式为 ，把 ， 代入，可求 ，进而可得解析式；
（2）将 代入（1）的关系式，计算求解即可．
【详解】（1）解：设解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴解析式为 ；
（2）解：将 代入得： ，
解得 ．
∴x的值为 ．
【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点 在这个函数的图象上，求a的值．
(3)试判断点 是否在此函数图像上，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点 不在此函数的图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，
熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．
（1）设 ，将x、y值代入求出k值即可求解；
（2）将点 代入（1）中函数关系式中求解即可；（3）将 代入（1）中函数关系式中求解判断即可．
【详解】（1）根据题意，设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，即 ，
∴y与x的函数关系式为 ；
（2）将点 代入 得： ，
解得： ；
（3）当 时， ，
则点 不在此函数的图象上．
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为 ，根据表达式特点对选项进
行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．
【详解】解：A、 ，是正比例函数，符合题意；
B、 ，是反比例函数，不合题意；
C、 ，是二次函数，不合题意；
D、 ，是一次函数，不合题意；
故选：A．
2．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列各点中，在函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析
式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将各选项中的点的坐标横坐标分别代入 ，
根据图象上点的坐标性质即可得出答案．
【详解】A．当 时， ，点 在图象上，故此选项符合题意；
B．当 时， ，点 不在图象上，故此选项不符合题意；
C．当 时， ，点 不在图象上，故此选项不符合题意；
D．当 时， ，点 不在图象上，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，
其中 是 的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行
判断作答即可．
【详解】解：① ，是一次函数，正确，故符合要求；
② ，是一次函数，正确，故符合要求；
③ ，不是一次函数，错误，故不符合要求；
④ ，不是一次函数，错误，故不符合要求；
综上可知， 是 的一次函数有2个．
故选：B．
4．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点 ， 都在函数 的图象上，下
列对于a与b的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点坐标的求解及整式的化简，熟练掌握一次函数点的求法及整式
的计算法则是解决本题的关键．根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到 的关系式即可得解．
【详解】解：将点 代入 得：，
解得： ，
则 即 ，
故选：A．
5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点 ，
满足 ，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线 上存在的“姐妹点” ．
直线 上的“姐妹点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．(2,−1)
【答案】D
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将姐妹点 代入解析式即
可求解；
【详解】解：设梦幻点
∵
∴ ，
点 是直线 上的“姐妹点”，
，
，
点 ；
故答案为：D．
二、填空题
6．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）函数 中，当x=1时， ．
【答案】4
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查求一次函数的值，将已知的自变量代入函数解析式即可求得答案．
【详解】解：当x=1时， ，
故答案为：4．
7．（23-24八年级上·广西百色·期中）已知一次函数 ，则 ．
【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，由一次函数的定义可知： 且 ，从而可求得k的
值即可
【详解】解：根据题意得：
且 ，
解得： ，
故答案为∶ ．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）无论 取何值，直线 （ 为常数， ）恒过一定点，
则该定点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．将一次函数解
析式化简为 ，从而可得当 时， 的取值与 值无关，进而求解．
【详解】解： ，令 ，则 ，此时
直线 （ 为常数， ）所过的定点坐标为 ．
故答案为： ．
9．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出 的
值，即可求出结果．
【详解】解：将点 代入，
得到： ，
即： ，
两边乘2得： ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点 在直线 的图象上，它们的横
坐标分别为 ， ， ， ， ， ，分别过这些点作 轴、 轴的平行线，则图中阴影部分的面积之
和为 ．【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数的性质，把 代入 ，求出对应的纵坐标，即
可求出每个三角形的面积，进而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：把 代入 得，
，
∴每个三角形的面积为 ，
∴图中阴影部分的面积之和为 ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数，是
否为 的正比例函数．
①等边三角形的周长 与边长 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量 （升）与已行驶的
距离 （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步
价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用
（元）与乘车距离 （千米）（ ）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为 ，底面是正方形，求这个长方体的体积 （ ）与底面边长 （ ）之间
的关系．
【答案】见解析
【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关
键．根据三角形周长公式表示出 与 之间的关系式即可；②根据余油量 耗油量 原油量表示出 与 之
间的关系式即可；③根据乘车费 起步价 燃油附加费 加收的乘车费表示出 与 之间的关系式即可；④
根据长方体的体积 底面积 高表示出 与 之间的关系式即可．
【详解】解：① ，是一次函数，也是正比例函数．
② ，是一次函数，不是正比例函数．
③ 是一次函数，不是正比例函数．
④ ，既不是一次函数，也不是正比例函数．
12．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)求当 时的函数值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】函数解析式、正比例函数的定义、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查的是函数关系式，
（1）设 与 的函数关系式为 ，再把当 时， 代入求出 的值即可；
（2）把 代入（1）中的函数关系式，求出 的值即可；
掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
（2）由（1）知， 与 的函数关系式为 ，
∴当 时， ．
∴当 时的函数值为 ．
13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知 .
(1)当m，n为何值时， 是 的一次函数？(2)当m，n为何值时， 是 的正比例函数？
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】正比例函数的定义
【详解】解：（1） 是 的一次函数，
且 ， 为任意实数，解得 .
（2） 是 的正比例函数，
且 ， ，
解得 ，
14．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知 与 成正比例，且 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)判断点 是否是上述函数图像上的点，说明理由．
【答案】(1)
(2)在函数图像上，理由见解析
【知识点】正比例函数的定义
【分析】（1）设正比例函数的解析式为 ，再把 时， 代入求出k的值，即可得出
y关于x的函数表达式；
（2）把点 代入函数解析式进行检验即可．
【详解】（1） 与 成正比例，
∴设正比例函数的解析式为 ，
时 ，
，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）点 在函数图像上．
由（1）知y与x的解析式为 ，
∴当 时， ，
∴点 在函数图像上．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的概念，及判断一个点是否在函数图像上．正比例函数的标准形式为
．判断一个点是否在函数图像上，只要将这个点的坐标代入函数解析式中，看是否满足函数解析式即可．熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（23-24八年级上·安徽池州·期中）在平面直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：
如果 ，那么我们称点 为点 的“关联点”，例如：点 的“关联点”为 ，点
的“关联点”为点 ．
(1)点 的“关联点”为 ，则 __________；
(2)如果点 的“关联点” 在一次函数 上，求 的值．
【答案】(1)0
(2)1或
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图象上坐标的特征：
（1）根据关联点的定义即可求解；
（2）根据关联点的定义得当 时，点 的纵坐标为2；当 时，点 的纵坐标为 ，再将其代入
一次函数的解析式即可求解；
熟练掌握一次函数图象上坐标的特征是解题的关键
【详解】（1）解： 点 的“关联点”为 ，
， ，
，
故答案为：0．
（2） 点 是一次函数 图象上点 的“关联点”，
当 时，点 的纵坐标为2；
当 时，点 的纵坐标为 ，
点 在一次函数 的图象上，
或 ．
或 ．
16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，
已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花m元，设批发甲种蔬菜 ，求m与n的函数关系式；(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】(1)批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ；
(2) ；
(3)至少批发甲种蔬菜 ．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、列一次函数解析式并求值、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量
之间的关系成为解题的关键．
（1）设批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共 花90元”
列一元一次方程求解即可；
（2）设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可；
（3）设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元”列
不等式求解即可．
【详解】（1）解：设批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得： ， 解得： ，
乙蔬菜为： ．
答：故批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ．
（2）解：设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得： ．
答：m与n的函数关系为： ．
（3）解:设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得 ， 解得 ．
答：至少批发甲种蔬菜 ．
