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第 02 讲 一次函数与正比例函数
课程标准 学习目标
1．掌握正比例函数的概念；
①掌握正比例函数的概念
2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的
②掌握一次函数的概念
关系式；
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为： ；自变量的次数为1；常
数项 可以为任意实数．一般地，形如 （ ， 是常数）的函数，叫做一次函数．根据定义
作答即可．
【详解】解：y是x的一次函数的有：① ，② ，共2个，
故选：B．
2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知 是 关于 的一次函数，则一次函数解析
式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 （ ， 为常数）的函数为一次函数．
根据定义得： 且 ，求出 的值即可．
【详解】解：由已知可得 且
解得 且
∴ ．
故一次函数解析为：
故答案为： ．
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，注意把握正比例函数的概念是解题关键．根据正比例函数的
定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如 （k为常数，且 ）的函数，那么y
就叫做x的正比例函数逐项判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，故本选项错误；
B、 是正比例函数，故本选项正确；
C、 自变量的次数是二次，故本选项错误；D、 自变量的次数是不是1，不是正比例函数，故本选项错误；
故选：B．
2．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数 的图象经过点 ．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知函数值求自变量．
（1）将点 代入正比例函数 ，求出 ，即可得到正比例函数的解析式；
（2）将 代入正比例函数 ，即可求出x的值．
【详解】（1）解： 正比例函数 的图象经过点 ，
，
，
即正比例函数的解析式 ；
（2）解：当 时， ，
∴ ．
题型01 正比例函数的定义
【典例1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1） ；（2） ；（3） ；
（4） 中，是正比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是 ，此题可以根据正比例的
定义进行解答．
【详解】解：（1） 是正比例函数，故正确；
（2） 是一次函数，故错误；（3） 是正比例函数，故正确；
（4） 的次数为二，不是一次函数，故错误；
故选：C．
【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数 的定
义条件是：k为常数且 ，自变量次数为1．根据正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，即可求解．
【详解】解：A．该函数属于一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．该函数的次数是 ，不是1，因此该函数不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．该函数中自变量的次数是2，因此不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．该函数符合正比例函数的定义，是正比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列函数中，表示 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，形如 （ 是常数， ）的函数叫做正比例函数．根
据正比例函数 的定义条件： 是常数且 ，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【详解】解：A、 是一次函数，不是正比例函数，故本选项不合题意；
B、 不是表示 是 的正比例函数，故本选项不合题意；
C、 不是表示 是 的正比例函数，故本选项不合题意；
D、 符合正比例函数的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中y是x的正比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如 ，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可．
【详解】解： 是正比例函数；
当 时， 是正比例函数；
是一次函数；
不是正比例函数，
不是正比例函数．
故是正比例函数的有①③，共2个，
故选：B．
题型02 一次函数的识别
【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如y=kx+b(k≠0)的函数，熟练掌握定义是解题的关键．根据一
次函数的定义求解即可．
【详解】解：① ，当 时，不是一次函数；
② 是一次函数；
③ 不是一次函数；
④ 是一次函数；
⑤ 不是一次函数；
所以是一次函数的有2个．
故选：B．
【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一般地，形如 （ ，k、b是常
数）的函数，叫做一次函数解答．【详解】解：A、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意；
B、是一次函数，符合题意；
C、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意；
D、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：① ；② ；③ ；④
．其中是一次函数的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如 （ ， 为常数）的
函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数，
∴一次函数有 个，
故选： ．
【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：① 是一次函数；
② 是一次函数；
③ 不是一次函数；
④ 是一次函数；
⑤ 不是一次函数．
故选：B
题型03 根据一次函数的定义求参数
【典例3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知函数 是关于x的一次函数，则
．
【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义得出 且 ，即可得出m的值．
【详解】解：∵函数 是关于x的一次函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：
【变式1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知 是y关于x的一次函数，则
．
【答案】
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 为常数）的函数为一次函数．
根据定义得： 且 ，求出m的值即可．
【详解】解：∵ 是y关于x的一次函数
∴ 且
解得 且
∴ ．
故答案为：
【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若 是关于x的一次函数，则实数
．
【答案】2
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的概念，形如 ，其中k，b是常数的函数是一次函数的一般形
式；由概念知， ，且 ，求解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ；
故答案为：2．
【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知 是一次函数，则 的值是
【答案】
【知识点】根据一次函数的定义求参数、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数 的定义条件是： 、 为常数，
，自变量次数为 ．首先根据一次函数定义确定 的值，再代入代数式 ，求值即可．
【详解】解：由题意得： 且 ，解得： ，
．
题型04 求一次函数自变量或函数值
【典例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线 经过点 ，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，图象上的点的坐标满足函数解析式．把
点代入 ，即可求得 的值．
【详解】解：由题意得：
解得：
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·广东·阶段练习）已知一次函数 的图象经过点 ，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标适合一次函数解析
式是解题的关键．本题直接把点 代入一次函数 ，即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图像经过点 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）当 时，y与x的函数解析式为 ，则y的
范围是 ．
【答案】 /
【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值
【分析】代入 及 ，求出 值，进而可得出 的范围．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征
以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ”是解题的关键．
【详解】解：当 时， ；
当 时， ，当 时， 的范围是 ．
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数 ．
(1)求当 时，函数y的值；
(2)求当 时，自变量x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解
题的关键．
（1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解；
（2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：当 时， ；
（2）解：当 时， ，
解得： ．
题型05 列一次函数解析式并求值
【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，00，且10-x>0，
∴0
