文档内容
第 06 讲 锐角三角函数（6 个知识点+9 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝ ．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝ ．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝ ．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
知识点2．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
知识点3．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA＝
或sinA＝tanA•cosA．
知识点4．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
知识点5．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
知识点6．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sin ＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结
果． α
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
题型强化
题型一、正弦的概念辨析
1．（2024九年级下·全国·专题练习）在 中， ，若 的三边都缩小5倍，则 的
值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
2．（2021·江苏苏州·一模）如图， 中， 的平分线与 的延长线交于 点， 与 交于
点， 的平分线交 于 点，若 ，则 的面积为 ．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在矩形 中，点 为原点， 、 的长是方程
的两根（ ）．抛物线 经过点 、 ，与AB交于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点 为线段 上一个动点（不与点 重合），点 为线段 上一个动点， ，连接 ，设
， 的面积为 ．
①求 关于 的函数表达式；
②当 最大时，点 的坐标为 ；
③当 最大时，点 在抛物线 的对称轴上，点 是平面内任意一点，是否存在点 、 ，
使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不
存在，请说明理由．题型二、求角的正弦值
4．（2025九年级下·全国·专题练习）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点 在等边 的内部，且 ， ，将线段
绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的值为 ．
6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ，垂足是点 ，若 ，
，求 的值．题型三、已知正弦值求边长
7．（24-25九年级下·全国·期末）在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东聊城·三模）如图，半径为6的扇形 中， ，C，D分别是半径 的中
点，连接 ，则图中阴影部分面积为 ．（用含 的式子表示）
9．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于
点E，交 的延长线于点D．
(1)求 的正弦值；
(2)求点C到直线 的距离．题型四、求角的余弦值
10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知 是 斜边上的高， ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25九年级下·全国·期末）在 中， ，则 ．
12．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）如图，在平面直角坐标系 中，以y轴正半轴上一点
（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为 的射线l，在l上取点B，使 （k为正整数），
并在l下方作 ， ，线段 的中点分别为D，E．
(1)当 时，直接写出B，C两点的坐标；
(2)若抛物线 的顶点恰好为D点，且 ，求抛物线的解析式及此时
的值；
(3)当 时，记线段 的中点分别为 ，当 时，记线段 的中点分别为 ，求
直线 的解析式及四边形 的面积（用含m的代数式表达）．题型五、已知正切值求边长
13．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．
如图，在由四个全等的直角三角形（ ， ， ， ）和中间一个小正方形 拼成
的大正方形 中，若 ，则正方形 与正方形 的面积的比值为（ ）．
A． B． C．5 D．
14．（2025九年级下·全国·专题练习）已知在 中， ，则 的长为
．
15．（22-23九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 ，O为坐标原点，
， ，将此三角形绕原点O逆时针旋转 ，得到 ，抛物线 经过
点A、B、C．求抛物线的解析式并写出它的顶点坐标．题型六、特殊三角形的三角函数
16．（2025九年级下·全国·专题练习）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2025九年级下·全国·专题练习）在 中，如果 ，那么 的值是
．
18．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．题型七、特殊角三角函数值的混合运算
19．（23-24九年级下·全国·期末） 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
20．（2025九年级下·全国·专题练习）计算： ．
21．（24-25九年级下·全国·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
题型八、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
22．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在 中，若 ，则么 一
定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
23．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在 中，若 ，则 是
．
24．（2023九年级下·全国·专题练习）如图， 在平面坐标系内，点 ， ．点 为 轴上动点，求 的最小值．
题型九、三角函数综合
25．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比
叫做 的余割，用“ ”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说法
正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·四川成都·二模）如图，在 中， ，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别
交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 之长为半径作弧，两弧相交于点 ，射
线 交边 于点 ．若 ， ，则 的长为 ．27．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点P、Q分别是
边 、 上的两个动点，且 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，作点 关于直线
的对称点 ，设 ．
(1)当 的面积为8时，求 的值．
(2)当 时，求线段 的长．
(3)当点 落在四边形 的边上时，求 的值．
(4)直线 与四边形 的一条边交于 点，若 的面积是四边形 面积的 时，直接写出
的值．分层练习
一、单选题
1．已知在 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，
∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ， ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点D，连接 ，
若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．5．如图，在平面直角坐标系中，点 分别在 轴负半轴和 轴正半轴上，点 在 上，
，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ．若 ，则 的值是
（ ）
A． B．3 C． D．2
6．如图， 内接于 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， ，BC＝44cm，
则高AD约为（ ）（参考数据： ， ， ）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
8．如图， 为 的直径， ，C、D为 上两点，若 ，则 的长为（
）
A． B． C． D．
9．如图，直线l： 分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作
△POB的外接圆 ，延长OC交 于点D，当△POD的面积最小时，则 的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，
且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与
AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（ ）个①MC⊥ND；②sin∠MFC= ；③（BM+DG）²=AM²+AG²；④S△ =
HMF
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知 是锐角，且 ，那么 ．
12．已知α是锐角，如果 ，那么α＝ ．
13．计算：|2−tan60°)= ．
14．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，点D在边AB上，点E在边AC上，
将△ABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果 ，那
么折痕DE的长为 ．
15．计算： 的结果为 ．16．如图，菱形 的顶点 与对角线交点 都在反比例函数 的图象上，对角线
交 轴于点 ， ，且 的面积为15，则 ；延长 交 轴于点 ，
则点 的坐标为 ．
17．在 中， 都是锐角，且 ，则 是
三角形．
18．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且
∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .
三、解答题
19．（1）计算：tan45°−(−2) 2−|2−❑√2)；
（2）已知 ，求代数式 的值20．计算： .
21．钓鱼岛是我国固有领土， 年 月 日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布 钓鱼
岛及其附属岛屿地形地貌调查报告 ，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如
图所示，点 是岛上最西端“西钓角”，点 是岛上最东端“东钓角”， 长约 米，点 是
岛上的小黄鱼岛，且 、 、 三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点 处时，恰好看到正
北方的小黄鱼岛 ，并测得 ， 根据以上数据，请求出此时执法船距离小
黄鱼岛 的距离 的值． 参考数据： ， ， ，结果精确
到 米．22．
（1）根据个人爱好，从 ， 和 中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平
方和；
（2）采用配方法或公式法解一元二次方程 ．
23．如图， 中， ， ，D是边 的中点，连结 ．（1）已知 ，求 的长；
（2）求 的值．
24．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在
∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
（1）如图1，若AB= ，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF；
（3）若AB= ，设BP=2，求QF的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，抛物线
经过A，B两点，与x轴的另一个交点为 ．（1）求抛物线的解析式．
（2） 为直线 上方抛物线上一动点．
①连接 交 于点 ，若 ，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得 的度数恰好是 的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果
不存在，请说明理由．
26． 在平面直角坐标系中，四边形 为矩形， ，连接 ．（1）如图1， 平分 交y轴与点B，交 于点D，直接写出点 的坐标：
B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）；
（2）如图1，在（1）的条件下，F为 的中点，求 的值，并直接写出 的值；
（3）如图2，点M从O点出发沿射线 运动，点N从A点出发沿 运动， 分别为
的中点，若 两点以相同的速度同时出发运动，当 时，直接写出当
有最小值时 的长度．
