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专题4.30 《几何图形初步》全章复习与巩固
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x
﹣2y+z的值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．9
2．下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．修路时经常把弯曲的道路拉直，其中的道理是两点确定一条直线
B．点 在直线 上，则
C．经过点 和点 的直线的长度叫做 ， 两点的距离
D．平面上的 条直线，可能有 个交点
4．下列说法不正确的是（ ）
A．画一条5cm长的线段 B．射线AB与射线BA是同一条射线
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
5．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以 的速度运动．C是线段BD的中点．
．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
6．如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相
对于小岛B的方向是（ ）A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°
7．如图， 是一条直线， ，图中互补的角有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
8．已知 ， 互补，那么 与 之间的关系是（ ）
A．和为45° B．差为45° C．互余 D．差为90°
9．如图，将两个三角尺的直角 与 顶点O重合在一起，若
，OE为 的平分线，则 的度数为（ ）
A．36 B．45 C．60 D．72
10．如图，在同一平面内， ， ，点 为 反向延
长线上一点（图中所有角均指小于 的角）．下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的
三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为_____．
12．如图，线段 ，点P是线段AB上一点．且 ，Q是直线AB上一点，
且 ，则PQ：AB的值是______．
13．如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， ，则
______．
14．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大
值是________．15．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．
且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 _____cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 _____cm．
16．如图， ， 平分 ， 与 互余， 与
互补，则 _______ ．
17．如图，点C是射线OA上一点，过C作 ，垂足为D，作 ，垂足
为C，交OB于点E．给出下列结论：① 是 的余角；② ；③图中
互余的角共有3对；④ ．其中正确结论有______．
18．如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内
自由转动），给出以下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．其中不正确的是_________．（写出序号）
三、解答题
19．用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:线段 .
求作:线段 ,使 .
20．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．
(1) 点D在线段AB上，且AB=6， ，求线段CD的长度；
(2) 若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当 时，线段CD与CE具有
怎样的数量关系，请说明理由．
21．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1) 根据要求填写表格：面数 顶点数
棱数（e）
（f） （v）
图1
图2
图3
(2) 猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3) 根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
22．如图，直线AB、CD相交于点O， ．
(1) 若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由．
(2) 若 ，求∠BOC的度数．
23．（1）如图1，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，经探究发现∠ACB与
∠DCE的和不变．证明过程如下：
由题可知∠BCE＝∠ACD＝90°
∴∠ACB＝ +∠BCD．∴∠ACB＝90°+∠BCD．
∴∠ACB+∠DCE
＝90°+∠BCD+∠DCE
＝90°+∠BCE
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝ ．
（2）如图2，若将两个含有60°的三角尺叠放在一起，使60°锐角的顶点A重合，则
∠DAB与∠CAE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），若把它们的顶点O重
合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系．
24．如图1，已知∠MON＝120°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
（1）在图1中，若∠AOC＝35°，则∠BOC＝ °，∠NOB＝ °；
（2）在图1中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（写出过
程）；
（3）在（2）的条件下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β
之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出α与β之间
的数量关系．参考答案
1．A
【分析】将展开图还原成立体图，再结合相反数的概念即可求解．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“x”与“﹣8”是相对面，
“y”与“﹣2”是相对面，“z”与“3”是相对面，
∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴x＝8，y＝2，z＝﹣3，
∴x﹣2y+z＝8﹣2×2﹣3＝1．
故答案是：A
【点拨】本题主要考察正方体展开图和空间想象能力、相反数的概念，属于基础题型，
难度不大．解题的关键是空间想象能力，即将展开图还原成立体图形．注意：正方体的表
面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
2．B
【分析】根据正方体展开图的特征进行判断即可．
解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项B中的图形不能折叠出正方体，
故选：B．
【点拨】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
3．D
【分析】根据两点确定一条直线、两点之间线段最短、两点之间的距离等知识一一判
断即可．
解：A、修路时经常把弯曲的道路拉直，其中的道理是两点之间线段最短．故不符合
题意；
B、点C在直线AB上，则AC+CB=AB或AC-BC=AB或BC-AC=AB，故不符合题意；
C、A、B两点之间的线段的长度，叫做A，B两点的距离，故不符合题意；
D、平面上的4条直线，可能有5个交点，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查两点确定一条直线、两点之间线段最短、两点之间的距离等知识，
属于中考基础题．
4．B
【分析】根据线段是有长度的性质，可以画定长线段；根据端点相同，且延伸方向相
同的射线是同一条射线进行判断；根据直线的性质，线段的性质分别判断即可．
解：∵线段是有长度的，
∴画一条5cm长的线段，是正确的，
∴A不符合题意；
∵射线AB与射线BA端点不同，是不同的两条条射线；∴射线AB与射线BA是同一条射线，是错误的，
∴B符合题意；
∵两点确定一条直线，
∴C正确，不符合题意；
∵两点之间线段最短，
∴D正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了线段、射线、直线的性质，解题的关键是熟练掌握三线的性质．
5．B
【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，
BC的表达式，即可求出线段EC．
解：设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故选：B．
【点拨】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，
难度一般，理解题意是关键．
6．C
【分析】根据B在A的北偏东 方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为
，再根据A的位置即可得到答案．
解：B在A的北偏东40°方向，
∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西 ，
故选：C．
【点拨】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．
7．D
【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得
解．
解：∵ ，
∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°，
∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，
∴图中互补的角有7对．
故选：D．
【点拨】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟
知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补．
8．C
【分析】由条件可得 把 代入可得
从而可得答案．
解： ， 互补，
与 互余，
故选C
【点拨】本题考查的是互余，互补的两个角之间的关系，掌握“余角与补角的含义”
是解本题的关键．
9．D
【分析】根据∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据
角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．
解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝36°，
∵OE为∠BOC的平分线，
∴∠COE ∠BOC＝18°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，
故选：D．
【点拨】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC＝180°．
10．C
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合
即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合
即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断
∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而
∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．
解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，
即∠COE=∠BOE，所以①正确；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，
所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而 ，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．故选：C．
【点拨】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，
准确识图是解题的关键．
11．7
【分析】从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到对面的数字，即可求得结果．
解：一个正方体已知1，4，6，第二个正方体已知1，2，3，第三个正方体已知2，
5，6，且不同的面上写的数字各不相同，可求得1的对面数字为5，6的对面数字为3，2
的对面数字为4
∴a+b=7
故答案为：7．
【点拨】本题考查正方体相对两个面的数字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解
题的关键．
12． 或1
【分析】由题意易求得 ， ．分类讨论①当Q在线段AB上、②当Q在
线段AB延长线上时和③当Q在线段BA延长线上，根据线段的和与差，计算出PQ的长，
作比即可．
解： ， ， ，
， ，
①如图，当Q在线段AB上时，
， ， ，
，即 ，
∴ ，
；
②如图，当Q在线段AB延长线上时，，
，
，
；
③如图，当Q在线段BA延长线上时，
，
∴此情况不成立．
综上可知， 的值为 或1．
故答案为： 或1．
【点拨】本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类
讨论的思想是解题的关键．
13．20°##20度
【分析】根据条件先求出 ，设 ，则 ，
根据 列出方程，求出 的值即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：20°．【点拨】本题主要考查了垂直的定义、角平分线的性质等知识点，结合图形转化为角
度的关系式是解答本题的关键．
14．13
【分析】根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
解：综合主视图和俯视图，从上往下数，底面最多有 2+2+3=7 个，第二层最多有
1+1+2=4 个，第三层最多有1+0+1=2 个，则n的最大值是 7+4+2=13
故答案为：13．
【点拨】本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
15． 2或4##4或2 30
【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线
上、在线段AB的延长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的
值；
（2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，
DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值；
解：（1）∵BE＝3AE，
∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm，
当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm，
故答案为：2或4．
（2）∵BE＝3AE，
∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE），
当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm，
故3ED+BE的最小值为30cm，
故答案为：30．
【点拨】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3
（DE+AE）是解题的关键．
16．22.5
【分析】根据∠BOC与∠COD互余，得∠BOD=90°，再利用∠BOE与∠DOE互补，
得∠DOE=45°，则∠BOE=90°+45°=135°，再根据OC平分∠BOE，得∠BOC=
∠BOE=67.5°，从而得出答案．
解：∵∠BOC与∠COD互余，∴∠BOC+∠COD=90°，
∴∠BOD=90°，
∵∠BOE与∠DOE互补，
∴∠BOD+∠DOE+∠DOE=180°，
∴90°+2∠DOE=180°，
∴∠DOE=45°，
∴∠BOE=∠BOD+ ∠DOE =90°+45°=135°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOC= ∠BOE=67.5°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=90°−67.5°=22.5°，
故答案为：22.5．
【点拨】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，求出∠DOE=45°是解
题的关键．
17．①②④
【分析】根据垂直可得直角，根据互余的定义，以及余角的性质，可得答案．
解：由 ， ，
可得∠ODC=∠EDC=∠ECO=∠ECA=90°，
所以∠1+∠DCE=∠ECO=90°，∠1+∠AOB=180°-∠ODC=90°，
即∠1是 的余角， ，
故①②正确；
又因为∠CED+∠DCE=180°-∠EDC=90°，∠1+∠DCE =90°，
所以∠1=∠CED，
所以 （等角的补角相等）
故④正确；
∠1与∠DCE互余，∠1与∠AOB互余，∠CED与∠DCE互余，∠AOB与∠CEO互余，
所以互余的角不止3对，
故③错误，
故答案为①②④
【点拨】本题考查余角的定义，余角和补角的性质，等量代换的运用是解题的关键．
18．①③④【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．
解：∵ ， ，
∴当 时， ，故①不正确；
∵
∴②正确；
∵
∴③不正确；
∵ ， ，
∴
∴④不正确；
综上所述：不正确的是①③④，
故答案为：①③④
【点拨】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．
19．见分析
【分析】首先以A为端点画一条射线AD，以A为圆心，线段a的长度为半径画圆交
射线AD于点M，再以M为圆心，线段b为半径画圆交射线AD于B，则线段AB即为所
求.
解：如图所示,AB即为所求.
【点拨】本题考查的是学生运用基本作图知识来作复杂图形的能力.
20．(1)线段CD的长度为2；
(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见分析
【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；
（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方
法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．
解：（1）解：如图1，
∵点C是线段AB的中点，AB=6，∴BC= AB=3，
∵BD= BC，
∴BD=1，
∴CD=BC-BD=2；
（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：
当点D在线段AB上，如图2，
设AD=2x，则BD=3x，
∴AB=AD+BD=5x，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC= AB= ，
∴CD=AC-AD= x，
∵AE=2BE，
∴AE= AB= x，
CE=AE-AC= x，
∴ = ，即5CD=3CE；
当点D在BA延长线上时，如图3，
设AD=2a，则BD=3a，
∴AB=BD-AD=a，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC= AB= ，∴CD=AC+AD= a，
∵AE=2BE，
∴AE= AB= a，
CE=AE-AC= a，
∴ = ，即CD=15CE．
综上，5CD=3CE或CD=15CE．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．
解第2问注意分类讨论．
21．(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；(2) ；(3)它的面数是2012
【分析】（1）根据图形数出即可；
（2）根据（1）中结果得出 ；
（3）代入 求出即可；
解：（1）图1，面数 ，顶点数 ，棱数 ，
图2，面数 ，顶点数 ，棱数 ，
图3，面数 ，顶点数 ，棱数 ，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）由表格数据可得： ．
（3）∵
∴ ，
，
即它的面数是2012．
【点拨】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结
果得出规律22．(1) ，见分析(2)135°
【分析】（1）分析题意，找出ON与OD的夹角大小，即可得出结论；
（2）根据角的位置关系，列出代数式，求解即可得出答案．
解：（1）ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）∵∠1 ∠BOC，∠BOC＝∠1+∠BOM，
∴∠BOM ∠BOC，
∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∴∠BOC＝135°．
【点拨】本题考查了余角、角的运算，解题关键是分清角的对应关系．
23．（1）∠ACD，180°；（2）∠DAB+∠CAE＝120°，见分析；（3）
∠AOD+∠BOC=β+α
【分析】（1）结合图形把∠ACB与∠DCE的和转化为∠ACD与∠BCE的和；
（2）结合图形把∠DAB与∠CAE的和转化为∠DAC与∠EAB的和；
（3）结合图形把∠AOD与∠BOC的和转化为∠AOB与∠COD的和．
解：（1）由题可知∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACB＝90°+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE
＝90°+∠BCD+∠DCE
＝90°+∠BCE，
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACD，180°；
（2）∠DAB+∠CAE＝120°，理由：由题可知∠DAC＝∠EAB＝60°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB，
∴∠DAB＝60°+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE
＝60°+∠CAB+∠CAE
＝60°+∠EAB，
∵∠EAB＝60°，
∴∠DAB+∠CAE＝120°；
（3）∵∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝β+∠AOC，
∴∠AOD+∠BOC
＝β+∠AOC+∠BOC
＝β+∠AOB
＝β+α．
【点拨】本题考查了余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形找角与角之间的关
系是解题的关键．
24．（1）55，10；（2）β＝2α﹣60°，理由见分析；（3）此时α与β之间的数量关系
不成立，此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°．
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC＝55°，再由角平分线的定义计算∠BOM
＝110°，根据角的差可得∠BON的度数；
（2）同理先计算∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，再根据∠MOB＝
∠MON+∠BON列等式即可；
（3）同理可得∠MOB＝180°﹣2α，再根据∠MOB＝∠MON+∠BON列等式即可．
解：（1）如图1，∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝55°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝55°，
∴∠MOB＝110°，
∵∠MON＝120°，∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝120°﹣110°＝10°，
故答案为：55，10；
（2）关系为：β＝2α﹣60°，理由是：
如图1，∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
又∵∠MON＝∠MOB+∠NOB，∠NOB＝β，∠MON＝120°，
∴120°＝180°﹣2α+β，
即β＝2α﹣60°；
（3）不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°，
理由是：如图2，∵∠AOC＝α，∠NOB＝β，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∵∠MOB＝∠MON+∠BON，∠MON＝120°，
∴180°﹣2α＝120°+β，即2α+β＝60°，
∴此时α与β之间的数量关系不成立，此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°．
【点拨】本题考查了余角和补角及角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关
键是求出注意利用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系．
