文档内容
28.1 锐角三角函数（第三课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十八章“锐角三角
函数”28.1 锐角三角函数（第三课时），内容包括：推导特殊角的三角函数值.
2.内容解析
本课时是在学生理解与掌握直角三角形中一个锐角的正弦、余弦、正切概念的基础上推导30°、45°、
60°角的三角函数值，并利用特殊角的三角函数值进行计算.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、
45°、60°角的三角函数的运算式．
二、目标和目标解析
1.目标
1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；
3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间
的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应
锐角度数.
达成目标2）3）的标志是：熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.
三、教学问题诊断分析
学生对记忆30°、45°、60°角的三角函数值容易出现混淆的情况，针对这一问题，在教学中应引导学生
利用现有知识推导特殊角的三角函数值，重在掌握特殊角的三角函数值的推导过程.
基于以上分析，本节课的教学难点是：理解30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程.四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问】简述正弦、余弦、正切的概念？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来推导特殊角的三角函数值打好基础．
（二）探究新知
【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察，回答问题
【设计意图】培养学生解决实际问题的能力.
师：本节课我们尝试探讨这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.
师生活动：学生通过计算，回答问题，教师通过多媒体展示答案.
假设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC= = a
❑√AB2−AC2 ❑√3
AC a 1 BC ❑√3a ❑√3 AC a ❑√3
sin30°= = = cos30°= = = tan30°= = =
AB 2a 2 AB 2a 2 BC ❑√3a 3
师：类比推导 30°角的三角函数值的方法，你能推导 45°，60°角的三角函数值吗？
【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.
师生活动：学生通过计算，回答问题.教师通过多媒体展示答案.
假设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC= = a
❑√AB2−AC2 ❑√3BC ❑√3a ❑√3 AC a 1 BC ❑√3a
sin60°= = = cos60°= = = tan60°= = =❑√3
AB 2a 2 AB 2a 2 AC a
【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.
A
45°
45°
C B
师生活动：学生通过计算，回答问题.教师通过多媒体展示答案.
假设AC =BC=a，由勾股定理得AB= = a
❑√AC2+BC2 ❑√2
AC a ❑√2 BC a ❑√2 AC a
sin45°= = = cos45°= = = tan45°= = = 1
AB ❑√2a 2 AB ❑√2a 2 BC a
由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
【设计意图】通过探究活动，让学生掌握特殊角三角函数值的推导方法.
【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？
师生活动：先由学生观察表格数据回答问题，教师引导与总结，得出：
1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值越大；对于cosα，角度越大，函数值越小.
2）互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.
cosA= sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.
tanA·tanB =1，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.
【设计意图】让学生掌握互余的两角之间的三角函数关系.
（三）典例分析与针对训练
❑√3
例1 如果α是锐角，sinα= ，那么cosα的值是（ ）
21 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【针对训练】
1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣❑√3＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3. 在实数0、−❑√3、tan45°、−1中，最大的是（ ）
A．0 B．−❑√3 C．tan450 D．-1
❑√2
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
2
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
❑√3
5.已知△ABC的∠A与∠B满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，判断△ABC的形状
2
【设计意图】通过学习，培养学生运用特殊三角函数值解决实际问题的能力.
cos45°
例2 求下列各式的值：(1) cos260°+ sin260° (2) - tan45°
sin45°
【针对训练】
1.计算sin245°+cos 30°·tan 60°，其结果是( )
❑√5 ❑√5
A．2 B．1 C． D．
2 4
1
2.计算：（ ）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（ ）
2
1 1 3
A．﹣ B．1 C． D．
2 2 2
1
3.计算：|❑√2−1|+(− ) −2−2sin45°=______．
2
4.计算：4sin30°−❑√2cos45°+tan60°=___________.
5. 计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘
2）|﹣3|+❑√3tan30°﹣❑√8+2cos45°﹣（2018﹣π）0
6. 已知α为锐角，且tanα是方程x2 +2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-❑√3tan (α+15°)的值．
【设计意图】通过学习，培养学生熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式的能力.（四）直击中考
❑√2
1．（2023·天津·中考真题）sin45°+ 的值等于（ ）
2
A．1 B．❑√2 C．❑√3 D．2
2．（2023·四川眉山·中考真题）计算： (2❑√3−π) 0 −|1−❑√3|+3tan30°+ ( − 1) −2
2
3．（2023·四川内江·中考真题）计算：
(−1) 2023+
(1) −2
+3tan30°−(3−π) 0+|❑√3−2|
2
4．（2023·内蒙古·中考真题）计算： |❑√8−2|+(π−2023) 0+ ( − 1) −2 −2cos60° ．
2
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（五）归纳小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述30°、45°、60°角的三角函数值？
（六）布置作业
P67：练习
P68：习题28.1 第3题
