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第 9 讲 锐角三角函数
知识点1 正弦、余弦、正切
锐角三角函数相关概念
正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角
三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。
∠A
锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做 的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定
了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值
°0<∠A<90°
范围均为：0 函数的增减性分别为：
∠A
①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大
∠A
②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而减小
∠A
③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大.
【典例】
1.在Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=
△
【答案】4；
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= =4，
∴sinA= = ，
2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．【答案】
【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO= =2 ，
AC= = ，
OC= = ，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB= = = ．
3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=
．
【答案】2
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC= = =4 ，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA= = =2 ．
【方法总结】1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
2、相等的角相对应的三角函数值相等。
3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。
4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角
三角形的相应边的长度之比.
【随堂练习】
1．（东莞市校级月考）三角函数 sin45°，cos16°，cos43°之间的大小关系是（
）
A．cos43°＞cos16°＞sin45° B．cos16°＞cos43°＞sin45°
C．cos16°＞sin45°＞cos43° D．cos43°＞sin45°＞cos16°
【解答】解：∵sin45°=cos645，
又16°＜43°＜45°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin45°．
故选：B．
2．（绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 OA过点（2，1），则tanα
的值是___．
【解答】解：如图 ，
tanα= =
故答案为： ．
3．（南沙区一模）如图，在 Rt ABC 中，∠C=90°，BC=12，tanA= ，则
sinB=____．
△【解答】解：由在Rt ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA= ，得
△
= ，即 = ，
∴AC=5．
由勾股定理，得
AB= =13．
sinB= = ，
故答案为： ．
知识点2 特殊角的三角函数值
30° ，45° ，60°
特殊角的三角函数值主要是指 这三个角的三角函数值，如下表：
【典例】
1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）= ，则α等于 度．
【答案】70
【解析】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）= ，sin60°= ，
∴α﹣10°=60°，
∴α=70°．
2.4cos30°+ +|﹣2|= ．
【答案】3【解析】解：原式= =3
【方法总结】
1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。
2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。
【随堂练习】
1．（马鞍山期末）若 为锐角，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
而 ，
．
故选： ．
2．（昭平县期末）在 中， ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 中， ，
为锐角．
，
．
故选： ．
3．（阳江一模）已知 是锐角，且满足 ，则 的大小为
A． B． C． D．无法确定
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
4．（太仓市期末）如图，在 中， ， ，则下列结论中正确的是A． B． C． D．
【解答】解： 在 中， ， ，
设 ，则 ，故 ，
故 ，故 选项错误；
，故 选项错误；
，故 选项错误；
，故 选项正确；
故选： ．
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元
素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
【典例】
1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD= ，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
【答案】5或3
【解析】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt ABD中，BD= = =4，
△
在Rt ADC中，tan∠CAD= = ，
△∴CD=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
综上：BC长为5或3。
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记| |
=a，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥
【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt OAB中，OB=5，AB=3，
△
∴OA= =4，
∴tan∠OBA= = ．
∴a=| |= =tan∠AOC=tan∠OBA= ．
故：a≥ ．
3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=
．
【答案】17或
【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD= ，∴ = ，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt AHD中，HD= =5，
△
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴ = ，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD= =17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′= = ，
故CD长为：17或 ．
【方法总结】
1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。
2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。
【随堂练习】
1．（云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为 1， 的顶点都是格点，则
的值为
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：如图：在 中， ， ，则 ；；
故选： ．
2．（ 柯桥 区模拟） 将一副三角 板如图 摆放在一 起，组成四边形 ，
， ， ，连接 ，则 的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接 ，过点 作 垂直于 的延长线于点
在 中， ，在 中，
，
，
设 ，则
在 中，，
，则 ，
在 中，
，
在 中，
故选： ．
3．（长沙）如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段
上的一个动点，则 的最小值是
A． B． C． D．10
【解答】解：如图，作 于 ， 于 ．
，
，
，设 ， ，
则有： ，
，
或 （舍弃），，
， ， ，
（等腰三角形两腰上的高相等）
， ，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
故选： ．
4．（广东二模）点 在第二象限， 与 轴所夹的锐角为 ， ，则 的值
为
A． B． C．2 D．3
【解答】解：如图，作 轴于 ．
由题意： ，，
， ，
，
，
故选： ．
5．（海港区校级自主招生） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知
， ， ，则
A． B． C．2 D．3
【解答】解：如图，作 于 ．
在 中， ，
，
， ，
在 中， ，
，
故选： ．
6．（南海区二模）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，那么 的
值是A． B． C． D．
【解答】解：如图，作 轴于 ．
， ，
， ，
，
，
故选： ．
7．（沙坪坝区校级月考）如图，已知 中， ， ，过 作
交边 于 点，且 ，则
A．8 B． C．7 D．
【解答】解： ，
，
， ，
，
，
，
，故选： ．
8．（萧山区一模）如图， 中， ，点 是 边上一点．若 ，
，则 为
A． B． C． D．
【解答】解：在 中， ，
在 中， ，
，
故选： ．
9．（路桥区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点 ， ， ， ， 均在格点
上，连接 ， ， ， ，线段 的延长线交 于点 ，则 的值
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 和 ，， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
故选： ．
10．（江岸区校级模拟）如图，在 中， ， ， ，则 长为
A．12 B．14 C． D．
【解答】解：如图，作 于 ．
在 中， ， ， ，
， ，
在 中， ，
，，
故选： ．
11．（川汇区期末）如图， 的顶点是正方形网格的格点，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ，
， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
，
则 ，
故选： ．
12．（如皋市期末）如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点．若
的顶点都在格点上，则 的值等于A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，过点 作 于点 ，
则 ， ，
，
，
故选： ．
13．（象山县期末）如图，网格中小正方形的边长都为 1，点 ， ， 在正方形的顶点
处，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如右图所示，
网格中小正方形的边长都为1，
， ， ， ，
作 于点 ，，
，
解得， ，
， ， ，
，
，
即 ，
故选： ．
知识点4 解直角三角形应用
①坡度，坡角
∠ABC
如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的 称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面
的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用
ι
表示，记作
ι=
h:l,坡度通常写成1：mα
的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
。
于是 ，显然，坡
α
度越大， 越大，坡面就越陡。
°
②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于 90 得角叫方位角.如图；
∠NOA,∠SOB,∠NOD,∠SOC
都是方位角.
° °
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35 ；目标方向OB表示的方位角为南偏东75 ；目标方向OC
° °
表示的方位角为南偏西45 ，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40 .
③仰角、俯角
如图：OC 为水平线，OD 为铅垂线，OA,OB 为视线，我们把视线 OA 与水平线 OC 所形成的
∠AOC成为仰角； ∠BOC
把视线 OB与水平线OC所形成的 称为俯角.在视线与水平线所成的角中，
当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的
角叫做俯角.
【典例】
1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角
∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m
（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．
【答案】1.2
【解析】解：作DK⊥AH于K．
∵四边形DKHG是矩形，
∴DK=GH=3.05m，
在Rt ADK中．AK= =2.29（m），
∴DG△=HK=AH﹣AK=AB+BH﹣AK=1.74+1.74﹣2.29≈1.2（m）
2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行
1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏
东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行
小时即可到达．（结果保留根号）
【答案】
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ﹣90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 = （小时）
3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门 A处，有一斜坡AB，斜坡AB的
坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角
∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门
处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈ ，cos53°≈ ，tan63.4°≈2，sin63.4°≈ ）
【答案】27.5
【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，
在Rt ABG中，AB= =13米，
△
∴BG=DF= AB= ×19.5=7.5米，在R BCF中，BF= = ，
t
△
在R CEF中，EF= = ，
t
∵BE△=4，
∴BF﹣EF= ﹣ =5，
解得：CF=20．
∴教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米．
【方法总结】
1、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
2、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
【随堂练习】
1．（日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，
则甲楼高度为（ ）
A．11米 B．（36﹣15 ）米 C．15 米 D．（36﹣10 ）米
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE △＝30×tan30°＝10 （米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10 ）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10 ）米．
故选：D．
2．（北碚区校级一模）休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝
2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（ ）（参考数
据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m
【解答】解：如图，延长OA与BC交于点B，延长A'E，与BC的延长线交于点F，过点A'作A'H⊥OB
于点H．
在Rt OHA'中，
△
， ，
∴OH＝0.8OA'＝0.8×2＝1.6（m），A'H＝0.6OA'＝0.6×2＝1.2（m），
∴AH＝OA﹣OH＝2﹣1.6＝0.4（m），HB＝HA+AB＝0.4+0.5＝0.9（m），A'F＝HB＝0.9（m），BF＝
HA'＝1.2m，
∴CF＝BF﹣BC＝1.2﹣0.7＝0.5（m），
在Rt EFC中，
△
，
EF＝ ＝ ×0.5＝0.2（m），
∴A'E＝A'F﹣EF＝0.9﹣0.2＝0.7（m）
故选：D．
3．（渝中区校级三模）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图 1为单车实物图，
图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调
节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地
面高度为 0.9m时骑着比较舒适，此时 CE 的长约为（ ）（结果精确到 1cm，参考数据：
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝0.9m，即CN＝90cm时，CM＝60cm
∴在Rt BCM中，∠ABE＝70°，
△
∴sin∠ABE＝sin70°＝ ＝0.94
∴BC≈64cm
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）
故选：B．
4．（沙坪坝区校级模拟）为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度，小南同学使用的无人机进
行观察，当无人机与大金鹰侧面在同一平面，且距离水平面垂直高度 GF为100米时，小南调整摄像头
方向，当俯角为45°时，恰好可以拍摄到金鹰的头顶A点；当俯角为63°时，恰好可以拍摄到金鹰底座
点E．已知大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，石台上方BC长
10米，头部A点位于BC中点正上方．则金鹰自身高度约（ ）米．（结果保留一位小数，
sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）
A．26.5 B．36.4 C．36.5 D．63.5【解答】解：作AM⊥DF于M，AH⊥GF于H，如图所示：
则AM＝HF，AH＝MF，
在Rt EFG中，∠GEF＝63°，
△
∵tan∠GEF＝ ，∴EF＝ ≈ ＝51.02，
∵石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，
∴石台侧面CE宽度为12.5× ＝7.5，
∵石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方，
∴ME＝ BC+7.5＝5+7.5＝12.5，
∴AH＝MF＝12.5+51.02＝63.52，
在Rt AGH中，∠AGH＝90°﹣45°＝45°，
∴△A△GH是等腰直角三角形，
∴GH＝AH＝63.52，
∴AM＝HF＝100﹣63.52≈36.5（米）；
即金鹰自身高度约36.5米；
故选：C．
5．（云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（
）
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：如图：在Rt ACD中，CD＝2，AD＝4，则AC＝ ；
△
∴sin∠BAC＝ ＝ ＝ ；故选：A．
6．（沙坪坝区校级二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段
坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，
接着小明又向下走了 米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、
D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（ ）米．
（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米
【解答】解：设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示：
在Rt BHE中，∵BE＝4 米，BH：EH＝1：2，
△
∴BH＝4（米），EH＝8（米），
∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形，
∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），
在Rt CFN中，∵∠CFN＝45°，
∴CN△＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），
∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），
在Rt ACM中，∵∠CAM＝37°，
△
∴AM＝ ≈ ，
∴8+x﹣1.5≈ ，
∴x≈41.5（米），
∴CD≈41.5米，
故选：D．7．（柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝
60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E
∵在Rt ABC中，∠ACB＝45°，在Rt ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DC△E＝45°， △
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝
在Rt ACD中，
∵∠C△AD＝30°，
∴tan∠CAD＝ ，则AC＝ ，
在Rt ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC △＝ ，∴在Rt BED中，tan∠CBD＝ ＝ ＝
故选：D△．
8．（益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．
如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知
测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（ ）
A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D． +
【解答】解：在Rt ABD和Rt ABC中，AB＝a，tanα＝ ，tanβ＝ ，
∴BC＝atanα，BD＝△atanβ， △
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ；
故选：C．
9．（雨花区校级二模）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i
＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，
由i＝3：4，
可设AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，∴9x 2 +16x 2＝100，
解得：x＝2（负值舍去），
则AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
则BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故选：B．
10．（长寿区模拟）如图，菩提山上灯一盏”是我区老八景之一．某人为了测量菩提山上的“塔式佛教圣
灯”ED的高，他在山下某点A处测得塔尖D的仰角为45°，在沿AC方向前进24.40m到达山脚点B，
测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°．那么塔式佛教圣灯ED的高度约为（ ）（计
算中 ≈1.7， ≈1.4，结果保留两位小数）
A．35.78m B．37.54m C．39.53m D．40.52m
【解答】解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠EBC＝60°﹣30°＝30°．
又∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DBE＝∠BDE．
∴BE＝DE．
设EC＝xm，则DE＝BE＝2EC＝2xm，DC＝EC+DE＝x+2x＝3xm，
BC＝ ＝ ＝ x，
由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC＝DC，
∴ x+24.4＝3x，
解得：x＝ ，
2x＝ ≈37.54m．答：塔高约为37.54m．
故选：B．
综合运用：锐角三角函数
1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC= =5x，
EM= = x，
CM= =2 x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM= = ．
2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点
O，求tan∠AOD．
【解析】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF= CK，BF= BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF= CF= BF，
在Rt PBF中，tan∠BOF= =2，
∵∠A△OD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
3.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，求△ABC的面积。
【解析】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD △ =ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt ACD中，∵AC=2 ，
△
∴CD= = = ，
则BC=BD+CD=6 ，
∴S = •BC•AD= ×6 ×5=15 ；
ABC
△
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5 ，CD= ，
则BC=BD﹣CD=4 ，
∴S = •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
ABC
△
综上，△ABC的面积是15 或10 。
4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC= ，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作
DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关
系式．
【解析】解：（1）在Rt CDE中，tanC= ，CD=x
△
∴DE= x，CE= x，
∴BE=10﹣ x，
∴S = ×（10﹣ x）• x=﹣ x2+3x．
BED
△
∵DF=BF，
∴S= S = x2 ，
BED
△
5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证： = ．
【解析】证明：如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt ABD中，sinB= ，
∴AD△=ABsinB，在Rt ADC中，sinC= ，
∴AD△=ACsinC，
∴ABsinB=ACsinC，
而AB=c，AC=b，
∴csinB=bsinC，
∴ = ．
6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格
的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得： ，
解得 ，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE=3或3 或 ；
（3）∵由图可计算AC=5，BC=4，
∴AB=∴sin∠BAC= ．
7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）
为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使
得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【解析】解：（1）如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．
M N
由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt NBC中，tan37°= = = ，
△
∴BN= x，
∵x+3+ x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）如图，作FH⊥AB于H，H
设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得 = ，
即 = ，
解得y=﹣7+2 或﹣7﹣2 （舍弃），
∴DF=2 ﹣7，
答：DF的长为（2 ﹣7）m．
8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的
边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、
D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米）．（参考数据： =1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt BCH中，CH= BC=5，BH=5 ≈8.65，
△∴DH=15，
在Rt ADH中，AH= = =20，
∴AB△=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．
9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣
H），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H 为北侧楼房底层窗台至地面高度．
1 1
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房
AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为
0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】
【解析】解：（1）在Rt EFH中，
△
∵∠H=90°，∴tan∠EFH=i=1：0.75= = ，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF= =5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，H=AB+EH=22.5+12=34.5，H=0.9，
1
∴日照间距系数=L：（H﹣H）= = ，
1
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴ ≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得
桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求
无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【解析】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD= AD，BD=AD•tan∠BAD= AD，
∴BC=CD﹣BD= AD=30，
∴AD=15 ≈25.98．
答：无人机飞行的高度25.98米。
