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专题 28.1 锐角三角函数
1.能根据锐角三角函数的概念进行计算；
2.熟练运用给出的锐角三角函数值进行有关计算；
3.知道特殊角的三角函数值，以及能根据特殊的三角函数值得到对应角
一、锐角三角函数的概念
如图所示，在 中， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也叫做 的邻
边， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也是 的邻边，直角 所对的边 记为 ，叫做斜
边．
B
c
a
A C
b锐角 的对边与斜边的比叫做 的正弦，记作 ，即 ；
锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ；
锐角 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 ，即 .
同理 ； ； ．
注意：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2） 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，不能
理解成 与 ， 与 ， 与 的乘积．书写时习惯上省略 的角的记号“∠”，但对三个
大写字母表示成的角(如 )，其正切应写成“ ”，不能写成“ ”；
另外, 常写成 .
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（ 4 ） 由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 知 ： 当 角 度 在 间 变 化 时 ，
二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
考点01利用定义求三角函数值
例1．在 中， ，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
【答案】B
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数
的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相
似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．
【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就
不变．
故选：B．
变式1-1．如图，在 中， ， ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握
锐角三角函数的定义是解题的关键.
【详解】解：在 中,
故选： ．
变式1-2．已知 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、特殊角的三角函数值；熟练掌握几个特殊角的三角函数值是解题
的关键．
先根据三角形的内角和是 可求得 的度数，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ；
则 ．
故选：C．
变式1-3．如图，在直角 中， ， 于点D，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的三角函数定义．由锐角的正弦定义，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
故A符合题意，B不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故C D不符合题意，
故选：A
考点02根据三角函数值求边长
例2．等腰三角形的底角是 ，腰长为 ，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及解直角三角形，先根据余弦求出等腰三角形的底，再根据等腰三
角形的性质即可求出周长．【详解】解： ，
等腰三角形的底 ，
等腰三角形的周长 ，
故选：C．
变式2-1．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ， ， ，则
的面积的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角函数值求边长，过 作 交 延长线于点 ，由
，求出 ，再根据平行四边形的性质得出 ，最后利用面积公式即可求
解，解题的关键是熟练掌握三角函数求边长及平行四边形的性质．
【详解】解：过 作 交 延长线于点 ，如图，
∴ ，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ 的面积为 ，
故答案为： ．
变式2-2．如图，在 中， ， ，分别以点A和点 为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧相交于 两点，作直线 ，交边 于点 ，连结 ，若 ，则 的长为
；
【答案】8
【分析】由作图可知， 是线段 的垂直平分线，得到 ，解 即可求解．
【详解】解：由作图可知， 是线段 的垂直平分线，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
由勾股定理，得 ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握线
段垂直平分线的性质是解题的关键．变式2-3．为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出
．这张光盘的半径是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，特殊角的三角函数值，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连
接 ， 根据题意， ， ，
，计算即可．
【详解】如图，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连接 ， ，
根据题意， ， ，
故 ，
解得 ．
故答案为： ．
考点03三角函数值的混合运算
例3．下列式子错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数计算．根据题意熟记特殊角三角函数值是解决本题的关键，逐一计算选项即可
选出本题答案．
【详解】解：A、∵ ，故A选项正确；
B、∵ ，故B选项正确；
C、∵ ，
∴ ，故C选项不正确；
D、∵ ，故D选项正确；
故选：C．
变式3-1． ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的函数值的混合运算，先化简各个特殊角的函数值，再根据加减法则进行计算，
即可作答．
【详解】解：
故答案为：
变式3-2．求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)1；
(2)1．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
（1） ，据此即可求解；
（2） 据此即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
变式3-3．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算；
（1）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
考点04构造直角三角形求三角函数值
例4．如图， 的顶点都在方格纸的格点上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和图形，可以得到 长，然后即可求得 的值．
【详解】解：延长 到 ，连接 ，如右图所示，
由题意可得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．变式4-1．如图，在 中， ， ．若 是 上一点，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到 ，设CD=1，则
可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、BD的长，根据同角三角函数之间的关系即可求解．
【详解】解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD= ，
设CD=1，则BC= ，AC= ，
∴AD=AC-CD= ，在直角△ABC中，AB= ，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE= ，
∵AE2+DE2=AD2，
∴x2+( )2= ，
解得：x= ，
则DE= ，
∵BD= ，
∴sin∠ABD= ．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关
键．
变式4-2．把一副三角板按如图方式放置，含 角的顶点 在等腰直角三角板的斜边 的延长线上，
， ，则 的值是（ ）．
A． B． C． D．【答案】A
【分析】作 于 ，由等腰直角 可得AF和BC的关系式；再由直角 可得AD和DE
的关系式；再结合 ，从而计算得到答案．
【详解】作 于
∵ 且
∴
∵含 角的顶点 在等腰直角三角板的斜边 的延长线上
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、含 角的直角三角形和三角函数的知识；求解的关键是熟练掌握
等腰直角三角形和含 角的直角三角形的性质，结合三角函数定义从而完成求解．
变式4-3．如图，在等腰三角形 中， 是锐角，且 ．(1)求 ；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角，勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握勾股定理解直角三角形，等腰三
角形性质，正弦和正切定义，是解决问题的关键．
（1）过点 作 交 于点 ，根据 正切值得到 ， 设 ，根据勾
股定理推出 ，即得 ．
（2）设 ，得到 ，根据勾股定理得到 ， 根据 ，推出
，即得 ．
【详解】（1）如图，过点 作 交 于点 ，
，设 ，
，
．
（2）设 ，
则
，
，
．
考点05利用三角函数值求角度
例5．某同学遇到了这样一道题： ，则锐角 的度数应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角三角函数，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据45度角的正切值为1即
可求得锐角 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
变式5-1．在 中， ， ，则 的形状（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．无法确定
【答案】A【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得 、
，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：由 ，得 ，
，得 ，
，
故是锐角三角形，
故选：A．
变式5-2．已知 中， 均为锐角，且满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对
值的非负数．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
变式5-3．关于x的方程 有两个相等的实数根，其中 是锐角三角形 的一个内角，
则 ．
【答案】 /30度
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当 时，方程有两个相等的
实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式 ，即可得出关于 的一元二次方程，解
之即可得出 的值，由特殊三角函数值即可求解此题．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ．又∵ 是锐角三角形 的一个内角，
∴ ．
故答案为： ．
考点06已知角度求三角函数值的大小
例6．已知 ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三
角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即
可．
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而 ，所以 ，
因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以 ，即 ，因此选项B不符合
题意；
C．由于 ，而 ，即 ，所以 ，即
，因此选项C不符合题意；
D．由于 锐角 的对边除以斜边， 锐角 的对边除以锐角 的邻边，而锐角的邻边小于斜边，
所以 ，因此选项D符合题意．
故选：D．
变式6-1．若 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 随 的增大而增大 B．cos 随 的减小而减小C．tan 随 的增大而增大D．
0<sin <1
【答案】B
【分析】如图，作半径为 的 ， 均为直径， 都在 上，利
用锐角三角函数的定义分析可得答案．
【详解】解：如图，作半径为 的 ， 均为直径，
都在 上，由
显然， ＜ ，而 ＜ ，
所以当 时， 随 的增大而增大，故A正确；
同理可得：
当 时，cos 随 的减小而增大，故B错误；
当 时，tan 随 的增大而增大，故C正确；
当 ，当点 逐渐向 移动，边 逐渐接近 ，
逐渐接近
当 时，0<sin <1，故D正确；
故选B．
【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是
解题的关键．
变式6-2．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 ，阻力臂 ，如果动力F的用力
方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定【答案】A
【分析】根据杠杆原理及 的值随着 的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时 的度数越来越小，此时 的值越来越大，
又∵动力臂 ，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本
题的关键．
变式6-3．比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义 ，正切定义 ，根据分子相同，分母越大，
分数越小，进行比较即可．
【详解】解：根据题意作图如下，
在 中， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
考点07互余两角的三角函数关系例7．计算：s ．
【答案】0
【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握
三角函数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
故答案为：0．
变式7-1．在 中， ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解答本题的关键．
根据题意画出三角形，通过已知条件，表示出 ， ， 的长，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
如图， ， ，
设 ， ，
则 ，
．
故答案为： ．变式7-2．化简 等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出 ，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简
即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
变式7-3．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
如图2：
如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在 中， ，都有 ；
②如图4，在 中， ， ， ， 的对边分别是 ， ， ，利用三角函数的定义和
勾股定理，证明你的猜想；
③已知： ，且 ，求 ．【答案】1，1，1①1②见解析③
【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；
①由上计算可想到在 中， ，都有 ；
②在 中， ，利用锐角三角函数的定义得出 ， ，则 ，
根据勾股定理得到 ，从而证明 ；
③利用关系式 ，结合已知条件 ，进行求解．
【详解】由图可知：
故答案为：1，1，1．
①观察上述等式，可猜想：
故答案为：1．
②在 中，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
③∵ ，
∴
【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．
考点08根据三角函数值求锐角的取值例8．若锐角 满足 ，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行
判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
故选C．
变式8-1．已知 为锐角，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可．
【详解】解：当 时， ，
∵ 为锐角，正弦值随着角度的增大而增大，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而
增大，是解题的关键．
变式8-2．已知 ，则锐角 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是
解题的关键．
【详解】解：由 ，∴ ，
∵当 时， 随着 的增大而减小，
∴ ，
故答案为：
变式8-3．若锐角 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据 得到 ，进而求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增
减性．
考点09三角函数的综合1+3
例9．如图，四边形 是 的内接四边形， 是直径， ， ，则四边形 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是半圆（直径）所对的圆周角是直角，三角函数综合，解题关键是利用辅助线
划分四边形面积，结合三角函数求解．延长 交圆于点 ，连 ， ，结合三角函数可得：
，推得 ， ， ，根据
即可求解．
【详解】解：延长 交圆于点 ，连 ， ，设 ，
， ，
，
，
是直径，
，
又 ， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
变式9-1．如图，矩形 的边 在 轴上， 在 轴上，点 ，把矩形 绕点 逆时针旋
转，使点 恰好落在 边上的 处，则点 的对应点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数公式，过点 作 轴于点N，
过点 作 轴于点M，根据勾股定理，三角函数计算即可．
【详解】∵矩形 的边 在 轴上， 在 轴上，点 ，矩形 绕点 逆时针旋转，使
点 恰好落在 边上的 处，
∴ ， ， ，
过点 作 轴于点N，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
根据旋转的性质，得 ；
过点 作 轴于点M，
则 ，
∴ ；∴ ；
∴ ， ；
解得 ， ，
故点 的坐标为 ．
故答案为： ．
变式9-2．如图， 中， ，将 绕点A逆时针旋转，使得C点对应的 恰在CB
延长线上，点B的对应点为 ，连接 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】延长 二线交于点E，过点 作 于点F，利用三角形相似，勾股定理，三角函
数，旋转的性质，等腰三角形三线合一性质计算即可．
【详解】延长 二线交于点E，过点 作 于点F，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数
的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数是解题的关键．变式9-3．如图，在平行四边形 中， 为 中点， ， ， ．动点 从点 出
发，沿 以每秒1个单位的速度向终点 运动．连结 ，过点 作 ，且 ，
连结 ，点 和点 始终在直线 的同侧．设运动的时间为 秒．
(1)当点 沿 运动时，求 的长（用含 的代数式表示）．
(2)当点 落在 边上时，求 的值．
(3)连结 ，当 与平行四边形 的边平行时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ，8
【分析】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形的性质，锐角三角函数的意义，勾股定理以及分类讨
论思想，深入理解题意是解决问题的关键．
（1）根据点P的运动路线分点P在 上和在 上，两种情况分别用含t的代数式表示出 的长即可；
（2）根据 的正切值在直角三角形 中构建边角关系得到关于t的等式即可求出t值；
（3）分点Q在 上，点Q在 延长线上和点Q在 延长线上三种情况进行讨论分别求出t值即可．
【详解】（1） ，M是 中点，
，
点P的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t，
当点P在 上运动时，PM =t，
，当点P在 上运动时，
，
综上
（2）
如图，当Q在 边上时
在 中， ，
，
，
（3）由题意可知，当点Q在直线 或直线 上时， 与平行四边形 的边平行，分三种情况∶
①当点Q在线段 上时，
由（2）可得 ;
②当点Q在 延长线上时，如图
过A作 于N，
， ， ，
，在 中，由勾股定理得：
，
，
解得：
③当点Q在 延长线上时，如图
， ，
，
在 中，由勾股定理得：
，
，
解得：
综上所述，当AQ与平行四边形ABCD的边平行时，t的值为2或 或8
基础过关练
1．在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断．
【详解】解：如下图，
A. ，故该选项不成立，不符合题意；
B. ，故该选项不成立，不符合题意；
C. ，故该选项不成立，不符合题意；
D. ，故该选项成立，符合题意．
故选：D．
2．在 中， ， ， ，则边 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦的概念是解题的关键．
如图，由题意知， ，可求 ，然后根据勾股定理求 即可．
【详解】解：如图，
由题意知， ，即 ，
解得， ，
由勾股定理得， ，
故选：B．3．在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且 、 相交于点
O，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握知识
点是解题的关键，连接 ， ，证明 是等腰直角三角形，四边形 是平行四边形，利用特殊
角的三角函数值计算即可．
【详解】如图，连接 ， ，
根据题意，得 ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选B．
4．如图，已知： 是 斜边 上的高线， 是 斜边 上的高线，如果 ，
，那么 等于（ ）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，设 ，先证明 ，
根据等角的正切值相等可得 ，再证明 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可
得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
5．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东 的方向且与轮船相距52海里．若该轮
船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离 是 海里．（用含三角函数的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据 ，即
可求出 的值．
【详解】解：在 中， ，
， 海里，
（海里），
故答案为： ．
6．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公
式 ，求 的值，即
．试用公式
，求出 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．将 化为 和 两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来
解答．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
7．如图，在四边形 中，连接 ， ， ， ．若 ， ，
则 ．
【答案】
【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据 ，可得 为等腰直角
三角形，以及可证 ，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程求出x、y的值，即可求得BD
的值．
【详解】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，
在 中， ，
，
设BE为x，DE为y，则根据勾股定理可得： ，
即： ，
， ，
，
，
，
，即 ；
根据 ，
解得： ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三角形性质以及勾股定
理列出方程是解题的关键．
8．如图，在 中， ， ，以 为直径作 ，交斜边 于点 ，点 在直
径 右侧的半圆上，且 ，连接 ，则 的长度为 .
【答案】 /【分析】连接 ，过点B作 于点M，连接 ，证明 为等边三角形，得出
，求出 ，利用特殊角的三角函数值，求出
， ，即可得出答案．
【详解】解：连接 并延长交 ，过点B作 于点M，连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，等边三角形的判定和
性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判定．
9．如图，点 在 轴的正半轴上，抛物线 与直线 在第一象限内的交点为 ，试求 的
值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，求出点B的坐标是解题的关键．
把 代入二次函数解析式求出x的值，得到点B的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解．
【详解】解：当 时， ，
解得 ， 舍去 ，
∴点 的坐标为 ，．
10．学习完特殊角的三角函数，爱思考的小明同学想探究一下 的值．他的做法是：如图，先画
，使得 ，再延长 到 ，使 ，连接 ．你能根据小明的做法，
求出 的值吗？请你试一试．
【答案】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值以及勾股定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
令 ，故可求出 的值，从而得到答案．
【详解】解：令 ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
．
11．如图，在 中， 于点 ， ， ， ．(1)求 的大小；
(2)若点 ， 分别为 ， 的中点，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理：
（1）根据等腰三角形的判定可得 ，在 中，可得 ，即可求解；
（2）根据直角三角形的性质可得 ，再由三角形中位线定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ ．
12．如图，正方形 的边长为1，延长边 到点 ，使 ，连接 ．
(1)求 的度数；(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，解直角三角形：
（1）根据正方形的性质可得 ，再结合三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，即可求解；
（2）根据正方形的性质可得 ，根据勾股定理可得 ，从而得到
，然后根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵正方形 的边长为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
能力提升练
1．如图，在正方形 中，点 为边 的中点，连接 、 、 ，且 交 于 ， 交
于 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．由相似
三角形的判定和性质可求 ，由勾股定理可求 的长，即可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ， ，
点 为边 的中点，
，
，
∴ ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中， ， 交 的延长线于 ．若 ，则
的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，
过点 作 轴于点 ，由 得到 ，进而由平行线的性质得到 ，得到
，由 ，设 ，可得到 ，根据正切的定义计算即可求解，掌握等腰直角
三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选： ．
3．如图，点A，B，C在半径为5的 上， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作直径 ，连接 ，勾股定理求得 ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ，进而
根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，
作直径 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
4．如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，若 ，则 的值为
．【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正弦，掌握菱形的性质，正弦的定义是解题的关键．
过点 作 交于点 ，根据菱形的性质和勾股定理求出 ，再根据菱形的面积公式求得
，最后根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：过点 作 交于点 ，
四边形 为菱形， ，
， ， ，
在 中，
故答案为： ．5．如图，在边长为1的小菱形组成的网格中， ，A、B、D、E四点都在这些小菱形的顶点上，
相交于P点，则 的正切值为 ．
【答案】
【分析】如图，取格点C、G，连接 ．过D作 于F，构造直角三角形，利用正切定义计
算即可．
【详解】解：如图，取格点C、G，连接 ．过D作 于F，
由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
6．如图，在 中， ， ，点D为边 的中点，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理．作 于点 ，利用
等腰直角三角形的判定与性质得出 ， ，然后通过 ，即可求
得 的值即可．
【详解】解：作 于点 ，如图所示：
在 中， ， ，
，
点D为边 的中点，
，
于点 ，
，
，
，．
故答案为： ．
7． 是 的直径，弦 于点 ，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正弦函数：
（1）连接 ，先根据垂径定理得出 ，再根据勾股定理得出 ，再
求出 ，进而根据勾股定理得出答案；
（2）先求出 ，再根据勾股定理得出 ，进而根据
得出答案．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 是 的直径，弦 于点 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
8．如图， 是 的直径， 是 的弦，且 ，垂足为E，连接 ，过点B作 的切
线，交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若点 是 的中点，且 ，求线段 的长；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线性质定理，勾股定理，正切函数计算；
（1）根据切线性质，垂直的定义，圆周角定理，余角的性质，证明即可．
（2）根据点 是 的中点，且 ，得到 ，利用勾股定理，得到 ，结合 计算即可．
【详解】（1）∵ 是 的直径，过点B作 的切线，交 的延长线于点F，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
（2）如图，连接 ，
∵点 是 的中点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
．
