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专题 28.1 锐角三角函数
1.能根据锐角三角函数的概念进行计算；
2.熟练运用给出的锐角三角函数值进行有关计算；
3.知道特殊角的三角函数值，以及能根据特殊的三角函数值得到对应角
一、锐角三角函数的概念
如图所示，在 中， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也叫做 的邻
边， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也是 的邻边，直角 所对的边 记为 ，叫做斜
边．
B
c
a
A C
b锐角 的对边与斜边的比叫做 的正弦，记作 ，即 ；
锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ；
锐角 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 ，即 .
同理 ； ； ．
注意：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2） 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，不能
理解成 与 ， 与 ， 与 的乘积．书写时习惯上省略 的角的记号“∠”，但对三个
大写字母表示成的角(如 )，其正切应写成“ ”，不能写成“ ”；
另外, 常写成 .
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（ 4 ） 由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 知 ： 当 角 度 在 间 变 化 时 ，
二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
考点01利用定义求三角函数值
例1．在 中， ，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
【答案】B
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数
的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相
似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．
【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就
不变．
故选：B．
变式1-1．如图，在 中， ， ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握
锐角三角函数的定义是解题的关键.
【详解】解：在 中,
故选： ．
变式1-2．已知 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、特殊角的三角函数值；熟练掌握几个特殊角的三角函数值是解题
的关键．
先根据三角形的内角和是 可求得 的度数，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ；
则 ．
故选：C．
变式1-3．如图，在直角 中， ， 于点D，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的三角函数定义．由锐角的正弦定义，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
故A符合题意，B不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故C D不符合题意，
故选：A
考点02根据三角函数值求边长
例2．等腰三角形的底角是 ，腰长为 ，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及解直角三角形，先根据余弦求出等腰三角形的底，再根据等腰三
角形的性质即可求出周长．【详解】解： ，
等腰三角形的底 ，
等腰三角形的周长 ，
故选：C．
变式2-1．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ， ， ，则
的面积的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角函数值求边长，过 作 交 延长线于点 ，由
，求出 ，再根据平行四边形的性质得出 ，最后利用面积公式即可求
解，解题的关键是熟练掌握三角函数求边长及平行四边形的性质．
【详解】解：过 作 交 延长线于点 ，如图，
∴ ，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ 的面积为 ，
故答案为： ．
变式2-2．如图，在 中， ， ，分别以点A和点 为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧相交于 两点，作直线 ，交边 于点 ，连结 ，若 ，则 的长为
；
【答案】8
【分析】由作图可知， 是线段 的垂直平分线，得到 ，解 即可求解．
【详解】解：由作图可知， 是线段 的垂直平分线，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
由勾股定理，得 ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握线
段垂直平分线的性质是解题的关键．变式2-3．为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出
．这张光盘的半径是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，特殊角的三角函数值，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连
接 ， 根据题意， ， ，
，计算即可．
【详解】如图，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连接 ， ，
根据题意， ， ，
故 ，
解得 ．
故答案为： ．
考点03三角函数值的混合运算
例3．下列式子错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数计算．根据题意熟记特殊角三角函数值是解决本题的关键，逐一计算选项即可
选出本题答案．
【详解】解：A、∵ ，故A选项正确；
B、∵ ，故B选项正确；
C、∵ ，
∴ ，故C选项不正确；
D、∵ ，故D选项正确；
故选：C．
变式3-1． ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的函数值的混合运算，先化简各个特殊角的函数值，再根据加减法则进行计算，
即可作答．
【详解】解：
故答案为：
变式3-2．求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)1；
(2)1．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
（1） ，据此即可求解；
（2） 据此即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
变式3-3．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算；
（1）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
考点04构造直角三角形求三角函数值
例4．如图， 的顶点都在方格纸的格点上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和图形，可以得到 长，然后即可求得 的值．
【详解】解：延长 到 ，连接 ，如右图所示，
由题意可得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．变式4-1．如图，在 中， ， ．若 是 上一点，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到 ，设CD=1，则
可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、BD的长，根据同角三角函数之间的关系即可求解．
【详解】解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD= ，
设CD=1，则BC= ，AC= ，
∴AD=AC-CD= ，在直角△ABC中，AB= ，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE= ，
∵AE2+DE2=AD2，
∴x2+( )2= ，
解得：x= ，
则DE= ，
∵BD= ，
∴sin∠ABD= ．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关
键．
变式4-2．把一副三角板按如图方式放置，含 角的顶点 在等腰直角三角板的斜边 的延长线上，
， ，则 的值是（ ）．
A． B． C． D．【答案】A
【分析】作 于 ，由等腰直角 可得AF和BC的关系式；再由直角 可得AD和DE
的关系式；再结合 ，从而计算得到答案．
【详解】作 于
∵ 且
∴
∵含 角的顶点 在等腰直角三角板的斜边 的延长线上
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、含 角的直角三角形和三角函数的知识；求解的关键是熟练掌握
等腰直角三角形和含 角的直角三角形的性质，结合三角函数定义从而完成求解．
变式4-3．如图，在等腰三角形 中， 是锐角，且 ．(1)求 ；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角，勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握勾股定理解直角三角形，等腰三
角形性质，正弦和正切定义，是解决问题的关键．
（1）过点 作 交 于点 ，根据 正切值得到 ， 设 ，根据勾
股定理推出 ，即得 ．
（2）设 ，得到 ，根据勾股定理得到 ， 根据 ，推出
，即得 ．
【详解】（1）如图，过点 作 交 于点 ，
，设 ，
，
．
（2）设 ，
则
，
，
．
考点05利用三角函数值求角度
例5．某同学遇到了这样一道题： ，则锐角 的度数应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角三角函数，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据45度角的正切值为1即
可求得锐角 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
变式5-1．在 中， ， ，则 的形状（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．无法确定
【答案】A【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得 、
，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：由 ，得 ，
，得 ，
，
故是锐角三角形，
故选：A．
变式5-2．已知 中， 均为锐角，且满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对
值的非负数．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
变式5-3．关于x的方程 有两个相等的实数根，其中 是锐角三角形 的一个内角，
则 ．
【答案】 /30度
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当 时，方程有两个相等的
实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式 ，即可得出关于 的一元二次方程，解
之即可得出 的值，由特殊三角函数值即可求解此题．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ．又∵ 是锐角三角形 的一个内角，
∴ ．
故答案为： ．
考点06已知角度求三角函数值的大小
例6．已知 ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三
角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即
可．
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而 ，所以 ，
因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以 ，即 ，因此选项B不符合
题意；
C．由于 ，而 ，即 ，所以 ，即
，因此选项C不符合题意；
D．由于 锐角 的对边除以斜边， 锐角 的对边除以锐角 的邻边，而锐角的邻边小于斜边，
所以 ，因此选项D符合题意．
故选：D．
变式6-1．若 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 随 的增大而增大 B．cos 随 的减小而减小C．tan 随 的增大而增大D．
0
