文档内容
28.1 锐角三角函数（第二课时）导学案
学习目标
1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比，对边与邻边的比都是一个固定
值，引出余弦、正切的概念；
2.理解余弦、正切的概念并能根据概念正确进行计算；
3.经历余弦、正切概念的发现与学习过程，培养学生由特殊到一般的归纳推理能力.引导学生体验数学活动，
探索与发现新知识，使学生会用数学的思维方式去思考、发现、总结、验证.
重点难点突破
★知识点1： 余弦的概念：
如图，在直角三角形中，我们把锐角 A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A=
∠A所邻的边 b
=
斜边 c
★知识点2： 正切的概念：
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tan A=
∠A所对的边 a
=
邻边 b
★知识点3： 锐角三角函数的概念：
在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，
所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
核心知识
一、余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的_________与_________的比叫做∠A的余弦，
( )
记 作 cosA ， 即 cos A= =
( )( )
( )
二、正切的概念： 如图，在直角三角形中，我们把锐角A的______与_________的比叫做∠A 的正切，记
( )
作 tanA ， 即 tan A= =
( )
( )
( )
三、锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角 A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有
__________________________与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
复习巩固
【提问】简述正弦的概念？
新知探究
【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时∠A的对
边与斜边的比是否也随之确定呢？
AC A'C'
【探索一】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么 与 有什么关系．
AB A'B'
你能解释一下吗？AC
【探索二】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，你有其它方法能够证明
AB
A'C'
与 的关系吗？
A'B'
【问题一】你发现了什么？
余弦的概念：
【问题二】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 与 cosB 之间有什么关系？
典例分析
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.
【针对训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.
2．（2021·湖北宜昌·中考）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
❑√2 ❑√2 4 2❑√2
A． B． C． D．
3 2 3 3
❑√3
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ，AC=4❑√3，则AB长为（ ）
2
A．4 B．8 C．8❑√3 D．12
【针对训练】
3
1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，AC＝6cm，那么BC等于_____．
5
4
2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB= ，则AC=____.
5
新知探究
【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比、邻边与
斜边的比就随之确定，此时对边与邻边的比是否也随之确定呢？BC B'C'
【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，则 = 吗？尝试证明？
AC A'C'
【问题三】你发现了什么？
余弦的概念：
锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、
cosA、tanA都有__________________________与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐
角三角函数.
∠A的正弦值：
∠A的余弦值：
∠A的正切值：
典例分析
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.
【针对训练】
1．（2020·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
则（ ）A．c＝bsinB B．b＝csinB
C．a＝btanB D．b＝ctanB
2. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点A，B，C均在格点上，则 tanA的值是
（ ）
❑√5 ❑√10 1
A． B． C．2 D．
5 5 2
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，
sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.
4．（2022·内蒙古通辽·中考）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，
AE=AB，BE=DE，则tan∠BDE= ．
3
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝ ，AC＝12，则BC= ．
4
【针对训练】
3
1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC= ，求：
2
(1)CD的长 (2)cosB的值感受中考
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在△ABC中，∠B=60°，AB=4，若△ABC是锐角三角形，则满足
条件的BC长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
2．（2023·四川南充·中考）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，
已知∠BAC=α，则A，C两处相距（ ）
x x
A． 米 B． 米 C．x⋅sinα米 D．x⋅cosα米
sinα cosα
课堂小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 简述余弦、正切的概念？
3 .简述锐角三角函数的概念？
【参考答案】
新知探究
【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时∠A的对
边与斜边的比是否也随之确定呢？确定AC A'C'
【探索一】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么 与 有什么关系．
AB A'B'
你能解释一下吗？
AC A'C'
=
AB A'B'
证明：
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'
∴ Rt△ABC△ ARt'B△'C'
AC AB
∴ =
A'C' A'B'
AC A'C'
∴ =
AB A'B'
AC
【探索二】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，你有其它方法能够证明
AB
A'C'
与 的关系吗？
A'B'
证明：
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A’
∴ ∠B=∠B’ ∴ sin B =sin B’
AC A'C'
则 =
AB A'B'
【问题一】你发现了什么？
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，它的邻边与斜边的比是一个固定值，且比值的大小与直角三角
形大小无关.
余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A
∠A所邻的边 b
的余弦，记作cosA，即 cos A= =
斜边 c
【问题二】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 与 cosB 之间有什么关系？
sinA = cosB
典例分析
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.解：∵ ∠C=90°，∠A=30°， BC=2 ∴ AB=4,
由勾股定理得AC= =2
❑√AB2−AC2 ❑√3
AC 2❑√3 ❑√3
∴cosA= = =
AB 4 2
【针对训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.
解：∵∠C=90°，∠A=45°，BC=2 ∴ AC=2
由勾股定理得AB= =2
❑√AC2+BC2 ❑√2
AC 2 ❑√2
∴cos A= = =
AB 2❑√2 2
2．（2021·湖北宜昌·中考）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ B ）
❑√2 ❑√2 4 2❑√2
A． B． C． D．
3 2 3 3
❑√3
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4❑√3，则AB长为（ B ）
2
A．4 B．8 C．8❑√3 D．12【针对训练】
3
1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，AC＝6cm，那么BC等于__8___．
5
4
2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB= ，则AC=__5__.
5
新知探究
【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比、邻边与
斜边的比就随之确定，此时对边与邻边的比是否也随之确定呢？
确定
BC B'C'
【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，则 = 吗？尝试证明？
AC A'C'
证明：
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'
∴ Rt△ABCR∽t△A'B'C'
AC BC
∴ =
A'C' B'C'
BC B'C'
∴ =
AC B'C'
【问题三】你发现了什么？在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，它的对边与邻边的比是一个固定值，且比值的大小与直角
三角形大小无关.
余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A
∠A所对的边 a
的正切，记作 tanA，即 tan A= =
邻边 b
锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有____唯一
的确定的值____与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
∠A所对的边 a
∠A的正弦值：sin A= =
斜边 c
∠A所邻的边 b
∠A的余弦值：cos A= =
斜边 c
∠A所对的边 a
∠A的正切值：tan A= =
邻边 b
典例分析
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.
解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2∴AB=4,
由勾股定理得AC= =2
❑√AB2−AC2 ❑√3
BC 2 ❑√3
∴tanA= = =
AC 2❑√3 3
【针对训练】
1．（2020·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
则（ B ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB
C．a＝btanB D．b＝ctanB2. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点A，B，C均在格点上，则 tanA的值是
（ D ）
❑√5 ❑√10 1
A． B． C．2 D．
5 5 2
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
3❑√13 2❑√13 3
sinA=__
13
___，cosA=__
13
___，tanA=___2__，
2❑√13 3❑√13 2
sinB=___
13
__，cosB=____
13
_， tanB=___3__.
4．（2022·内蒙古通辽·中考）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE=AB，BE=DE，则
tan∠BDE= ❑√2−1 ．
3
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝ ，AC＝12，则BC= 9 ．
4
【针对训练】
3
1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC= ，求：
2
(1)CD的长 (2)cosB的值（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
AD 3 2
∵在Rt△ADC中，tanC= = ，∴CD= AD=4；
CD 2 3
（2）由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得： ，
AB=❑√AD2+BD2=10
BD 4
∴cosB= = ．
AB 5
感受中考
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在△ABC中，∠B=60°，AB=4，若△ABC是锐角三角形，则满足
条件的BC长可以是( C )
A．1 B．2 C．6 D．8
2．（2023·四川南充·中考）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，
已知∠BAC=α，则A，C两处相距（ B ）
x x
A． 米 B． 米 C．x⋅sinα米 D．x⋅cosα米
sinα cosα
