28.1锐角三角函数（第二课时）（分层作业）解析版_初中数学_九年级数学下册（人教版）_分层作业

28.1 锐角三角函数（第二课时）分层作业 基础训练 1．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a=6，b=8，c=10，则cos∠A的值 为（ ） 3 3 4 4 A． B． C． D． 5 4 5 3 【答案】C 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：在△ABC中， ∵a=6，b=8，c=10， ∴a2+b2=62+82=36+64=100，c2=100， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形， b 8 4 ∴cosA= = = ． c 10 5 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的 关键． 3 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，那么下列结论正确的是（ ） 5 3 4 4 3 A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 4 5 5 4 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图， AC 3 ∵sinB= = ， AB 5 ∴可设AC=3x,AB=5x，∴BC=4x， BC 4x 4 A、sinA= = = ，故本选项错误，不符合题意； AB 5x 5 AC 3x 3 B、cosA= = = ，故本选项错误，不符合题意； AB 5x 5 BC 4x 4 C、tanA= = = ，故本选项错误，不符合题意； AC 3x 3 AC 3x 3 D、cotA= = = ，故本选项正确，符合题意； BC 4x 4 故选：D 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边 比斜边，正切为对边比邻边． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则cosB等于（ ） 7 ❑√31 24 7 A． B． C． D． 24 24 25 25 【答案】C 【分析】根据勾股定理可求出BC的值，再根据余弦的计算方法求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7， ∴ ， BC=❑√AB2−AC2=❑√252−72=24 BC 24 ∴cosB= = ， AB 25 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理，余弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 4．在Rt△ABC中，AC≠BC，C=90°，则下列式子成立的是（ ） A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=tanB 【答案】B 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． BC AC 【详解】解：A、∵sinA= ,sinB= ，∴sinA≠sinB，故A不成立，不符合题意； AB ABBC BC B、sinA= ,cosB= ，∴sinA=cosB，故B成立，符合题意； AB AB BC AC C、tanA= ,tanB= ，∴tanA≠tanB，故C不成立，不符合题意； AC BC AC AC D、cosA= ,tanB= ，∴cosA≠tanB，故D不成立，不符合题意； AB BC 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法． 5．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 【答案】C 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值． 【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函 数值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关． 6．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米， ，则河宽PT的长度是（ ） ∠PQT=α m A．msinα B．mcosα C．mtanα D． tanα 【答案】C 【分析】结合图形利用正切函数求解即可．【详解】解：根据题意可得： PT tanα= ， PQ ∴PT=PQ·tan⁡α=mtan⁡α， 故选C． 【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，下列结论中正确的是（ ） BC BC AB AC A．sinA= B．cosA= C．tanC= D．cosC= AB AC BC BC 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， BC AB AB BC 则sinA= ,cosA= ,tanC= ,cosC= ． AC AC BC AC 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°、AB=5、BC=3，则tanA的值是（ ） 3 4 3 4 A． B． C． D． 4 3 5 5 【答案】A 【分析】先由勾股定理求出AC，再由正切的定义完成求解． 【详解】解：由勾股定理知： ， AC=❑√AB2-BC2=❑√25-9=4 BC 3 tanA= = ， AC 4 故答案选：A． 【点睛】本题考查勾股定理和正切的定义，准确求解AC是解题的关键．1 9．在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=（ ） 2 ❑√5 ❑√3 2❑√5 2❑√3 A． B． C． D． 5 2 5 3 【答案】C BC 1 【分析】根据三角函数的定义，知tanA= = ，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据 AC 2 三角函数的定义就可以求出sinB的值． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， BC 1 ∵tanA= = ， AC 2 ∴设BC=x，AC=2x， ， ∴AB=❑√BC2+AC2=❑√x2+(2x) 2=❑√5x AC 2x 2❑√5 ∴sinB= = = ， AB ❑√5x 5 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余 弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边． 10．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE=1m，则DF的长为（ ） tanα tanβ sinβ sinα A． B． C． D． tanβ tanα sinα sinβ 【答案】A BE CF 【分析】根据tanα= ，BE=CF，tanβ= ，求解即可． AE DF BE 【详解】∵tanα= ，AE=1m， AE ∴BE=tanα， ∵BE=CF， ∴BE=CF=tanα，CF ∴tanβ= ， DF CF tanα ∴DF= = ． tanβ tanβ 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用． 5 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= ，如果AB=14，那么AC= ． 7 【答案】4❑√6 【分析】根据余弦定义求得BC，再根据勾股定理求解即可． 5 BC 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= = ，AB=14， 7 AB 5 ∴BC= AB=10， 7 ∴ ， AC=❑√AB2−BC2=❑√142−102=4❑√6 故答案为：4❑√6． 【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键． 1 12．锐角α满足cosα= ，则cos(90°﹣α)= ． 3 2❑√2 2 【答案】 / ❑√2 3 3 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，△ABC，∠C=90°，∠A=α，则∠ABC=90°−α， 1 AC 由于cosα= = ，可设AC=k，则AB=3k， 3 AB 所以 ， BC=❑√AB2−AC2=2❑√2k BC 2❑√2k 2❑√2 ∴cos(90°−α)=cos∠ABC= = = ， AB 3k 32❑√2 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 13．如图，△ABC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan∠BAC= ． 4 【答案】 3 【分析】过C作CE⊥AB于E，则∠AEC=90°，求出AE和CE的长，再解直角三角形求出tan∠BAC即 可． 【详解】解：如图，过C作CE⊥AB于E， ∴∠AEC=90°， ∵小正方形的边长为1， ∴AE=3，CE=4， CE 4 ∴tan∠BAC= = ． AE 3 4 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB．（1）若AE=1，求△ABD的周长； 1 （2）若AD= BD，求tan∠ABC的值． 3 【答案】（1）1；（2）❑√2 【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到 DB=DC，由此即可求出△ABD的周长； (2)设AD=x，BD=3x，进而求出AC=AD+CD=4x，在Rt△ABD中使用勾股定理求得AB=2❑√2x， 由此即可求出tan∠ABC的值． 【详解】解：(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F， ∵DF为BC垂直平分线， ∴BD=CD， C =AB+AD+BD △ABD =AB+AD+DC =AB+AC ∵AB=CE， ∴C =AC+CE=AE=1． △ABD (2)设AD=x，∴BD=3x， 又∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x， 在 中， ． Rt△ABD AB=❑√BD2−AD2=❑√(3x) 2−x2=2❑√2x AC 4x ∴tan∠ABC= = =❑√2． AB 2❑√2x 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上 的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键． 能力提升 1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）1 ❑√3 A． B．1 C． D．❑√3 2 3 【答案】B 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形， 即可求出所求． 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC=❑√5，AC=❑√10，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定 理． 2．如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于 ． 3 【答案】 5 【分析】如图，△ABC中，根据等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为AB=AC=5k，底边长 1 EC 1 BC BC=6k，作AE⊥BC于E，则BE=EC= BC，在Rt△AEC中，根据cosC= = · ，即可解决 2 AC 2 AC 问题． 【详解】解：如图，△ABC中， ∵等腰三角形的腰与底边的比是5:6， 设腰长为AB=AC=5k，底边长BC=6k， 作AE⊥BC于E， 1 ∴BE=EC= BC， 2在Rt△AEC中， EC 1 BC 1 6k 3 ∴cosC= = · = × = ， AC 2 AC 2 5k 5 3 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 3．如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB=6，∠ABD=60°，则点D 的坐标 ． 【答案】(9，0) 【分析】由矩形的性质可知∠BAD=90°，再利用AB=6，解直角三角形得OB=3，BD=12，进而可得 OD=BD−OB=9，即可求得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90° ∵∠ABD=60°，AB=6， AB ∴OB=AB⋅cos60°=3，BD= =12， cos60° ∴OD=BD−OB=12−3=9， ∴点D的坐标为(9,0)． 故答案为：(9,0)． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，图形与坐标，熟练掌握相关性质及牢记特殊角的三角函数 值是解决问题的关键．3 4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝ ，则 4 折痕AE长是 ． 【答案】5❑√5cm 【分析】由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝ 3 BF ∠D＝90°，再由tan∠BAF= = 解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EF＝DE＝ 4 AB xcm，则CE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由 勾股定理得 ，计算求解即可． AE=❑√AD2+DE2 【详解】解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE ∵四边形ABCD为矩形 ∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90° 3 BF ∵tan∠BAF= = 4 AB ∴AB=8 由勾股定理得 （cm） AF=❑√AB2+BF2=10 ∴AD＝BC＝10（cm） ∴CF＝BC﹣BF＝4（cm） 设EF＝DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm 在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+（8﹣x）2 解得：x＝5 ∴DE＝5cm 在Rt△ADE中，由勾股定理得 （cm） AE=❑√AD2+DE2=5❑√5 故答案为：5❑√5cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系， 多次运用勾股定理求解． 拔高拓展 1．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4❑√2，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC 交于另一点D． (1)求BD的长； (2)连接AD，求∠DAC的余弦值． 4 【答案】(1) 3 4❑√2 (2) 9 【分析】（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AB和AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定 理即可解决问题； （2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题． 【详解】（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示： ∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4❑√2， ∴AB＝ ❑√BC2−AC2 ＝ ❑√62−(4❑√2) 2 ＝2， 1 1 ∵ AB•AC＝ BC•AH， 2 2 AB⋅AC 2×4❑√2 4 ∴AH＝ ＝ ＝ ❑√2， BC 6 3∴BH＝ ＝√ 4 2＝2， ❑√AB2−AH2 ❑22−( ❑√2) 3 3 ∵AH⊥BD， 2 ∴BH＝HD＝ ， 3 4 ∴BD＝ ； 3 （2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示： 4 4 由（1）得：AH＝ ❑√2，BD＝ ，AB＝2， 3 3 4 14 ∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣ ＝ ， 3 3 1 1 ∵ AH•CD＝ DM•AC， 2 2 4 14 AH⋅CD ❑√2× 14 ∴DM＝ ＝3 3 ＝ ， AC 9 4❑√2 在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝ ＝√ 14 2＝8 ， ❑√AD2−DM2 ❑22−( ) ❑√2 9 9 8 AM ❑√2 4 ∴cos∠DAC＝ ＝9 ＝ ❑√2． AD 9 2 【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 2．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE 和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF； (2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 64−x2 (2)tan∠DAF＝ 16x 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可； （2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据 勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD， 根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°， ∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE， 在△CEF与△ADF中， ¿， ∴△CEF≌△ADF（AAS）； （2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝x， ∴∠DCA＝∠BAC， 根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠EAC， ∴AF＝CF＝8﹣a， 在Rt△ADF中， ∵AD2+DF2＝AF2， ∴x2+a2＝（8﹣a）2，64−x2 ∴a＝ ， 16 DF 64−x2 ∴tan∠DAF＝ ＝ ． AD 16x 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根 据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．