文档内容
锐角三角函数章末复习
教学目标
1．掌握锐角三角函数的概念及其计算方法，熟记30°，45°，60°角的三角函数值．
2．掌握解直角三角形的概念，熟知直角三角形中的边角关系，能熟练地应用解直角三
角形解决简单实际问题．
3．了解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角的概念，并会解决有关的实际问题，通过对
具体问题的解决，体会并理解数形结合及数学建模的思想．
教学重点
1．锐角三角函数的概念及其计算方法．
2．解直角三角形及应用解直角三角形解决简单实际问题．
教学难点
运用解直角三角形知识解决有关的综合应用题．
教学过程
复习导入
请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
1．锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出直角三角形中
两个锐角的三角函数．
2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个
锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？
3．你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角
形的方法吗？
4．锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明这种应用吗？
【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生回顾已学知识，通过学生回答，检
查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．要点复习
考点一 锐角三角函数的概念
【例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝
，求sin C的值．
【师生活动】学生独立思考作答，请三名学生代表板演，教师讲评．
【分析】在Rt△ADC中，sin C＝ ，AD＝12，只需求出AC的长．若已知DC，则
可由勾股定理求出AC，而DC的长未知，若要由线段的数量关系BC＝BD＋DC求DC，则
需在Rt△ABD中求BD，利用tan∠BAD＝ 和AD＝12可得BD＝9．
【答案】解：∵AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝ ．
∵tan∠BAD＝ ，AD＝12，
∴ ＝ ．
∴BD＝9．
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5．
∴在Rt△ADC中，AC＝ ＝ ＝13．
∴sin C＝ ＝ ．
【归纳】求锐角三角函数值常用的方法：
（1）在直角三角形中，设法求出角的度数，利用特殊角的锐角三角函数值求解，或
者设法求出所在直角三角形的相应边长，根据锐角三角函数的定义求解；若不在直角三角形中，则要先构造直角三角形，再按上述方法求解；
（2）借助等角求值，即找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此角的三
角函数值．
【设计意图】通过例1，考查学生是否会求锐角三角函数值．通过学生练习和教师讲
解，巩固学生对求锐角三角函数值常用的方法的掌握．
【跟踪训练1】在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则tan B的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，∵sin A＝ ＝ ，设BC＝4k，则AB＝5k，AC＝3k，
∴tan B＝ ＝ ＝ ．
考点二 特殊角的三角函数值
【例2】计算：
（1） ；（2）8sin2 60°＋tan 45°－4cos 30°．
【师生活动】学生直接计算作答，请三名学生代表板演，教师讲评．
【答案】解：（1） ＝ ＝ ；
（2）8sin2 60°＋tan 45°－4cos 30°＝ ＝ ．
【归纳】熟记特殊角的三角函数值：
熟记30°，45°，60°角的三角函数值，以便用于计算．反过来，已知一个特殊角的三角
函数值，要能求出相应的锐角．
【设计意图】通过例2，考查学生是不是熟记30°，45°，60°角的三角函数值．【 跟 踪 训 练 2 】 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ A ， ∠ B 都 是 锐 角 ， 且 满 足
，则∠C的大小是（ ）．
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】D
【解析】由题意，得cos A＝ ，tan B＝1，
则∠A＝30°，∠B＝45°．
则∠C＝180°－30°－45°＝105°．
考点三 解直角三角形
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝ ．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan 15°的值．（精确到0.1，参考数据： ≈1.4， ≈1.7，
≈2.2）
【师生活动】学生独立思考作答，请三名学生代表板演，教师讲评．
【答案】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC的延长线于点D．
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°．
∴AD＝ AC＝2，CD＝AC·cos 30°＝4× ＝2 ．
在Rt△ABD中，∵tan B＝ ＝ ，∴ ＝ ．
∴BC＝16－2 ．
（2）如图，在CB上截取一点E，使得CE＝CA，连接AE．
∵∠ACD＝30°，AC＝4，
∴∠CEA＝∠CAE＝ ∠ACD＝15°，CE＝4．
∴tan 15°＝ ＝ ＝2－ ≈0.3．
∴tan 15°约等于0.3．
【归纳】解直角三角形的问题一般要通过作垂线等构造直角三角形，把非直角三角形
的问题转化成直角三角形的问题，进而利用锐角三角函数的定义求解．
【设计意图】通过例3，考查学生是否会解直角三角形．通过学生练习和教师讲解，
巩固学生对解直角三角形的方法的掌握．
【跟踪训练3】如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于
点C，连接AC交OB于点P．
（1）求证BP＝BC；
（2）若sin∠PAO＝ ，且PC＝7，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接OC．∵BC是⊙O的切线，
∴∠OCB＝90°．
∴∠OCA＋∠BCA＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OAC＋∠BCA＝90°．
∵∠BOA＝90°，
∴∠OAC＋∠APO＝90°．
∵∠APO＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠BCA．
∴BP＝BC．
（2）解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，
在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝ ，
设OP＝x，则AP＝3x，
∴AO＝2 x，AC＝3x＋7．
∴cos∠PAO＝ ．
∵AO＝OE，∴OE＝2 x．
∴AE＝4 x．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°．
∴在Rt△ACE中，cos∠CAE＝ ＝ ．
∴ ．
解得x＝3．∴AO＝2 x＝6 ．
即⊙O的半径为6 ．
考点四 解直角三角形的实际应用
【例4】某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电
子显示屏的高度．如图，他们先在点A测得电子显示屏底端点D的仰角∠DAC＝15°，再向
建筑物方向前进10 m到达点B，又测得电子显示屏顶端点E的仰角∠EBC＝45°，测得电
子显示屏底端点D的仰角∠DBC＝30°．（点A，B，C在同一条直线上，且与点D，E在同
一平面内，不考虑测角仪器高度）
（1）求此时他们离建筑物的距离BC；
（2）求电子显示屏DE的高度．
【师生活动】学生思考，小组讨论，并找学生代表回答，教师讲评．
【分析】（1）先观察图形，分清已知角的关系，利用三角形外角性质推理出∠DAC
＝∠ADB＝15°，根据等角对等边，得出AB＝DB＝10 m；再在Rt△BDC中，利用锐角三
角函数求出BC的长；
（2）因为DE＝EC－CD，所以分别解EC，CD所在的直角三角形，求出EC，CD，即可得出电子显示屏DE的高度．
【答案】解：（1）由题意，得∠ECB＝90°，AB＝10 m．
∵∠DBC＝∠DAC＋∠ADB，∠DAC＝15°，∠DBC＝30°，
∴∠ADB＝15°．
∴∠DAC＝∠ADB＝15°，∴AB＝DB＝10 m．
在Rt△BDC中，∵cos∠DBC＝ ，
∴BC＝BD·cos 30°＝10× ＝5 （m）．
∴此时他们离建筑物的距离BC为5 m．
（2）在Rt△BDC中，∵sin∠DBC＝ ，
∴CD＝BD·sin 30°＝10× ＝5（m）．
在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，
∵tan∠EBC＝ ，
∴EC＝BC·tan 45°＝5 ×1＝5 （m）．
∴DE＝EC－CD＝(5 －5)m．
∴电子显示屏DE的高度为(5 －5)m．
【归纳】在实际问题中，当有多个直角三角形时，一定要认真分析各条线段之间的关
系（包括锐角三角函数产生的比例关系、相等关系、和差关系等），同时注意方程思想在
解题中的应用．
【设计意图】通过例4，考查学生是否会应用解直角三角形解决简单实际问题．通过
学生练习和教师讲解，巩固学生对仰角、俯角的概念的掌握，体会数学建模思想在有关解
直角三角形的实际问题中的应用．
【跟踪训练4】如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个
娱乐场地所在山坡AE的长度，她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，再沿着坡
度是i＝1∶1（即tan∠CED＝1）的斜坡步行15 min到达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18 m/min，图中点A，B，E，D，C在同一平面内，且点D，
E，B在同一水平线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度（结果精确到0.1 m）．
【答案】如图，设过点C的水平线为CK，过点E作EF⊥AC于点F．
在Rt△CDE中，∵∠D＝90°，i＝tan∠CED＝ ＝1，
∴∠CED＝45°．
∵CK∥DB，∴∠KCE＝∠CED＝45°．
∴∠ECF＝∠KCE－∠KCF＝30°．
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝∠EFA＝90°．
∴在Rt△CFE中，sin∠ECF＝ ＝ ．
又CE＝18×15＝270（m），
∴EF＝135 m．
∵∠CEF＝90°－∠ECF＝60°，∠AEB＝30°，
∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠CEF－∠CED＝45°．
∴在Rt△AEF中，EF＝AE·cos∠AEF＝ AE．
∴AE＝ EF＝135 ≈190.9（m）．
∴娱乐场地所在山坡AE的长度约为190.9 m．
课堂小结板书设计
一、锐角三角函数的概念
二、特殊角的三角函数值
三、解直角三角形
四、解直角三角形的实际应用
课后任务
完成教材第84页复习题28第1～8题．
教学反思
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