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第 9 讲 锐角三角函数
知识点1 正弦、余弦、正切
锐角三角函数相关概念
正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角
三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。
∠A
锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做 的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定
了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值
°0<∠A<90°
范围均为：0 函数的增减性分别为：
∠A
①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大
∠A
②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而减小
∠A
③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大.
【典例】
1.在Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=
△
【答案】4；
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= =4，
∴sinA= = ，
2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．【答案】
【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO= =2 ，
AC= = ，
OC= = ，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB= = = ．
3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=
．
【答案】2
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC= = =4 ，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA= = =2 ．
【方法总结】1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
2、相等的角相对应的三角函数值相等。
3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。
4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角
三角形的相应边的长度之比.
【随堂练习】
1．（西湖区期末）在 Rt ABC中，∠C=90°，若sinA= ，AB=2，则AC长
是（ ）
△
A． B． C． D．2
【解答】解：∵∠C=90°，sinA= ，AB=2，
∴BC=AB×sinA=2× = ，
由勾股定理得：AC= = ．
故选：A．
2．（滨江区期末）三角函数 sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是
（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
【解答】解：∵sin30°=cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
3．（定安县期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA=____．
【解答】解：由勾股定理得：AC= = =6，
cosA= = = ，故答案为： ．
知识点2 特殊角的三角函数值
30° ，45° ，60°
特殊角的三角函数值主要是指 这三个角的三角函数值，如下表：
【典例】
1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）= ，则α等于 度．
【答案】70
【解析】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）= ，sin60°= ，
∴α﹣10°=60°，
∴α=70°．
2.4cos30°+ +|﹣2|= ．
【答案】3
【解析】解：原式= =3
【方法总结】
1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。
2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。
【随堂练习】
1．（杨浦区校级自主招生）求值： ．
【解答】解：，
故答案为： ．
2．（雨花区校级模拟）在 中， ，则锐角 的度数为 ．
【解答】解：由题意可得 ，所以 ，解得 ．
故答案为 ．
3．（顺昌县一模）计算：
【解答】解：原式
．
4．（天心区校级模拟）计算： ．
【解答】解：
．
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元
素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
【典例】
1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD= ，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
【答案】5或3【解析】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt ABD中，BD= = =4，
△
在Rt ADC中，tan∠CAD= = ，
∴CD△=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
综上：BC长为5或3。
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记| |
=a，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥
【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt OAB中，OB=5，AB=3，
△
∴OA= =4，
∴tan∠OBA= = ．
∴a=| |= =tan∠AOC=tan∠OBA= ．
故：a≥ ．
3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=
．
【答案】17或【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD= ，
∴ = ，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt AHD中，HD= =5，
△
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴ = ，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD= =17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′= = ，
故CD长为：17或 ．
【方法总结】
1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。
2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。
【随堂练习】
1．（宜昌）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都
在这些小正方形的顶点上，则 的值为A． B． C． D．
【解答】解：如图，过 作 于 ，则 ，
．
．
故选： ．
2．（博罗县一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格
点上，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据网格得： 中， ， ，
则 ，
故选： ．
3．（淄博一模）如图， ， ， 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则
的值A． B．1 C． D．
【解答】解：连接 ，
， ， ，
是直角三角形，
；
故选： ．
4．（郓城县一模）一般地，当 、 为任意角时， 与 的值可以用下
面的公式求得： ；
例如 ．类似地，
可以求得 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
5．（东阿县三模）如图， 是 的边 上一点，且点 的坐标为 ， ，则等于
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．
6．（武侯区模拟）如图， 的顶点都在正方形网格的格点上，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 于点 ，
，
故选： ．
知识点4 解直角三角形应用
①坡度，坡角∠ABC
如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的 称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面
的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用
ι
表示，记作
ι=
h:l,坡度通常写成1：m
α
的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
。
于是 ，显然，坡
α
度越大， 越大，坡面就越陡。
°
②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于 90 得角叫方位角.如图；
∠NOA,∠SOB,∠NOD,∠SOC
都是方位角.
° °
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35 ；目标方向OB表示的方位角为南偏东75 ；目标方向OC
° °
表示的方位角为南偏西45 ，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40 .
③仰角、俯角
如图：OC 为水平线，OD 为铅垂线，OA,OB 为视线，我们把视线 OA 与水平线 OC 所形成的
∠AOC成为仰角； ∠BOC
把视线 OB与水平线OC所形成的 称为俯角.在视线与水平线所成的角中，
当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的
角叫做俯角.【典例】
1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角
∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高
度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m
（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．
【答案】1.2
【解析】解：作DK⊥AH于K．
∵四边形DKHG是矩形，
∴DK=GH=3.05m，
在Rt ADK中．AK= =2.29（m），
∴DG△=HK=AH﹣AK=AB+BH﹣AK=1.74+1.74﹣2.29≈1.2（m）
2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行
1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏
东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行
小时即可到达．（结果保留根号）【答案】
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ﹣90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 = （小时）
3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门 A处，有一斜坡AB，斜坡AB的
坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角
∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门
处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈ ，cos53°≈ ，tan63.4°≈2，sin63.4°≈ ）
【答案】27.5
【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，在Rt ABG中，AB= =13米，
△
∴BG=DF= AB= ×19.5=7.5米，
在R BCF中，BF= = ，
t
△
在R CEF中，EF= = ，
t
∵BE△=4，
∴BF﹣EF= ﹣ =5，
解得：CF=20．
∴教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米．
【方法总结】
1、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
2、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
【随堂练习】
1．（鹿城区校级二模）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠BAC＝60°，∠DAC＝70°，则
竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A．2sin70° B．2cos70° C．2tan70° D．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠DAC＝70°，
∴cos60°＝ ＝ ，则AB＝2AC，
∴cos70°＝ ，
∴AC＝AD•cos70°，
AD＝ ，
∴ ＝
＝2cos70°．
故选：B．
2．（鹿城区校级二模）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，測得BC＝3米，∠ACB＝50°，则
AB的高为（ ）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
【解答】解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴拉线AC的长为BC＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故选：B．
3．（滨江区期末）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点 A离地面的高度AC＝
m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（ ）
A． B．m•sina C．m•cosa D．
【解答】解：在Rt ABC中，
△
∴sin∠ABC＝ ，
∴AB＝ ，
故选：D．4．（长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，
则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C． 米 D． 米
【解答】解：由题意可得：sinα＝ ＝ ，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
5．（宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方
形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5．
∴sin∠BAC＝ ＝ ．
故选：D．
6．（广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在
A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O
到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（
）A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°＝ ，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°＝ ，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．
7．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝ ，则
此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝ ，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝ ，
解得，AC＝75，
故选：A．8．（河北）如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选：B．
9．（淄博一模）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则sin∠ABC的值（
）
A． B．1 C． D．
【解答】解：连接AC，
AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC＝ ＝ ；
故选：A．
综合运用：锐角三角函数
1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC= =5x，
EM= = x，
CM= =2 x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM= = ．
2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点
O，求tan∠AOD．
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF= CK，BF= BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF= CF= BF，
在Rt PBF中，tan∠BOF= =2，
∵∠A△OD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
3.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，求△ABC的面积。
【解析】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD △ =ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt ACD中，∵AC=2 ，
△
∴CD= = = ，
则BC=BD+CD=6 ，
∴S = •BC•AD= ×6 ×5=15 ；
ABC
△
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，
则BC=BD﹣CD=4 ，
∴S = •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
ABC
△
综上，△ABC的面积是15 或10 。
4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC= ，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作
DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关
系式．
【解析】解：（1）在Rt CDE中，tanC= ，CD=x
△
∴DE= x，CE= x，∴BE=10﹣ x，
∴S = ×（10﹣ x）• x=﹣ x2+3x．
BED
△
∵DF=BF，
∴S= S = x2 ，
BED
△
5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证： = ．
【解析】证明：如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt ABD中，sinB= ，
∴AD△=ABsinB，
在Rt ADC中，sinC= ，
∴AD△=ACsinC，
∴ABsinB=ACsinC，
而AB=c，AC=b，
∴csinB=bsinC，
∴ = ．
6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格
的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意得： ，
解得 ，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE=3或3 或 ；
（3）∵由图可计算AC=5，BC=4，
∴AB=
∴sin∠BAC= ．
7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）
为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使
得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【解析】解：（1）如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．M N
由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt NBC中，tan37°= = = ，
△
∴BN= x，
∵x+3+ x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）如图，作FH⊥AB于H，
H
设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得 = ，
即 = ，
解得y=﹣7+2 或﹣7﹣2 （舍弃），
∴DF=2 ﹣7，
答：DF的长为（2 ﹣7）m．
8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的
边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、
D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；（2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米）．（参考数据： =1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt BCH中，CH= BC=5，BH=5 ≈8.65，
∴DH=15，△
在Rt ADH中，AH= = =20，
∴AB△=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．
9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣
H），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H 为北侧楼房底层窗台至地面高度．
1 1
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房
AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】
【解析】解：（1）在Rt EFH中，
△
∵∠H=90°，∴tan∠EFH=i=1：0.75= = ，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF= =5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H=0.9，
1
∴日照间距系数=L：（H﹣H）= = ，
1
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴ ≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得
桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求
无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【解析】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD= AD，BD=AD•tan∠BAD= AD，
∴BC=CD﹣BD= AD=30，
∴AD=15 ≈25.98．
答：无人机飞行的高度25.98米。
