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热点专题 08 锐角三角函数
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在 中， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也叫做 的邻
边， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也是 的邻边，直角 所对的边 记为 ，叫做斜
边．
B
c
a
A C
b
锐角 的对边与斜边的比叫做 的正弦，记作 ，即 ；
锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ；
锐角 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 ，即 .同理 ； ； ．
注意：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2） 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，不能
理解成 与 ， 与 ， 与 的乘积．书写时习惯上省略 的角的记号“∠”，但对三个
大写字母表示成的角(如 )，其正切应写成“ ”，不能写成“ ”；
另外, 常写成 .
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（ 4 ） 由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 知 ： 当 角 度 在 间 变 化 时 ，
考点二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
考点三、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在 中， 所对的边分别为 ，则有：
①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系： .
③边角之间的关系：
④ ， 为斜边上的高.
注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为 )，是已知值.
（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点四、解直角三角形的类型和解法
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
已知两直角边 A C
邻边
已知斜边和一条直角边
考点五、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出
几何图形，建立数学模型；
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的
问题；
（3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
1.坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表
示，则 ，如图，坡度通常写成 的形式.
2.仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，
如图.
3.方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向 PA，
的方位角分别为是 .（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角，叫做方向角，如图②中的
目标方向线 的方向角分别表示北偏东 ，南偏东 ，南偏西 ，北偏西 .特别
如：东南方向指的是南偏东 ，东北方向指的是北偏东 ，西南方向指的是南偏西 ，西北方向指
的是北偏西
注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，
最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来
解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，
进而根据条件选择合适的方法求解.
题型一 利用定义求三角函数值
【例1】如图，在 中，已知 ， ， ，那么 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据
余弦的定义计算出 ，然后利用勾股定理计算出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【例2】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正
南方照射的光线与水平线的夹角为 ，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC．
【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24，
，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键．
【变式1-1】在 中， ，则 边的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据三角形内角和定理可得， ，再根据三角函数的定义，求解即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∴ 为直角三角形，如下图：
由三角函数的定义可得， ，即
可得
A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意，
故选：A
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
【变式1-2】如图，在边长为 的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上， ，
相交于点P．
(1)求线段 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移 到直角 中，是解决本题的关键．
（1）利用勾股定理求得 的长，利用相似三角形的判定和性质即可求解；（2）利用网格的特点平移使 ，连接 ．根据题图和勾股定理先判断 的形状，再求出
的正弦，利用平行线的性质可得结论．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点B作 ，连接 ．
由网格和勾股定理可求得；
， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
在 中， ．
∵ ，
∴
∴ ．
【变式1-3】如图所示，在菱形 中， ， ，垂足为 ，若 ，则菱形周长为
．【答案】
【分析】
本题考查了三角函数，菱形的性质，勾股定理，由三角函数可得到边长比，再利用勾股定理设未知数列方
程是解题的关键，由 ，可得 ，设 ，由勾股定理得 ，再由菱形的性质求
解即可；
【详解】
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
四边形 是菱形，
，
，
菱形的周长 ．
故答案为：40．
题型二 比较三角函数值的大小
【例3】如果 ，那么 与 的差（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】B
【分析】 ，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可．【详解】∵ ，正弦函数随着角的增大而增大，
∴当 时， ，
，即 ，
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大．
【例4】s ， ， 的大小关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知： 和 都小于 ， 大于 ，故 最大；只
需比较 和 ，又 ，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知 ， ， ．
又 ，正弦值随着角的增大而增大，
．
故选D．
【变式2-1】已知 ，关于角α的三角函数的命题有：① ，② ，③
，④ ，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据 结合三角函数的增减性求解即可．
【详解】解：由 ，得 ，故①正确；
∵ ， ，∴ ，∴ ，故②错误；
当 时， ，故③错误；
，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解
题的关键．
【变式2-2】三角函数 、 、 之间的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数间关系，得出 ，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
又 ，余弦值随着角度的增大而减小，
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出 ．
【变式2-3】化简 等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出 ，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简
即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
题型三 特殊角三角函数值的计算
【例5】 的数值大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值，进行计算即可．【详解】解： ，
故答案为：A
【例6】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)0
(2)5
(3)
(4)
【分析】
本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式混合运算，零指数幂．熟记特殊角的三角函数值与掌握
二次根式混合运算法则是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可；
（2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则和零指数幂运算法则计算即可．
（3）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可；
（4）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式3-1】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式混合运算法则是解题的
关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可；
（2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式3-2】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查锐角三角函数，实数的混合运算；
(1)根据特殊角的三角函数值以及零指数幂进行计算即可求解；
(2)根据零指数幂，二次根式的性质化简，负整指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；（2）解：
【变式3-3】已知 为锐角，且 ，求 的值．
【答案】
【分析】
本题考查根据特殊角的三角函数值求角度和特殊角的三角函数值的混合运算．熟练记特殊角的三角函数值
是解题的关键．
先求出锐角A的度数，再把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】
解：∵ 为锐角，且 ，
∴ ，
∴原式
．
题型四 由特殊角的三角函数值求角度【例7】在 中， ， 为锐角， ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理分别求出
、 、 ，根据三角形的分类即可．
【详解】解：依题意， ，
， ，
是钝角三角形，
故选A．
【例8】如图， 是一正方形纸片．E、F分别为 ， 的中点，沿点D的折痕将A角翻折，使点A
落在 上的 处，折痕交 于G，则 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，折叠的性质等等，先证明四
边形 是矩形，得到 ，由折叠的性质可得 ，解直角三角形得
到 ，则 ， ，即可得到 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵E、F分别为 ， 的中点
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，由折叠的性质可得 ，
，
，
∴
．
故答案为： ．
【变式4-1】已知 ，则锐角α的度数是 ．
【答案】50°
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关键是掌握特殊角的正弦值．根据题意由特殊角的正弦值，即可
得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴锐角α的度数是 ，
故答案为： ．
【变式4-2】计算：已知α是锐角，且 ，计算
【答案】4
【分析】此题考查了含特殊角三角函数值的实数计算，利用特殊角的三角函数值求出 的度数，代入原式
计算是解本题的关键．
【详解】解：∵α是锐角，且 ，
∴ ，解得 ，
∴．
【变式4-3】如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，D为弧 的中点，过点D作
于点E，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是
作出正确的辅助线．
连接 ，先由圆周角定理及“等弧对等弦”证得 ，再由“同弧上的圆周角相等”证得
，结合 可推得 ，得出 ，则 ，再根据四边形内角
和定理可得 的大小．
【详解】如图，连接 ．
∵ 为 的直径，D为弧 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，则 ，∴ 是等腰直角三角形，又
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
∴
．
故选：B．
题型五 新定义问题
【例9】如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比叫做 的余割，用“ ”表示．
如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，定义新运算，根据定义逐项判断即可．
【详解】根据题意，得 ， ， ，
则 ，可知A，B不符合题意；
则 ，可知C符合题意；
则 ，可知D不符合题意．
故选：C．【例10】定义一种运算 ，计算 ．
【答案】
【分析】
本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，根据定义运算进行列式，再化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
【变式5-1】若定义等腰三角形顶角的 值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即 顶角
，若等腰 ， ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的
性质是解题的关键．过点A作 于 ，设 ， ，根据等腰三角形的性质及勾股定理
得 ，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点A作 于 ，过点 作 于 ，
，
设 ，则 ，
， ，，
根据勾股定理得， ，
．
故答案为： ．
【变式5-2】定义一种运算： ， ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得： ，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得：
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角函数值的计算，解题的关键是理解题意，得到
．
【变式5-3】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的
比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 ．如图1，在 中， ，
顶角 的正对记作 ，这时 底边 腰 ．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相
互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算： ______；
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______；
(3)如（3）图，已知 ， ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，
理解新定义是解此题的关键．
（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；
（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）由 ，令 ，则 ， ，在 上取点 ，使
，连接 ，作 ， 为垂足，表示出 的长，再计算出 ，最后由
正对的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为 时，等腰三角形底角为 ，则三角形为等边三角形，
底边 腰长 ，
故答案为：1；（2）解：当 接近 时，底边长接近0，由定义知 接近0，
当 接近 时，等腰三角形的底接近腰的 倍，由定义知 接近 ，
的正对值 的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）解：如图：
在 中， ，
令 ，则 ， ，
在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ， 为垂足，
∴ ，
， ，
．
题型六 同角三角函数的关系
【例11】已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程 根
与系数的关系： 和 是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出 ，
再结合 整体代入求值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：B．
【例12】在 中， ， 是 边上的高，如果 ， ，那么 的长为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得 ， ，再根据
即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， 是 边上的高， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．故选：C．
【变式6-1】如图，点A，B，C，D在 上， ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了同弧所对的圆周角相等以及利用三角函数求值，连接 ，可得 是直角三角形，利用圆
周角定理可得 ，在 中， ，利用三角函数可求出 的长
【详解】连接 ，如图所示，
，
∴
，
在 中，
，且 ，
，
故答案为： ．
【变式6-2】已知 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】分子分母同时除以 ，化成正切代入 即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【变式6-3】计算： ．
【答案】
【分析】根据同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．掌握同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，特
殊角的三角函数值是解题关键．
题型七 互余两角三角函数的关系
【例13】已知 ，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值， ， ，再由余弦函数值在锐角范围内，随角
度增大而减小即可得到答案
【详解】解： ， ，
由 可得 ，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数
值性质是解决问题的关键．
【例14】如图，在 中， ，点 在边 上，满足 ，若
，则图中等于 的角有 个．
【答案】2
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明 ，可得
， ，再证明 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ；
故答案为：2
【变式7-1】计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：
．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式7-2】在 中， ，则 的值为 ．
【答案】0.618/
【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余
弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出 ，从而根据互余两角的三角函数的关系即
可得出 ．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：0.618．
【变式7-3】如图，在 中， ，再添加一个条件就能够证明 是直角三角形．(1)给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ，其中可以选
择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
【答案】(1)②④
(2)见解析
【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．
（1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可；
（2）选择②，根据 ，得到 ，进而得到 即可；选择④，
等积式化为比例式，证明 ，得到 ，进而得到 即可．
掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：当 时，如图可知， 均为锐角，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，无法得到 是直角三角形；故①错误；
②当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故②正确；
若 是直角三角形，则： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，与 不符；故③错误；
当 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故④正确；
综上：可以选择的是②④；
故答案为：②④；
（2）选择②，证明如下：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
选择④，证明如下：
当 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是直角三角形．
题型八 解直角三角形
【例15】如图，四边形 内接于 ， ， ， ，C为 的中点，则
的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据C为 的中点，得到 ，利用等腰三角形性质推出 ，利用圆内接四
边形性质，得到 ，推出 ，进而可得 ，再利用解直角三角形推出
，进而求得 即可解题．
【详解】解： C为 的中点，
，
，
，
四边形 内接于 ， ，
，
，
，
，
，，
；
故选：C．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，解直角三角形，熟练掌
握相关性质并灵活运用，即可解题．
【例16】如图，将 绕点C顺时针旋转得到 ，点 落在斜边 中点上，连接 ，若
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查旋转的性质，解直角三角形，过点 作 ，根据旋转的性质，结合已知条件推出
，进而得到 ，解 ，求出 的长，进而求出 的长，利用勾股
定理进行求解即可．
【详解】解：过点 作 ，
∵旋转，
∴ ， ， ，∵点 落在斜边 中点上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式 8-1】如图，点 D、E、F分别在边长为 4的等边 的三边 上，且 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形：
（1）先由等边三角形的性质得到 ，再由三角形内角和定理和平角的定义证明
，即可证明 ；
（2）先求出 ，再解直角三角形得到 ，利用相似三角形的性质得到 ，则
．【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是边长为4的等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式8-2】如图，在 中， ， ， 的平分线 ，求 的度数及边
， 的长．
【答案】 ， ，
【分析】
本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解 ，结合角平分线的定义可得
，可得 的大小，再求解 ， 即可．
【详解】解：在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【变式8-3】定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角
形”．
(1)如图①，在 中， ， ，求证： 是“好玩三角形”；
(2)如图②，若等腰三角形 是“好玩三角形”， ，求腰长和底边长的比．
【答案】(1)见解析
(2)腰长和底边长的比为 或
【分析】
本题考查的是新定义的含义，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用，理解新定义的含义是解本题的
关键；（1）如图，取 的中点D，连接 ．由题意设设 ，则 ．结合勾股定理证明
，从而可得结论；
（2）分情况讨论：①如图，取 的中点G，连接 ，则 ．去 ，从
而可得答案；②如图，取 的中点 M，连接 ．过点 D 作 于点 H，则 ．设
，则 ， ．求解 ．即可得到答案；
【详解】（1）
证明：如图，取 的中点D，连接 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴设 ，则 ．
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 是“好玩三角形”．
（2）
分情况讨论：
①如图，取 的中点G，连接 ，则 ．又∵ ，
∴ ， ．
∴在 中，由勾股定理，得
，
∴ ＝ ＝ ，即腰长和底边长的比为 ．
②如图，取 的中点M，连接 ．
由题意，知 ．
过点D作 于点H，则 ．
设 ，则 ， ．
在 中，根据勾股定理，得 ．
在 中，根据勾股定理，得 ．
∴ ＝ ，即腰长与底边长的比为 ．
综上所述，腰长和底边长的比为 或 ．
题型九 解非直角三角形
【例17】如图，已知在 中， ， ，将 翻折，使点 与点 重合，折痕
交边 于点 ，交边 于点 ，那么 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点 作 于点 ，连接
．由翻折可知， ， ，设 ，在 中， ，可求得
，再利用勾股定理求出 ，在 中，
，即可求得 ，结合勾股定理可得 ，则
，进而可得出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，连接 ．
由翻折可知， ， ，
，
， ．
设 ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，，
，
则 ，
．
故答案为： ．
【例18】如图，在 中， ，求 和 的长．
【答案】 ，
【分析】如图，作 边 上的高 ． , ，分别使用勾股定理，计算
即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键．
【详解】解：如图，作 边 上的高 ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ．∴ ．
【变式9-1】如图， 是 的内接三角形， 为 的直径，过点 的直线交 的延长线于点 ，
连接 ，且 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角为直角可得 ，再说明 ，即可说
明 ，从而解决问题；
（2）过点 作 于点 ，首先根据 ， ，得 ，再解 即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
为 的直径，
，
， ，
，
在 中， ，
，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，含 角的直角三角形的性质，解三角形等知识，将问题转
化为解 是解题的关键．
【变式9-2】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m
的 处，测得一辆汽车从 处行驶到 处所用的时间为 .已知 ， ，那么这辆汽车速度
是 .（参考数据： ， ）【答案】30
【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作 于点D，利
用三角函数计算 ，后计算速度即可．
【详解】如图，过点A作 于点D，
根据题意，得 ， ， ，
∴ ， ，
解得 ，
∵汽车从 处行驶到 处所用的时间为 ，
∴ ，
故答案为：30．
【变式9-3】如图，在矩形 中， ，连接 ，点 在 上， 平分
．
【答案】 /
【分析】过点D作 ，由 平分 可得 是等腰直角三角形，再根据矩形
性质和勾股定理易求对角线 长，进而解三角形求出 、 即可解答．
【详解】解：过点D作 ，如图：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作 构造 是等腰直角三
角形，再解三角形．
题型十 解直角三角形的应用
【例19】如图，某一时刻旗杆 的影子落在水平地面上的部分影长 为5米，落在斜坡上的部分影长
为4米．已知斜坡 的坡度 ，此时太阳光线与斜坡的夹角 ,则旗杆 的高度约为
米．（结果精确到 米．参考数据 ）
【答案】【分析】延长 交 的延长线于点E，过点D作 与点F，根据坡度 ，计算
，结合 ，得到 ，继而得到 ， ，解直角三角形即可，
本题考查了坡度计算，熟练掌握坡度的意义是解题的关键．
【详解】延长 交 的延长线于点E，过点D作 与点F，
∵斜坡 的坡度 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【例20】舂（ ）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图1），一口石臼（ ）上架
着用一根木头做成的“碓（ ）身”，“碰”的头部下面有杵（ ）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横
杆，就像“翘翘板”中间支撑部位，“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碰头翘得更高，提高舂米效率．
舂米时，谷类放到内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高拍起来．碓尾落于深坑底部时，此时示意图
（如图2），测得碓头A所在位置仰角为 ，已知坑深 ，碰身长 ，求碓头 离地面的高度．
（结果精确到 参考数据： ， ，【答案】碓头 离地面的高度约为
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，设 与地面相交于点 ，过点 作 ，垂足为
，过点 作 ，交 的延长线于点 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答．
【详解】
解：如图：设 与地面相交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，交 的延长
线于点 ，
在 中， ， ，
，
，
，
在 中， ，
，
碓头 离地面的高度约为 ．
【变式10-1】我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神
舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚
运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得 距离是5000m，仰角为 ，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为 （参考数据： ，
， ）
(1)求点P离地面高度 的长；
(2)求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题主要考查了解直角三角形的应用；
（1）在 中，由正弦函数关系即可求解；
（2）在 中，由余弦函数关系求出 的长，再由等腰三角形的性质得 的长，从而求得 的
长，由速度、路程与时间的关系即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
则 ；
答：点P离地面高度 的长 ；
（2）解：在 中， ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则火箭从P处到Q处的平均速度为： ；
答：火箭从P处到Q处的平均速度为： ．
【变式10-2】如图，小丽家住在河畔的电梯公寓 内，河对岸新建了一座大厦 ．为了测量大厦的高
度，小丽在她家的楼底 处测得大厦顶部 的仰角为 ，楼顶 处测得大厦顶部 的仰角为 ．已知小丽所住的电梯公寓 高 ，请你帮助小丽算一算大厦的高度 及两楼之间 的距离．
【答案】 ，
【分析】
设 ，则 ， ，根据 即可求解，
本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：根据题目，列出数学表达式．
【详解】
解：设 ，则 ，
∴ ，则 ，
由 ，得 ，解得： ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
【变式10-3】如图，父子两人驾驶渔船同时从点A处出发，父亲驾船沿正北方向航行一段时间到达C处，
之后向西调转 ，继续航行2海里到达D处，并在D处停船捕鱼，儿子驾船沿正西方向航行6海里到达
B处，并在B处停船捕鱼，此时父亲在儿子的东北方向上．为方便联系，父子两人均携带有专用对讲机，
且对讲机信号的覆盖半径为5海里．两人均停船捕鱼时，父亲用对讲机跟儿子联系，儿子能否收到父亲的
呼叫信号？请说明理由．（参考数据 ， ， ， ）【答案】不能，理由见解析
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
过点D作 于E，过点C作 于F，解 ，求出 海里，从而求得
海里， 海里，在解 ，求得 海里，然后 长与5
海里比较即可得出结论．
【详解】解：如图，过点D作 于E，过点C作 于F，
∴在 中， ， 海里，
∵ ，
∴ ，
∴ (海里)，
∵ ， ， ，
∴
∴四边形 是矩形，∴ 海里，
∴ (海里)，
∵在 中， ，
∴ 海里
∴ (海里)
∵
∴儿子不能收到父亲的呼叫信号．
一、单选题
1．（2024·广东中山·一模）在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是已知正弦求解三角形的边长．根据正弦的定义“锐角 A的对边a与斜边c的比叫做 的正
弦”求解即可．
【详解】
解：在 中，
∵ ， ，
∴由 ，可得： ．
故选：C．
2．（2023·浙江温州·一模）如图，是梯子两梯腿张开的示意图， ，梯腿与地面夹角
，则梯子两梯脚之间的距离 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡度坡角的概念、等腰三角形的性质是解题的关键．根
据等腰三角形的性质得到 根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：D．
3．（2023·吉林长春·一模）如图， 是某大桥主塔的正面示意图， ，则
桥面宽度 （单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及等腰三角形性质．过点 O作 于点C，在 中，
利用三角函数求出 ，再利用等腰三角形性质即可求出 ．
【详解】解：过点O作 于点C，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在 中，D 为 BC 的中点，若 ， ．则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
此题主要考查了勾股定理的逆定理及锐角三角函数，准确识图找准线段间等量关系是解题关键．
先判定 为直角三角形，然后根据线段中点的概念分析可得 ，从而利用正切的概念计算求解．
【详解】解：∵点D为BC的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 为直角三角形，
在Rt 中， ，
故选：D．
5．（2024·山东济南·模拟预测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知
道 ， ， 角的三角函数值，现在来求 的值：如图，在 中，
，延长 使 ，连接 ，得 ．设 ，则 ，AB=
，所以 ，类比这种方法，计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在 中， ，延长 使
，连接 ，得 ，设 ，则 ，根据 进行
求解即可．
【详解】解：如图，在 中， ，延长 使 ，连接 ，得
，设 ，则 ，
，
在 中，
，
故选：B．
6．（2024·新疆伊犁·一模）如图，在 中， ， 以点A为圆心，适当长为半径画弧，
分别与 交于点 ．再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，画射
线 ，交 于点 ．则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据“直角三角形中 角所对直角边等于斜边一半”可得 ．由作图可知 是 的平
分线，由此可得 ．作 于E点，根据角平分线性质可得 ，根据三角函数的定
义可得 的长．进而可得 的长，最后根据三角形面积公式即可求出 的面积．
本题主要考查了角平分线的判定和性质，以及“直角三角形中 角所对直角边等于斜边一半”的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】
∵ 中 ， ，，且 ，
如图，作 于E点，
由作图可知 是 的平分线，
，
∵D点在 上，且 ， ，
，
，
故选：B．
7．（2024·陕西·二模）在 中， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查解直角三角形，特殊角的三角函数，首先根据题意画出图形，做 于点 ，根据题意
可推出 即可求解，关键在于根据题意画出图形，正确的通过作辅助线构建直
角三角形．
【详解】
解： 如图，做 于点 ，故选：C．
8．（2024·湖北武汉·一模）如图，在扇形 中， ，D为 上一点，且 ， ，
则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是扇形面积及不规则图形面积的计算、垂径定理及解直角三角形等知识，取 中点
M， 中点N，连接 作 交 延长线于点 ，
在 中，求出 ，进而求出 ，再求出半径 长，用扇形面积减去 即可得出．
【详解】解：取 中点M， 中点N，连接 作 交 延长线于点 ，
，
， 平分 ， 平分 ，
，
，在四边形 中， ，
，
在 中， ，
在 中，
，
在 中，
，
， ,
图中的阴影部分面积为 ，
故选：B．
二、填空题
9．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为E，若 ，
，则 的半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，连接 ，先由圆周角定理得到
，再由垂径定理得到 ，据此解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，∴ ，
∵弦 ， 为直径，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为
，看这栋楼底部的俯角为 ，热气球A处与地面距离为 ，则这栋楼的高度是 ．
【答案】100
【分析】此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，
过A作 ，交 的延长线于点E，在 中，求出 的长，则 ，在 中，求
出 的长，然后根据 即可得到这栋楼的高度．
【详解】解：过A作 ，交 的延长线于点E，在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
答：这栋楼的高度为100米．
故答案为：100．
11．（2023·湖北荆州·三模）计算： ．
【答案】 /
【分析】
本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式和零指数幂，熟知相关计算法则是解题
的关键．根据相关运算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为： ．
12．（2024·河南开封·一模）已知 ， ， 是 边上一点，当 是以 为腰的等腰
三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，等腰三角形的三线合一性质，根据题意分两种情况讨论即可．通
过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
①如图， 是等腰 的底，则 ，
∵ ， ，
过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ；
②如图， 是等腰 的腰，则 ，
∵ ， ，
过点A作 于点D，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．故答案为： 或 ．
13．（2024·安徽·一模）如图，正方形 约边长为4，点 ， 分别是 ， 上的动点，且
，将 沿 翻折，得到 ，连接 .
（1）线段 与 的长度关系是 ；
（2）当点 运动到 的中点时， 的长为 .
【答案】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得 ，从而证明 ，即可求解；
（2）根据折叠的性质得出 ，进而得出 ，即可求解．
【详解】
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．（2）当点 运动到 的中点时，如图，过点 作 于点 ，
正方形 边长为4，则
∵
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵
∵
∴ ，
又∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴
设 ，则
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，正切的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的
性质是解题的关键．
14．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点E为正方形 的边 上一点，连接 ， ，且 与相交于点M．若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，关键是由 ，得到
．
由 ，推出 ，得到 ，因此 ，令 ， ，由勾股
定理得到 ，即可求出 ．由 求解．
【详解】
解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
令 ， ，
，
．，
，
．
故答案为： ．
15．（2024·湖北武汉·一模）利用光的折射原理，叉鱼时应瞄准鱼的下方．如图所示，当人看到水中的
“鱼”在水面下方 处时，应对准“鱼”的下方 处叉鱼（结果根据“四舍五入”法保留小数点后
两位）．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】 /
【分析】本题考查了解直角三角形，结合题意得出 米， ，解出 长，在
中，求出 长，进而求出结论．
【详解】解：如下图，由题意得： 米，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
米，
米，
故答案为： ．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在 中， ，点D是边 上
一点（不含B、C两个端点），将 沿 折叠到 ，当 所在的直线与 的一边垂直时
点D到边 的距离是 ．
【答案】 或
【分析】
分两种情况：当 时，过点D作 于E，由折叠得： ， 可推出
，可求得 ，再运用三角函数定义即可求得 ；当当 时，可
证得 在同一条直线上，进而得出 ，求得 ，再运用三角函数定义求得 即
可．
【详解】解：如图，当 时，过点D作 于E，
在 中， ，
，
由折叠得： ， ，
，
，
，
，，
，
，
，即 ，
；
如图，当 时，过点D作 于E，
由折叠得： ， ， ，
， ，
，D，E在同一条直线上，
，
，
，
， ，
，
，
，
，即 ，
；
当 时，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，点D到 的距离是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角函数定
义等，注意分类讨论，防止漏解是解答本题的关键．
三、解答题
17．（2024·云南·模拟预测）计算：
【答案】6
【分析】
本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
利用零指数幂的性质以及负整数指数的性质，特殊角的三角函数值，二次根式的性质一次化简计算即可．
【详解】解：原式=
=
= ．
18．（2024·湖北武汉·一模）如图， 为 的直径，C为 外一点， 交 于点D，E为 的中
点，且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆的切线的判定，相似三角形判定与性质，垂径定理推论及圆周角定理的应用等知
识，
（1）连接 交 于点M，得出 ，证出 ， ，进而得出
，即可证出结论；（2）连接 ，证明 ，得出 ，根据 ，可求出结论．
【详解】（1）证明：连接 交 于点M，
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为 的切线；
（2）解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
由（1）知 ，，
，
，
，
，
，
．
19．（2023·四川成都·模拟预测）丘迟《与陈伯之书》：“暮春三月，江南草长，杂花生树，群莺乱
飞．”三四月份，各类风筝在成都某湿地公园的上空争奇斗艳！最令人瞩目的龙风筝引起了小月和同伴的
注意，中午12点左右他们在A处测得龙头M的仰角为 （龙头的大小不计，眼睛距地面的高度 为
），龙头正下方参照物C处的俯角为 ．求此时龙头风筝的高度（结果精确到 ）．（参考数据：
， ， ， ， ）．
【答案】此时龙头风筝的高度为
【分析】
本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握正切定义，构造直角三角形，是解题的
关键．
过点 A 作 ，垂足为点 D，利用锐角三角函数分别求得 ， ，根据
，即可求得结果．
【详解】
如图，过点A作 ，垂足为点D，由题意可知 ， ， ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故此时龙头风筝的高度为 ．
20．（2024·陕西西安·一模）如图， 与☉ 相切于点 ，半径 ， 与☉ 相交于点 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为 ， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质；
（1）连接 ，根据切线的性质得出 ，再由平行线的性质得出 ，利用圆周角定理
及等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）设 与 交于点 ，根据平行线的性质得出 ，根据 ，求得
，进而勾股定理求得 ，过点 作 于点 ，等面积法求得 ，进而根据 为等腰直
角三角形，即可求解．
【详解】（1）
证明：连接 ，如图所示：
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，设 与 交于点 ，
，，
，
，
☉ 的半径为 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，过点 作 于点 ，
，
由（1）得 ，
为等腰直角三角形， ．．
21．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在 中， ， 平分 交 于点D，过点
D作 交 于点E，F是 上的一点，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】
（1）根据角平分线的性质及 ，得到 ，由 ，得到四边形 是平行四边形，
根据 即可证明结论；
（2）由 解（1）四边形 是矩形，求得 的值，再根据解直角三角形求出 ，
即可解答．
【详解】（1）
证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ，
∴ ．
由（1）知，在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，∴ 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，含 直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角
形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
