文档内容
第 01 讲 锐角三角函数
课程标准 学习目标
1. 掌握锐角三角函数的定义及其求法，能够熟练求锐
①锐角三函数的定义
角三角函数。
②特殊的锐角三角函数值
2. 掌握特殊的锐角函数值，并能够熟练的进行计算。
知识点01 正弦函数
1. 正弦函数的定义与算法：
在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，∠A的 对边 与 斜边
的比值叫做∠A的正弦，记作 ，则 。
题型考点：①计算正弦三角函数值。②根据三角函数求边长
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则sinA的值是（ ）A． B． C． D．
【解答】解：∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴sinA＝ ＝ ．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，
∴sinB＝ ＝ ，
故选：B．
【即学即练3】
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则sinB＝（ ）
A． B．3 C． D．
【解答】解：设AC＝x，则BC＝3AC＝3x，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ x，
所以sinB＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
【即学即练4】
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝6，则AC＝（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝6，
∴sinA＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝10，
∴AC＝ ＝ ＝8．
故选：B．
【即学即练5】
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝ ，则AB的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【解答】解：∵sinA＝ ＝ ，
设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴3x＝6，
解得x＝2，
∴AB＝10．
故选：C．
知识点02 余弦函数
1. 余弦函数的定义与算法：
在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，∠A的 邻边 与 斜边
的比值叫做∠A的余弦，记作 ，则 。
题型考点：①计算余弦三角函数值。②根据余弦三角函数值求边长。
【即学即练1】
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：在直角△ABC中，AB＝ ＝ ＝2 ，
则cosA＝ ＝ ＝ ．故选：B．
【即学即练2】
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
由勾股定理，得AB＝ ＝ ，
由锐角的余弦，得cosA＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【即学即练3】
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝ ＝13，
∴cosB＝ ＝ ．
故选：A．
【即学即练4】
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝ ，如果AB＝14，那么AC＝ 4 ．
【解答】解：∵cosB＝ ，AB＝14，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝10，
∴AC＝ ＝ ＝4 ．
故答案为： ．
【即学即练5】
10．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若 ，AB＝12，则BC长为 1 6 ．
【解答】解：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝ ，AB＝12，
∴cosA＝ ＝ ＝ ，∴AC＝20，
∴BC＝ ＝ ＝16．
故答案为：16．
知识点03 正切函数
1. 正切函数的定义与算法：
在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，∠A的 对面 与 邻边
的比值叫做∠A的正切，记作 ，则 。
题型考点：①计算正切三角函数值。②根据正切三角函数值计算边长。
【即学即练1】
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴tanA＝ ＝ ，
故选：D．
【即学即练2】
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A． B．3 C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【即学即练3】
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠BAC的正切值为（ ）
A．5 B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴tan∠BAC＝ ＝ ．
故选：C．
【即学即练4】
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，tanA＝ ，则AB＝（ ）
A． B． C．4 D．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝2，tanA＝ ，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝2 ．
故选：B．
【即学即练5】
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26， ，那么BC＝ 1 0 ．
【解答】解：∵tanA＝ ＝ ，
∴令BC＝5x，AC＝12x，
∵∠C＝90°，∴AB＝ ＝13x＝26，
∴x＝2，
∴BC＝5x＝10．
故答案为：10．
知识点04 特殊角的锐角三角函数值
1. 特殊的锐角三角函数：
特殊角
三角函数
30°
45°
60° 1
题型考点：①特殊锐角三角函数值的计算。
【即学即练1】
16．求下列各式的值
（1）2sin30°﹣cos45°； （2）sin45°+tan30°•sin60°； （3）sin30°+cos30°．
【解答】解：（1）原式＝2× ﹣
＝1﹣ ；
（2）原式＝ + •
＝ +
＝ +
＝ ；
（3）原式＝ +＝ ．
【即学即练2】
17．计算：
cos30°＝ ； tan60°•sin45°＝ ；
|tan60°﹣2|＝ 2 ﹣ ； ＝ ．
【解答】解：cos30°＝ ；
tan60°•sin45°＝ ＝ ；
|tan60°﹣2|＝| ﹣2|＝2﹣ ；
＝ ＝ ．
故答案为： ， ，2﹣ ， ．
【即学即练3】
18．若（tanA﹣ ）2+（tanB﹣ ）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状．
【解答】解：由 ，得 ，则 ，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度．
∴△ABC为直角三角形．题型01 求锐角三角函数值
【典例1】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a＝3，c＝5，求sinA和sinB的值．
【解答】解：根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，a2+b2＝c2，
又∵a＝3，c＝5，
∴b2＝c2﹣a2＝16，
∴b＝4，
∴sinA＝ ＝ ，sinB＝ ＝ ．
【典例2】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求tanA和cosA．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴ ，
∴ ， ．
【典例2】
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sinA，cosA，tanA的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝
＝
＝5，
∴sinA＝ ＝ ，
cosA＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ ．题型02 根据锐角三角函数求边长
【典例1】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝ ，求AC．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝ ，
∵BC＝3，tanA＝ ，
∴ ＝ ，
解得：AC＝ ．
【典例2】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝ ，BC＝2 ，求AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝ ，
∵tanB＝ ，BC＝2 ，
∴ ＝ ，
解得：AC＝3，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ．
【典例3】
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10， ，求AC和AB．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝ ，
∵BC＝10，sinA＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝26，
∴AC＝ ＝ ＝24．
【典例4】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，AB＝26．求△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，
∴sinA＝ ＝ ，
∴BC＝24，
∴AC＝ ＝ ＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26+10+24＝60．
题型03 特殊的锐角三角函数值
【典例1】
计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°
＝3× +1﹣2×
＝ +1﹣
＝1．
【典例2】
计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【解答】解：（1）原式＝2× ﹣ + ×
＝ ﹣ +
＝ ；
（2）原式＝﹣1+2× ﹣ + +（ ）2
＝﹣1+ +3
＝2+ ．
【典例3】
计算：
（1）2sin30°﹣3tan45°+cos60°；
（2）cos245°﹣tan30°•sin60°．
【解答】解：（1）2sin30°﹣3tan45°+cos60°
＝2× ﹣3×1+
＝1﹣3+
＝﹣ ；
（2）cos245°﹣tan30°•sin60°
＝（ ）2﹣ ×
＝ ﹣
＝0．
【典例4】
在△ABC中，∠A与∠B都是锐角，且 ，则△ABC的形状是 等腰三角形
．
【解答】解：∵∠A与∠B都是锐角，且 ，
∴sinA﹣ ＝0，cosB﹣ ＝0，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴△ABC的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四个选项，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝ ＝3，
∴tanB＝ ＝ ，所以A选项不符合题意；
tanA＝ ＝ ，所以B选项不符合题意；
sinB＝ ＝ ，所以C选项符合题意；
cosB＝ ＝ ，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，则AB＝25，则BC＝（ ）
A．24 B．20 C．16 D．15
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°， ，
∴ ＝ ，
∵AB＝25，
∴BC＝15．
故选：D．
3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C 的对边，那么下列结论中错误的是（
）
A．a＝bcotA B．a＝csinA C． D．b＝atanB
【解答】解：∵由锐角三角函数的定义可知sinA＝ ，cosA＝ ，cotA＝ ，tanB＝ ，
∴a＝csinA，c＝ ，a＝ ，b＝atanB，
故A选项不符合题意．
故选：A．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么tanB的值是（ ）A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanB＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
5．已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【解答】解： ，
∵ ，
∴b＞a＞c．
故选：A．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanB＝ ＝ ＝ ，
∴∠B＝60°，
故选：D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝ ，若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【解答】解：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，
则扩大5倍后三边长是5b，5a，5c，
∵tanA＝ ＝ ，
∴扩大后tanA＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
8．在△ABC中，若 ，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【解答】解：∵|cosA﹣ |+2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣ ＝0，2（1﹣tanB）2＝0，
∴cosA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故选：C．
9．2cos45°﹣（ +1）0＝ ﹣ 1 ．
π
【解答】解：原式＝2× ﹣1＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，BC＝12，则AC＝ 1 6 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴ ，即 ，
∴AB＝20，
由勾股定理得： ，
故答案为：16．
11．已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ 7 5 度．
【解答】解：∵（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
12．如图，已知tan ＝ ，如果F（4，y）是射线OA上的点，那么F点的坐标是 （ 4 ， 2 ） ．
α
【解答】解：过F作FC⊥x轴于C，
∵F（4，y），
则OC＝4，CF＝y，在Rt△OFC中，tan ＝ ＝ ，
α
即 ＝ ，∴CF＝2，
即y＝2．
故答案为（4，2）．
13．计算：
（1）2cos60°+2sin30°+3tan45°；
（2）2sin230°﹣ ﹣（tan30°﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝2× +2× +3×1
＝1+1+3
＝5；
（2）原式＝2×（ ）2﹣ ﹣（ ﹣1）
＝2× ﹣ ﹣ +1
＝ ﹣ ﹣ +1
＝1﹣
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC ＝9，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，
∴b＝ ＝ ＝5 ，
∵sinA＝ ＝ ＝ ，∴∠A＝30°；
（2）∵tanA＝ ＝2，
∴a＝2b，
∵S△ABC ＝9，
∴ ＝9，
∴ ＝9，
解得：b＝3（负数舍去），
即a＝6，
由勾股定理得：c＝ ＝ ＝3 ，
∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3 ＝9+3 ．
15．已知四边形ABCD内接于 O，C是 的中点，FC⊥AC于C，与 O及AD的延长线分别交于点
E，F，且 ＝ ． ⊙ ⊙
（1）求证：△CBA∽△FDC；
（2）如果AC＝9，AB＝4，求tan∠ACB的值．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠FCD＝∠CAB．
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠FDC＝∠ABC，
⊙
∴△CBA∽△FDC；
（2）解：∵C是 的中点，
∴ ，
∴DC＝AC＝9．
∵△CBA∽△FDC，
∴ ，∴ ，
∴FC＝ ．
∵△CBA∽△FDC，
∴∠ACB＝∠CFD．
∵FC⊥AC，
∴tan∠CFA＝ ＝ ．
∴tan∠ACB＝tan∠CFA＝ ．
