文档内容
猜想 08 锐角三角函数（易错必刷 30 题 7 种题型专项训练）
一． 锐角三角函数的定义（共4小题） 二．同角三角函数的关系（共2小题）
三．特殊角的三角函数值（共5小题） 四．解直角三角形（共4小题）
五．解直角三角形的应用（共2小题） 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
一．锐角三角函数的定义（共4小题）
1．（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4，
∴tanA＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2022秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴cosA＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2022秋•城关区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，∠B的余弦值为 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，
∴cosB＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．（2022秋•济南期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ ．【分析】先根据已知条件，得出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出本题的答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴sinB＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据锐角三角函数的定义找出相应的对应边
是解题的关键．
二．同角三角函数的关系（共2小题）
5．（2022秋•西安期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， ，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB＝5，然后利用勾股定理求出AC＝4，最后利
用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， ，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴AC＝ ＝ ＝4，
∴tanA＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2022秋•兴化市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】先利用正切的定义得到tanA＝ ＝2，则设AC＝x，BC＝2x，利用勾股定理表示出AB＝ x，
然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：如图：∵∠C＝90°，
∴tanA＝ ＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝ ＝ x，
∴sinA＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利
用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．
三．特殊角的三角函数值（共5小题）
7．（2022秋•云州区期末）已知∠ 为锐角，且sin ＝ ，则∠ ＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
α α α
【分析】根据特殊角的三角函数值，判断即可．
【解答】解：∵∠ 为锐角，且sin ＝ ，
∴∠ ＝60°，
α α
故选：C．
α
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．（2022秋•郑州期末）若sin（x+15°）＝ ，则锐角x＝ 4 5 °．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：∵sin（x+15°）＝ ，
∴x+15°＝60°，
解得：x＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
9．（2022秋•永定区期末）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝ ，tanB＝1，则∠C＝ 105 ° ．
【分析】根据特殊角的三角函数值可得∠A＝30°，∠B＝45°，然后利用三角形内角和定理，进行计算即
可解答．
【解答】解：∵cosA＝ ，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．（2022秋•甘井子区校级期末） cos45°tan45°＝ 1 ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
【解答】解： cos45°tan45°
＝ × ×1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．（2023春•朝阳区校级期末）计算： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝2× ﹣ +1﹣ ×
＝ ﹣ +1﹣
＝ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
四．解直角三角形（共4小题）
12．（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（
）
A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝
【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义即可判
断A，B，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得∠C＝
∠BAD，从而在Rt△BAD中，利用锐角三角函数的定义即可求出cos∠BAD＝ ，即可判断D．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，cosC＝ ，tanC＝ ，故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝ ，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cos∠BAD＝ ，
∴cosC＝cos∠BAD＝ ，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，则AC＝ 4
．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后在
Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝AB•sin45°＝4× ＝2 ，
在Rt△ADC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AD＝4 ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2022秋•烟台期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，
则tanB＝ ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，然后在Rt△ABC中，
利用锐角三角函数是定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：
AB2＝22+22＝8，
AC2＝12+12＝2，
CB2＝12+32＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝ ，AB＝2 ，
∴tanB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（2022秋•桐柏县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD
的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30， ．则sin∠DBE的值为 ．
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB＝50，从而利
用勾股定理求出BC＝40，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝ AB＝25，再利用面积法求
出 CF＝24，从而在 Rt△CDF 中，利用勾股定理求出 DF＝7，进而利用锐角三角函数的定义求出
sin∠DCF的值，最后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠DCF，即可解答．
【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，
在Rt△ABC中，AC＝30， ，
∴AB＝ ＝ ＝50，
∴BC＝ ＝ ＝40，
∵D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝25，∵△ABC的面积＝ AB•CF＝ AC•CB，
∴AB•CF＝AC•CB，
∴50CF＝30×40，
∴CF＝24，
在Rt△CDF中，DF＝ ＝ ＝7，
∴sin∠DCF＝ ＝ ，
∵BE⊥CD，
∴∠E＝90°，
∴∠EDB+∠EBD＝90°，
∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，
∴∠EBD＝∠DCF，
∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
五．解直角三角形的应用（共2小题）
16．（2022秋•承德县期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②
是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下
转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为4米．
（1）当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE＝120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长
为 1 6 米．
（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？
请说明理由（参考数据： ≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可
以达到最大高度）
【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关
系求出CF；
（2）先计算当AC长30米、∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥CF，垂足为F．由题意知：四边形AEFG是矩形．
∴FG＝AE＝4米，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．
∵∠CAE＝120°，
∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°．
在Rt△AGC中，
∵sin∠CAG＝ ，AC的长度为24米，
∴CG＝AC×sin30°
＝24×
＝12（米）．
∴CF＝CG+GF
＝4+12
＝16（米）．
答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米；
故答案为：16；
（2）如图，过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．
当AC＝30米，∠CAE＝150°时，
∠HAC＝30°．
在Rt△AHC中，
∵cos∠HAC＝ ，
∴AH＝cos∠HAC×AC
＝cos30°×30
＝ ×30
＝15
≈1.7×15
＝25.5（米）．∴HE＝AE+AH
＝4+25.5
＝29.5（米）．
由题意知，四边形HEFC是矩形，
∴CF＝HE＝29.5米，
∵29.5＞26，
∴该消防车能够实施有效救援．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题
的关键．
17．（2022秋•南宫市期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图 1是明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图 2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角
为 ，为保证安全， 的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角 大小的绳索．
α α α
（1）求绳索BC长的最大值．
（2）若 ＝40°时，求桑梯顶端 D 到地面 BC 的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2.75，最后结果精确到0.01米）
α
【分析】（1）根据题意可得：当∠BAC＝ ＝60°时，绳索BC的长最大，然后根据已知易得△ABC是等
边三角形，从而利用等边三角形的性质可得BC＝AB＝AC＝1.5米，即可解答；
α
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝
70°，再根据已知可得DC＝2.7米，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
当∠BAC＝ ＝60°时，绳索BC的长最大，
∵AB＝AC＝1.5米，
α
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝1.5米，
∴绳索BC长的最大值为1.5米；
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，∴∠DEC＝90°，
∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝ ＝40°，
α
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝70°，
∵AD＝1.2米，
∴DC＝AD+AC＝2.7（米），
在Rt△DEC中，DE＝DC•sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），
∴桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
18．（2023春•怀化期末）如图，为了测量古塔的高，小明在点 A测得看古塔顶点C处的仰角为30°，然后
向古塔方向前进到40米的点B处测得古塔顶点C的仰角是60°，A、B、D在同一直线上，那么古塔CD
的高是 34. 6 米．（ ≈1.414， ≈1.732，结果保留一位小数）
【分析】根据题意可得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，然后利用三角形的外角性质可
得∠A＝∠ACB＝30°，从而可得AB＝BC＝40米，最后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义进行计
算，即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，
∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝40米，
在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝40× ＝20 ≈34.6（米），
∴古塔CD的高约为34.6米，
故答案为：34.6．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（2022秋•宜宾期末）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处
测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．
（1）求DA的长；
（2）求树BA的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，从而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性质
可得∠OAD＝15°，然后利用等角对等边即可解答；
（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，从而利用平行线的性质可得∠BDH＝∠MON＝30°，进
而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH，DH的长，再在Rt△BDH
中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，
∵∠MON＝30°，
∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，
∵∠ADB是△AOD的一个外角，
∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，
∴∠AOD＝∠OAD＝15°，
∴OD＝AD＝30米，
∴DA的长为30米；
（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，
∴∠BDH＝∠MON＝30°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，
由题意得：∠AHD＝90°，
在Rt△ADH中，AD＝30米，
∴AH＝AD•sin60°＝30× ＝15 （米），
DH＝AD•cos60°＝30× ＝15（米），
在Rt△BDH中，BH＝DH•tan30°＝15× ＝5 （米），∴AB＝AH﹣BH＝15 ﹣5 ＝10 （米），
∴树BA的高度为10 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（2022秋•大连期末）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行
测量．高台CD到AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为
30°．
（1）填空：∠ADB＝ 7 0 °；
（2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， ≈1.73）
【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，然后利用角的
和差关系进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：DE＝BC＝6米，然后分别在Rt△ADE和Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求
出AE，BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：
∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝40°+30°＝70°，
故答案为：70；
（2）由题意得：DE＝BC＝6米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝40°，
∴AE＝DE•tan40°≈6×0.84＝5.04（米），
在Rt△DEB中，∠BDE＝30°，∴BE＝DE•tan30°＝6× ＝2 ≈3.46（米），
∴AB＝AE+EB＝5.04+3.46≈9（米），
∴建筑物AB的高度约为9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
21．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火
箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径
可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小
哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为
53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到 0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】根据题意可得：∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分别利用锐角三角函数的定义
求出BC，CD的长，最后根据BD＝10.6米，列出关于AC的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
∴DC＝AC•tan45°＝AC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝53°，
∴BC＝AC•tan53°≈1.33AC，
∵BD＝10.6米，
∴BC﹣CD＝10.6，
∴1.33AC﹣AC＝10.6，
∴AC≈32.1米，
∴此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（2022秋•碑林区校级期末）某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD
（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌
顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号）【分析】延长BA交PH于点G，根据题意可得：EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，在Rt△PAG中，利用锐
角三角函数的定义求出GA的长，再在Rt△PGB中，利用锐角三角函数的定义求出GB的长，最后进行计
算即可解答．
【解答】解：如图：延长BA交PH于点G，
由题意得：
EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，
在Rt△PAG中，∠GPA＝30°，
∴AG＝PG•tan30°＝8× ＝ （米），
在Rt△PGB中，∠GPB＝45°，
∴GB＝PG•tan45°＝8×1＝8（米），
∴AB＝GB﹣GA＝（8﹣ ）米，
∴安全警示牌宽AB的值为（8﹣ ）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
23．（2022秋•槐荫区期末）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基
地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为
43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，求MN的长．
（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）【分析】根据题意可得：∠ANO＝43°，∠BMO＝35°，AO⊥MN，然后在Rt△AON中，利用锐角三角函
数的定义求出NO的长，再利用线段的和差关系求出BO的长，最后在Rt△MBO中，利用锐角三角函数
的定义求出MO的长，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠ANO＝43°，∠BMO＝35°，AO⊥MN，
在Rt△AON中，AO＝135m，
∴ON＝ ≈ ＝150（m），
∵AB＝40m，
∴BO＝AO﹣AB＝95（m），
在Rt△MBO中，MO＝ ≈ ≈135.7（m），
∴MN＝NO+MO＝150+135.7≈286（m），
∴MN的长约为286m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（2023春•零陵区期末）2023年“水州陆港杯”中国龙舟公开赛（湖南一水州站）在冷水滩潇湘平湖举
行，为确保此次龙舟竞赛水域安全，特别是谨防青少年在观赛时溺水，某单位在一处观赛台后方小山坡
上竖立了“防溺水”宣传牌．小刚为了测得宣传牌的高度，他站在山坡底端 C处，测得宣传牌顶端A的
仰角∠DCA＝45°，然后小刚从山坡底端C沿着倾斜角为30°的斜坡走了20米，到达E处平台，与宣传牌
底端B水平，此时测得宣传牌顶端A的仰角∠BEA＝60°，求“防溺水”宣传牌的高度．
【分析】延长 AB 交 CD 于点 F，根据题意可得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF＝DE，BE＝DF，然后在
Rt△EDC中，利用含 30度角的直角三角形性质求出 DE和CD的长，再设 BE＝DF＝x米，则 CF＝
（x+10 ）米，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出 AB的长，从而求出AF的长，再在
Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长AB交CD于点F，由题意得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF＝DE，BE＝DF，
在Rt△EDC中，CE＝20米，∠DCE＝30°，
∴DE＝ CE＝10（米），CD＝ DE＝10 （米），
∴BF＝DE＝10米，
设BE＝DF＝x米，
∴CF＝DF+CD＝（x+10 ）米，
在Rt△ABE中，∠AEB＝60°，
∴AB＝BE•tan60°＝ x（米），
∴AF＝AB+BF＝（ x+10）米，
在Rt△AFC中，∠ACF＝45°，
∴AF＝CF•tan45°＝（x+10 ）米，
∴ x+10＝x+10 ，
解得：x＝10，
∴AB＝ x＝10 （米），
∴“防溺水”宣传牌的高度为10 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（2022秋•商河县期末）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼
底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰
角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果
精确到0.1m）
（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
（2）求旗杆的AC高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）【分析】（1）在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据题意可得：DB＝32m，则EH＝GB＝48m，然后在Rt△CEH中，
利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m，
∴EG＝DE•sin37°≈20×0.60＝12（m），
DG＝DE•cos37°≈20×0.80＝16（m），
∴斜坡ED的铅直高度EG约为12m，水平宽度GD约为16m；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，
由题意得：DB＝32m，
∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m），
在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，
∴CH＝EH•tan30°＝48× ＝16 （m），
∴AC＝CH+BH﹣AB＝16 +12﹣37≈2.7（m），
∴旗杆的AC高度约为2.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
26．（2022秋•北碚区校级期末）如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为
3：2的扶梯AB，扶梯总长为 米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方
案：修建AC、DE两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平台CD形成的∠ACD为135°，从E
点看D点的仰角为30°，AC段扶梯长20米．（参考数据： ， ）
（1）求点A到BE的距离．（2）DE段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数）
【分析】（1）过点A作AF⊥EB，垂足为F，根据已知可设AF＝3x米，则BF＝2x米，然后在Rt△ABF
中，利用勾股定理求出AB＝ x米，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）延长DC交AF于点G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，根据题意可得：DG⊥AG，DH＝GF，再利
用平角定义可得∠ACG＝45°，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出 AG的长，从而求出
DH，FG的长，最后在Rt△DEH中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥EB，垂足为F，
∵扶梯AB的坡度为3：2，
∴ ＝ ，
∴设AF＝3x米，则BF＝2x米，
在Rt△ABF中，AB＝ ＝ ＝ x（米），
∵AB＝10 米，
∴ x＝10 ，
∴x＝10，
∴AF＝3x＝30（米），
∴点A到BE的距离为30米；
（2）延长DC交AF于点G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，
由题意得：
DG⊥AG，DH＝GF，
∵∠ACD＝135°，
∴∠ACG＝180°﹣∠ACD＝45°，
在Rt△ACG中，AC＝20米，
∴AG＝AC•sin45°＝20× ＝10 （米），
∵AF＝30米，∴DH＝GF＝AF﹣AG＝（30﹣10 ）米，
在Rt△DEH中，∠DEH＝30°，
∴DE＝2DH＝60﹣20 ≈31.8（米），
∴DE段扶梯长度约为31.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，根
据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
27．（2023春•桥西区期末）学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6km，以小明家所在位置为坐标原点
建立直角坐标系，1km为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在Rt△AOB中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AB和
OB的长，即可解答．
【解答】解：如图：过点A作AB⊥y轴，垂足为B，
在Rt△AOB中，AO＝6km，∠AOB＝30°，
∴AB＝ AO＝3（km），OB＝ AB＝3 （km），
∴点A的坐标为（3，﹣3 ），
∴学校所在位置的坐标为（3，﹣3 ），
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件画出
图形进行分析是解题的关键．
28．（2023春•厦门期末）如图所示的四边形ABCD是正在建设的某景区示意图，A—B—C—D—A是环绕景
区的道路，点D在点A的北偏西45°方向，点B在点A的正东方向，点C在点B的正北方向，经测量AD
＝2km，AB＝1km．设计单位计划在该景区内修建一个观景平台P，并铺设若干条小路连接景区道路．其
中点P在点A的正北方向，在点D的正东方向．
（1）求AP的长度；
（2）延长DP与BC交于点E，测得CE＝2km，设计单位设计了两种铺设小路的方案：
方案1：铺设小路DE和AP；方案2：铺设小路CP和AP．
要使得铺设小路的总长度更短，应选择哪种铺设方案，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可得：AP⊥DP，∠DAP＝45°，然后在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求
出AP的长，即可解答；
（2）在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出DP的长，然后根据题意可得：DE⊥BC，AB⊥BC，
PE＝AB＝1km，AP＝BE＝ km，从而可得DE＝（ +1）km，再在Rt△CPE中，利用锐角三角函数
的定义求出CP的长，最后分别求出方案一和方案二铺设小路的总长度，比较即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：AP⊥DP，∠DAP＝45°，
在Rt△ADP中，AD＝2km，
∴AP＝AD•cos45°＝2× ＝ （km），
∴AP的长度为 km；
（2）要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二，
理由：在Rt△ADP中，AD＝2km，∠DAP＝45°，
∴DP＝AD•sin45°＝2× ＝ （km），
由题意得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE＝AB＝1km，AP＝BE＝ km，
∴DE＝DP+PE＝（ +1）km，
在Rt△CPE中，CE＝2km，
∴CP＝ ＝ ＝ （km），
∴方案一：DE+AP＝ +1+ ＝（2 +1）km；
方案二：CP+AP＝（ + ）km，
∵（2 +1）km＞（ + ）km，
∴要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
29．（2023春•丰都县期末）在奥林匹克运动的故乡古希腊，奥林匹亚阿尔菲斯河岸的岩壁上保留着古希腊
人的一段格言：“如果你想聪明，跑步吧!如果你想强壮，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人对聪明、
强壮、健康的奔跑追求，至今仍然在爱跑步的人群中得到传承．跑步已经成为一种大众化运动，越来越
多的人从跑步中受益．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东方；C
在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向．（1）求BC的长度（结果保留根号）；
（2）小强和小刚同时从A出发，小强沿A→D→C方向跑，小刚沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，
问谁先到达终点C？（参考数据： ，
【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据题意可得：
DC∥AB，从而可得DE＝CF，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出
CF的长，再在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BC的长，即可解答；
（2）根据题意可得：DC＝EF，在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BF的长，再
在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
由题意得：DC∥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△AED中，AD＝4km，∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝AD•sin45°＝4× ＝2 （km），
∴DE＝CF＝2 km，
在Rt△BCF中，∠CBF＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CF＝4 （km），
∴BC的长度为4 km；
（2）小刚先到达终点C，
理由：由题意得：DC＝EF，
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，CF＝2 km，
∴BF＝ CF＝2 （km），
在Rt△AED中，AD＝4km，∠DAE＝45°，
∴AE＝AD•cos45°＝4× ＝2 （km），
∴DC＝EF＝AB+BF﹣AE＝（4+2 ﹣2 ）km，
∴小强跑的路程＝AD+DC＝4+4+2 ﹣2 ≈10.08（km），小刚跑的路程＝AB+BC＝4+4 ≈9.64（km），
∵两人速度相同，
∴小刚先到达终点C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线间的距离，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
30．（2023春•重庆期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和
用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时
服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千
米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号）
【分析】（1）根据题意可得：∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，从而可得∠ABE＝
∠BAD＝45°，然后利用平角定义可得∠ABC＝75°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
（2）过点B作BG⊥AC，垂足为G，先在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，然后在
Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．
【解答】解：（1）如图：
由题意得：∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，∴∠C的度数为45°；
（2）过点B作BG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAC＝60°，
∴BG＝AB•sin60°＝10× ＝5 （千米），
在Rt△BGC中，∠C＝45°，
∴BC＝ ＝ ＝5 （千米），
∴B，C两地的距离为5 千米．
