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28.1 锐角三角函数（第一课时）分层作业
基础训练
1．已知在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在 中， ，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正
弦．
【详解】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．在 中， ，若 的三边都缩小5倍，则 的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sinA．
3．如图，在 中， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数正弦的定义即可得到答案．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查正弦，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做A的
正弦，记作 ．
4．在 中， ， 、 、 所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．
【详解】解：如图，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边
比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．5．如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 （图先详解），构造直角三角形，利用 直接求出 的值．
【详解】解：如图，连接 ，
由网格可得出 ，
则 ， ，
故 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义并能构造直角三角形是解决本题的关键．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
解题的关键是理解三角函数的定义．
7．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，
那么 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作 于点D，在 中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的
定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，则 ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在 中， ，若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB= =0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC= = ，
故选C.
【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.
9．如图，在边长为1的正方形网格中，点 在格点上，以 为直径的圆过 两点，则
的值为 ．
【答案】 /0.6【分析】根据圆周角定理得出∠BCD=∠BAD，在网格中利用勾股定理可得AB ，利用等角的正弦值相同
即可得出结果．
【详解】解：由图可得∠BCD=∠BAD，
在∆ABD中，AD=4，BD=3，
∴AB= ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理、解三角形及正弦的定义，解题的关键是理解题意，综合运
用这些知识点求解．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】AC=4，sinA=
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴ ．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．
能力提升
1．如图，在 中，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以点 ，
为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ，
，则 的长为( )A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点 作 于点 ，勾股定理求得 ，根据作图可得 是 的角平分线，进而设
，则 ，根据 ，代入数据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
根据作图可得 是 的角平分线，
∴
设 ，
∵
∴解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本
作图以及角平分线的性质是解题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点 ， ．若反比例函数
经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点 ，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作 于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点 ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∴
∴点C坐标∵若反比例函数 经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关
键是求出点C坐标．
3．如图，在 中， ，分别以点A、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
M、N，作直线 ，分别交 、 于点D、E，连接 ，若 ， ，则 的面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，AE=CE，DE是 的高，根据锐角三角函数得
，即可得 ，过点B作 ，交AC于点F，根据锐角三角函数得 ，即可得
，用 的面积减去 的面积即可得．
【详解】解：由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，DE是 的高，CD=DA= ，
∴ ，
∴ ，如图所示，过点B作 ，交AC于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点并能想到用 的面积
减去 的面积即可得 的面积．
4．如图，在矩形 中， ，垂足为点 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】在 中，由正弦定义解得 ，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，
得到 ，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
【详解】解：在 中，在矩形 中，
故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
5．如图，在 的外接圆 中， ， ，点E为 的中点，则 的直径为 ．
【答案】 / /2.5
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ， ，根据正弦函
数可求得半径，即可求解．
【详解】解：连接 ，则 ，∵点E为 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正弦函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
6．如图，点E在矩形 的边 上，将 沿 折叠，点D恰好落在边 上的点F处，若
． ，则 ．
【答案】5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得 ， ，可得 ，
，设 ，则 ，利用勾股定理可得 ，进而可
得结果．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
根据折叠可知，可知 ， ，则，在 中， ，则 ，
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
即： ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问
题的关键．
7．如图，在平行四边形 中， 于点 ， 于点 ，平行四边形 的周长为
28，面积为40， ．求：
(1) 的长；
(2) 的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到 ，再由 ，求出 ， ，再根据
平行四边形面积公式求解即可；
（2）先证明 ，在 中， ，则 ．
【详解】（1）解：∵平行四边形 中， ， ，平行四边形 的周长为28，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ；
（2）解：∵在四边形 中， ， ， ，
∴ ，
又∵在平行四边形 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求角的正弦值，四边形内角和定理等等，熟知平行四边形的
性质是解题的关键．
拔高拓展
1．如图，在四边形 中， ， 平分 ．若 ， ，则
．
【答案】
【分析】过点 作 的垂线交于 ，证明出四边形 为矩形， 为等腰三角形，由勾股定理算
出 ， ，即可求解．
【详解】解：过点 作 的垂线交于 ，，
四边形 为矩形，
，
，
平分 ，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造
直角三角形求解．
2．如图，矩形 中，点G，E分别在边 上，连接 ，将 和 分别沿
折叠，使点B，C恰好落在 上的同一点，记为点F．若 ，则 ．【答案】
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE ，BC=AD=8，证得Rt△EGF Rt△EAG，求得 ，
再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形 中，GC=4，CE =3，∠C=90 ，
∴GE= ，
根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90 ，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180 ，
∴∠AGE=90 ，
∴Rt△EGF Rt△EAG，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴DE= ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函
数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
3．如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ．求：
(1)点 的坐标；
(2) 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线解析式即可求得出点 的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，则 ， ，根据一次函数解析式，令 ，求得点 的坐标，
进而勾股定理求得 ，根据正弦的定义，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，联立
解得
∴点 的坐标为 ．
（2）如图，过点 作 轴于点 ，则 ， ．由 ，解得 ．
则 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键．
