文档内容
28.1 锐角三角函数（第一课时） 导学案
学习目标
1.理解正弦的概念，掌握正弦的表示方法；
2.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长.
3.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力. 通过学生自我发现培
养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.
重点难点突破
★知识点1： 正弦的概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.即
∠A所对的边 a
sin A= =
斜边 c
★知识点2： 利用正弦值求直角三角形边长解题技巧：
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = a，sinB = b，AB = c，则 BC=____ac_____，AC =
_____bc_____
d ef
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = d，sinB = e，BC = f，则AB=____ _____，AC = _____
f d
_____
核心知识
一、正弦的概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的____________叫做∠A的正弦，记作：sinA.即 sinA= ______________________
二、利用正弦值求直角三角形边长解题技巧：
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = a，sinB = b，AB = c，则BC=_________，AC = __________
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = d，sinB = e，BC = f，则AB=_________，AC = __________
新知探究
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡
面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
【问题一】如上图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条件用数学语言描述
出来吗？
【问题二】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
【问题三】如果出水口的高度为50m，其它条件不变，那么需要准备多长的水管？
【问题四】对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一
个怎样的式子表示呢？
【问题五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC与AB的比是一个定值吗？【猜想】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
BC B'C'
【问题六】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么 与 有什么关
AB A'B'
系，你能解释一下吗？
典例分析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA 和 sinB 的值．【针对训练】
1.概念理解
BC
①sin A= （ ）
AB
BC
②sin B= （ ）
AB
③sin A = 0.6m （ ）
④sin B = 0.8 （ ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 4 5 3
3.[易错题]把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
1
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3
1
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，BC = 3，求sinB及Rt△ABC的面积.
3
【解题技巧】
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = a，sinB = b，AB = c，则BC=_________，AC = __________
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = d，sinB = e，BC = f，则AB=_________，AC = __________【针对训练】
1
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=9，那么BC=______.
3
3
2．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A= ，则AB的长是（ ）
5
A．30 B．50 C．60 D．80
感受中考
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，
如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为
25，小正方形面积为1，则sinθ=（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶
点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．3．（2023·四川内江·统考中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足
，则sinB的值为 ．
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述正弦的概念？
【参考答案】
新知探究
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡
面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
【问题一】如上图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条件用数学语言描述
出来吗？
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
【问题二】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.BC 1
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.即 =
AB 2
可得AB=2BC=70 (m).
【问题三】如果出水口的高度为50m，其它条件不变，那么需要准备多长的水管？
BC 1
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.即 =
AB 2
可得AB=2BC=100 (m).
也就是说，如果出水口的高度为50m，需要准备70m长的水管.
【问题四】对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一
个怎样的式子表示呢？
在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对
1 30°角所对的边 1
边与斜边的比都等于 .即： = .
2 斜边 2
【问题五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC与AB的比是一个定值吗？
∵ ∠C=90°，∠B=45° ∴ ∠A=45，则AC=BC
AC ❑√2
由勾股定理得AB2=AC2+ BC2，则AB=❑√2AC ∴ =
AB 2
在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于45°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与
❑√2
斜边的比都等于 .
2
【猜想】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
是
BC B'C'
【问题六】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么 与 有什么关
AB A'B'
系，你能解释一下吗？
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'BC AB BC B'C'
∴ = ∴ =
B'C' A'B' AB A'B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也
是一个固定值．
典例分析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA 和 sinB 的值．
解：在 Rt△ABC 中，
由勾股定理得AB= =5
❑√BC2+AC2
BC 3 AC 4
sin A= = ，sin B= =
AB 5 AB 5
解：在 Rt△ABC 中，
由勾股定理得AC= =12
❑√AB2−AC2
BC 5 AC 12
sin A= = ，sin B= =
AB 13 AB 13
【针对训练】
1.概念理解
BC
①sin A= （ √ ）
AB
BC
②sin B= （ x ）
AB
③sin A = 0.6m （ x ）
④sin B = 0.8 （ √ ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ C ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 4 5 33.[易错题]把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ A ）
1
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3
1
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，BC = 3，求sinB及Rt△ABC的面积.
3
1 BC 1
解： ∵ sin A= ∴ = ∴ AB = 3BC =3×3=9∴ AC=❑√AB2−BC2 =❑√92−32=6❑√2
3 AB 3
AC 6❑√2 2❑√2 1 1
∴sinB= = = ∴ S = AC•BC = × 6❑√2×3=9❑√2
△ABC
AB 9 3 2 2
【解题技巧】
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = a，sinB = b，AB = c，则 BC=____ac_____，AC =
_____bc_____
d ef
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = d，sinB = e，BC = f，则AB=____ _____，AC = _____
f d
_____
【针对训练】
1
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=9，那么BC=__3____.
33
2．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA= ，则AB的长是（ D ）
5
A．30 B．50 C．60 D．80
感受中考
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，
如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为
25，小正方形面积为1，则sinθ=（ A ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长AB=5，小正方形的边长CD=1，
∵AD=BC，∴AD=AC+1，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴ ，解得 （负值舍去）
(AD−1) 2+AD2=52 AD=BC=4
BC 4
∴sinθ= = ．故选A．
AB 52．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶
❑√2
点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．
2
【详解】解：如图，取AB的中点D，连接AC,CD，
，
∵AC=❑√12+32=❑√10,BC=❑√12+32=❑√10,CD=❑√12+22=❑√5
∴AC=BC，又∵点D是AB的中点，∴CD⊥AB，
CD ❑√5 ❑√2 ❑√2
∴sin∠ABC= = = ，故答案为： ．
BC ❑√10 2 2
3．（2023·四川内江·统考中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足
4
，则sinB的值为 ．
5
【详解】解：∵ ，∴a2−12a+36+|c−10|+❑√b−8=0，
∴(a−6) 2+|c−10|+❑√b−8=0，
∴ ，c−10=0，b−8=0，解得： ，
∴a2+b2=62+82=100=102=c2，∴∠C=90°，
b 8 4 4
∴sinB= = = ，故答案为： ．
c 10 5 5
