文档内容
28.1 锐角三角函数（第一课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十八章“锐角三角
函数”28.1 锐角三角函数（第一课时），内容包括：理解正弦的概念及表示方法.
2.内容解析
本节课是锐角三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函
数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是锐角三角函数与以前学习过的函数有着明显区别，函
数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关，课本把它放在直角三角形中来进行
定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习.本课时主要内容是掌握正弦的概念、表示
方法及进行简单的计算应用，而其中正弦的概念应是本节课的重点.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解与掌握正弦的概念及表示方法．
二、目标和目标解析
1.目标
1.理解正弦的概念，掌握正弦的表示方法；
2.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长.
3.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力. 通过学生自我发
现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：能够理解正弦是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值，它是一个比
值，无单位，而且正弦的大小只与锐角的大小有关，与直角三角形的边长无关.
达成目标2）的标志是：会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角
形的边长.
达成目标3）的标志是：经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理
能力. 通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.
三、教学问题诊断分析
当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值是本节课知识的一个难点.针对
这一问题，在教学中应引导学生利用相似三角形的判定定理，通过证明环节，得出：在直角三角形中，当
锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.
基于以上分析，本节课的教学难点是：理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实.
四、教学过程设计
（一）探究新知
【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬
水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水
管？
师：如上图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条件用数学语言描述出
来吗？
师生活动：学生思考后，找同学回答.从而将上述问题转化为数学问题：如图，在 Rt△ABC 中，
∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
【问题二】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
师：可以用学过的什么数学知识来解决这个问题？
BC
师生活动：学生思考后回答问题.根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.即
AB
1
= 可得AB=2BC=70 (m).
2
【问题三】如果出水口的高度为50m，其它条件不变，那么需要准备多长的水管？
师生活动：学生思考后回答问题. 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.即
BC 1
= ，可得AB=2BC=100 (m). 也就是说，如果出水口的高度为50m，需要准备70m长的水管.
AB 2
【设计意图】运用数学知识解决实际生活问题，激发学生学习的兴趣.进而为接下来探究直角三角形，
30°角的对边与斜边的数量关系打好基础.
【问题四】对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以
用一个怎样的式子表示呢？
师生活动：学生思考后回答问题.最后由教师归纳总结，得出：在直角三角形中，如果一个锐角的度
1
数等于 30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .即：
2
30°角所对的边 1
= .
斜边 2【问题五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC与AB的比是一个定值吗？
师生活动：学生独立解决问题，利用勾股定理，得出AB=❑√2BC. 最后由教师归纳总结，得出：在直角
三角形中，如果一个锐角的度数等于45°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的
❑√2
比都等于 .
2
【猜想】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
师：通过刚才的探究活动，我们已知得出：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边
1 ❑√2
与斜边的比都等于 ，它是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，它也是一个
2 2
固定值.那么当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
师生活动：学生分组讨论，自行探讨.
BC B'C'
【问题六】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么 与 有什
AB A'B'
么关系，你能解释一下吗？
BC B'C'
师生活动：学生独立解决问题，利用相似三角形判定定理，得出： = . 最后由教师归纳总
AB A'B'
结，得出：这就是说，在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与
斜边的比也是一个固定值．
师：这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门的名称.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
∠A所对的边 a
即 sin A= =
斜边 c正弦的表示：
1）sinA、sin40 °、sinα（省去角的符号）
2）sin∠ABC 、sin∠1 （不能省去角的符号）
【设计意图】通过探究活动让学生理解正弦的概念.
（二）典例分析与针对训练
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA 和 sinB 的值．
【针对训练】
1.概念理解
BC
①sin A= （ ）
AB
BC
②sin B= （ ）
AB
③sin A = 0.6m （ ）
④sin B = 0.8 （ ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 4 5 3
3.[易错题]把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
1
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3
【设计意图】利用正弦的定义求有关角的正弦值.
1
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A= ，BC = 3，求sinB及Rt△ABC的面积.
3【解题技巧】
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = a，sinB = b，AB = c，则 BC=_________，AC =
__________
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = d，sinB = e，BC = f，则 AB=_________，AC =
__________
【针对训练】
1
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=9，那么BC=______.
3
3
2．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA= ，则AB的长是（ ）
5
A．30 B．50 C．60 D．80
【设计意图】利用正弦求直角三角形的边长.
（三）直击中考
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦
图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面
积为25，小正方形面积为1，则sinθ=（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 52．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形
的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．
3．（2023·四川内江·统考中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且
满足 ，则sinB的值为 ．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（四）归纳小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述正弦的概念？
（五）布置作业
P64：练习
