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第 7 讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中
是自变量， 是因变量， 是 的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（ ）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
【答案】A.
【解析】解：A选项，根据“正方形的周长=边长×4”可得，y=4x，符合正比例函数的解析
式，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成正比例函数，故本选项正确；
B选项，根据“圆的面积=πr2”可得， y=πx2，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是
正比例函数关系，故本选项错误；
C选项，根据“直角三角形的两个锐角互余”可知，x+y=90，即y=90﹣x，不符合正比例
函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误；
D选项，根据“树高=60+月份数×3”可得， y=3x+60，不符合正比例函数的一般式，则y
与x不是正比例函数关系，故本选项错误.
故选：A．
2.已知 ，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【答案】略
【解析】解：由正比例函数的定义可得： 且 ，
且 ，
∴ 且 且 ，
综合可得 ．【方法总结】
1.判断某两个变量 之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，
用一个变量表示另一个变量，看它们是否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于
0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（迁安市期末）若 关于 的函数 是正比例函数，则 ，
应满足的条件是
A． 且 B． 且 C． D．
【解答】解： 关于 的函数 是正比例函数，
， ．
解得 ， ．
故选： ．
2．（曲靖模拟）若 是正比例函数，则 的值是
A．0 B． C．2 D．
【解答】解：由正比例函数的定义可得： ，
解得： ．
故选： ．
3．（开福区校级月考）若函数 为常数）是正比例函数，则
的值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故选： ．
4．（呼兰区校级期末）若函数 为常数）是正比例函数，则 的值
是 1 ．【解答】解：依题意得： 且 ．
解得 ．
故答案是：1．
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数 （ 为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.
当 时，图象过一、三象限， 随 的增大而增大；
当 时，图象过二、四象限， 随 的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象
时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1） ；（2） ．
【答案】略．
【解析】解：（1）
①列表：
②描点：
③连线：由函数图象可知，函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；
（2）
①列表：
②描点：
③连线：
由函数图象可知，函数图象经过第二四象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．2.已知函数 ， ， ， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与 轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数 ， 在同一坐标系中的图象如图所示，则 与 的大小关
系为____________．
【答案】略
【解析】解：（1）如图，在同一直角坐标系里画出
（2）观察这些函数的图象可以发现，随着 的增大，直线与 轴所夹的锐角越大．
（3）由（2）的规律可知， 越大，则它所对应的直线与 轴所夹的锐角越大，
观察图象可知，直线 与 轴所夹的锐角大于直线 与 轴所夹的锐角，
∴ ，
又∵两条直线都经过二、四象限，
∴ ，∴ ，
故答案为 ．
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象
限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当 时，图象过一、三象限， 随
的增大而增大；当 时，图象过二、四象限， 随 的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的 值的大小时，只需比较每条直线与 轴所夹锐角
的大小，锐角越大， 越大，分别确定一、三象限中 的大小和二、四象限中 的大小，
再按照“一、三象限的 值>二、四象限的 值”将 值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（临安区期末）在同一坐标系中，函数 与 的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据图象知：第二个函数一次项系数为正数，故图象必过一、三象限，而
必过一三或二四象限，
、 ， ．解集没有公共部分，所以不可能，故此选项错误；
、 ， ．解集有公共部分，所以有可能，故此选项正确；
、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误；
、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误．
故选： ．2．（永年区期末）定义运算 为： 如： ，则函数
的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解： ※ ，
时，图象是 的正比例函数中 轴右侧的部分； 时，图象是 的正比
例函数中 左侧的部分，
故选： ．
3．（城步县模拟）正比例函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：因为正比例函数 ，
所以正比例函数 的图象在第一、三象限，
故选： ．
4．（河东区期末）下列函数中， 随 的增大而减小的函数是
A． B． C． D．【解答】解： 、 、 选项中的函数解析式 值都是正数， 随 的增大而增大，
选项 中， ， 随 的增大而减少．
故选： ．
5．（秦淮区校级期末）设 ， 表示 ， 两个数中的最大值，例如 ， ，
， ，则关于 的函数 ， 可以是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时，得 ，
当 时，得 ，
故关于 的函数 ， 可以是 ，
故选： ．
6．（鄠邑区校级三模）如果正比例函数 的图象经过第二、四象限，那么一次
函数 的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【解答】解：因为正比例函数 的图象经过第二、四象限，
所以 ，
所以一次函数 的图象经过三、二、四象限，
故选： ．
7．（洛南县期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是
A．图象不经过原点 B． 随 的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当 时，
【解答】解： ． 图象经过原点，错误；
． 随 的增大而减小，错误；、图象经过第二、四象限，正确；
． 当 时， ，错误；
故选： ．
8．（莲湖区模拟）正比例函数 的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则 的
值为
A．2 B． C． D．4
【解答】解：
正比例函数 的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，
函数图象过 和 两个点，
，解得 ，
故选： ．
二．填空题（共3小题）
9．（武安市期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ，
，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过 点作 轴的垂线交 于点 ，过点 作
轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的
坐标为 ，点 的坐标为 ．
【解答】解：当 时， ，
点 的坐标为 ；当 时， ，
点 的坐标为 ；
同理可得： ， ， ， ， ， ，
， ，
， ， ， ，
， ， ， 为自然数）．
，
点 的坐标为 ， ，即 ， ．
故答案为 ， ， ．
10．（本溪）函数 的图象经过的象限是 一、三 ．
【解答】解：函数 的图象经过一三象限，
故答案为：一、三
11．（静安区二模）已知正比例函数 ，那么 的值随 的值增大而 减小 ．（填
“增大”或“减小”
【解答】解：因为正比例函数 中的 ，
所以 的值随 的值增大而 减小．
故答案是：减小．
三．解答题（共1小题）
12．（沙坪坝区校级三模）小岚根据学习函数的经验，对一个未知函数的图象与性质进行
了探究．
已知： ，其中 ， 与 成一次函数关系，当 时， ；当
时， ．
（1）根据给定的条件，求 与 的函数关系式；（2）写出函数 与 合适的几组对应值，并根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系
中描点并画出函数图象：
2
（3）结合画出的函数图象，解决问题：直接写出关于 的方程 的实数
解为 （结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）设 ，
则 ，解得： ，
，
；
（2）如图表：
（3）由图象得：关于 的方程 的实数解为： ；
故答案为： ．知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对
， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
【典例】
1．（常熟市校级期中）若y=y +y 且y 与x成正比例，y 与（x﹣3）成正比例，
1 2 1 2
当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
【解答】解：设y =ax，y =k（x﹣3），
1 2
∴y=ax+k（x﹣3）．
由当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9可得，
，
解得： ，
∴y与x之间的关系式为：y=﹣x﹣2（x﹣3），即y=﹣3x+6；
∴当x=3时，y=﹣3×3+6=﹣3．
2．（廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣ ，1）是否在这个函数的图象上，为什么？【解答】解：（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：
﹣k=2，k=﹣2，
则正比例函数解析式为y=﹣2x；
（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3，
解得：m=﹣1；
（3）当x=﹣ 时，y=﹣2×（﹣ ）=3≠1，
所以点P不在这个函数图象上．
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解
析式的为y=kx这种形式，然后需要代入一个点的坐标即可求出k的值，如果指
出y与x成正比例函数关系，也只的是y=kx。
【随堂练习】
1．（端州区期末）已知正比例函数图象经过点 ，则该函数的解析式为 ．
【解答】解：设正比例函数的解析式为 ．
正比例函数图象经过点 ，
，
解得， ，
此函数解析式为： ；
故答案是： ．
2．（禄劝县期末）若点 是正比例函数 图象上的点，则此正比例函数
的解析式为 ．【解答】解：把点 代入 得
，
，
所以正比例函数解析式为 ．
故答案为： ．
3．（黄冈期末）正比例函数图象经过 ，则这个正比例函数的解析式是 ．
【解答】解：设这个正比例函数的解析式为 ，
正比例函数的图象经过点 ，
，
解得 ，
．
故答案是： ．
4．（奉化区期末）已知一个正比例函数的图象经过点 ，则这个正比例函数的表达式
是 ．
【解答】解：设该正比例函数的解析式为 ，根据题意，得
，
．
则这个正比例函数的表达式是 ．
故答案为 ．
5．（甘孜州）如图，在平面直角坐标系 中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图
案，其中点 ， 的坐标分别为 ， ．若过原点的直线 将这个图案分成面积
相等的两部分，则直线 的函数解析式为 ．【解答】解： 点 ， 的坐标分别为 ， ，
的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，依题意有
，
解得 ．
故直线 的函数解析式为 ．
故答案为： ．
综合运用
1．（宜兴市校级月考）已知y=y +y ，其中y 与x成正比例，y 与x﹣2成正比
1 2 1 2
例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该
函数的图象．
【解答】解：根据题意设y =k x，y =k （x﹣2），即y=y +y =k x+k （x﹣2），
1 1 2 2 1 2 1 2
将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得： ，解得：k =﹣ ，k =﹣ ，
1 2
则y=﹣ x﹣ （x﹣2）=﹣x+1．
即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；
画出该函数的图象为
2．（昭平县一模）y= x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
【解答】解：A、把（1，2）代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k= ＞0，图象经过一、三象限，故本选项错误；
C、当x＜0时y＜0，故本选项错误；
D、k= ＞0，y随x的增大而增大，故本选项正确．
故选：D．
3．（曲江区模拟）已知正比例函数 y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，
则点（m，1﹣m）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴1﹣m＜0，
∴点（m，1﹣m）所在的象限是第四象限，
故选：D．4．（廉江市期末）若正比例函数 y=（m﹣1）x ，y随x的增大而减小，
则m的值是______．
【解答】解：由题意得：m2﹣3=1，且m﹣1＜0，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．
5．（南岸区期末）设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如min{0，1}
=0．min{4，3，2}=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（ ）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3
D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3
【解答】解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+3的大
小，所以不能直接表示为，A：y=2x，B：y=x+3．
当x＜3时，可得：x+x＜x+3，即2x＜x+3，可表示为y=2x．
当x≥3时，可得：x+x≥x+3，即2x≥x+3，可表示为y=x+3．
故选：D．
