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第 9 讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
【答案】y=﹣5x+6
【解析】解：把（1，1），（2，﹣4）代入y=kx+b，
{&k+b=1
得 ，
&2k+b=-4
解得k=﹣5，b=6
∴函数的解析式为y=﹣5x+6，
故答案为y=﹣5x+6.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹
跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
【答案】
【解析】解：观察表格可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b（k、b是常数，
k≠0），
{&30k+b=50
则 ，
&45k+b=80
{&k=2
解得 ，
&b=-10
所以y与x的函数关系式为y=2x﹣10．3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正
方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【答案】
【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作
AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3.
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S =4+1=5，
AOB
△
1
∴ OB•AB=5，
2
10
∴AB= ，
3
10
∴OC= ，
3
10
由此可知直线l经过（﹣ ，3），
3
设直线方程为y=kx（k≠0），
10
则3=﹣ k，
3
9
k=﹣ ，
10
9
∴直线l解析式为y=﹣ x，
10
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求
出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比
例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（隆回县期末）已知一次函数的图象经过两点 ， ，则这个函数的表达
式为 ．
【解答】解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 两点坐标代入得到： ，
解得 ，
这个函数的解析式为 ，
故答案为： ．
2．（伊通县期末）如图，在直角坐标系 的第一象限内有一矩形 ，顶点 、
分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ．直线 的解析式为 ．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
， ，
，， ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
故答案为： ．
3．（宝应县一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一个 的坐标是 ，则
直线 的解析式是 ．
【解答】解：如图，
由菱形 的一个顶点在原点 处， 点的坐标是 ，得
．
又 ，
．
，．
，
，
， ．
设 的解析式为 ，
将 ， 点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
直线 的表达式是 ，
故答案为： ．
4．（洞口县模拟）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 是第二
象限内一点，连接 ，若 ，则直线 的解析式为 ．
【解答】解：当 时， ，当 时， ， ，
， ，
， ，过 作 轴，交 于 ，过 作 于 ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
设直线 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
则直线 的解析式为： ；
故答案为： ．
5．（杭州期末）已知函数 ，当 时， ，则 ．
【解答】解：把 ， 代入 ，
可得： ，解得： ，
故答案为：
6．（即墨区期末）一次函数 的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一
次函数的表达式为 ．
【解答】解：一次函数 与 轴的交点为 ， ，与 轴的交点为 ．
和两坐标轴围成的三角形的面积是9，
，
，．
所以解析式为： ．
故答案为： ．
7．（瑞安市期末）如图，在直角坐标系中，过点 分别向 轴， 轴作垂线，垂足分
别为点 ， ，取 的中点 ，连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，直线
与 交于点 ，则线段 的长为 5 ，直线 的函数表达式为 ．
【解答】解：连接 ，
点 ，
轴， 轴，
，
点 是 的中点，，
点 关于直线 的对称点 ，
， ， ，
在 与 中， ，
，
，
设 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 代入得， ，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ，
故答案为：5， ．8．（沙县期末）已知一次函数 ，当 时，对应的函数 的取值范围
是 ， 的值为 4 ．
【解答】解：当 时， 随 的增大而减小，即一次函数为减函数，
当 时， ，当 时， ，
代入一次函数解析式 得： ，
解得 ，
故答案为：4
二．解答题（共2小题）
9．（广饶县期末）在平面直角坐标系中，已知含 角的直角三角板如图放置，其中
， ，求直线 的解析式．
【解答】解：如图，过 作 轴于点 ，
，
，，
在 和 中
，
，
， ，
， ，
，
设直线 解析式为 ，
点 、点 在直线 上，
，
解得： ， ，
直线 解析式为 ．
10．（松北区期末）如图所示，已知一次函数的图象直线 经过点 和点 ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求 的面积．
【解答】解：（1）设这个函数的解析式是 ，
一次函数的图象直线 经过点 和点 ，代入得： ，
解得： ， ，
这个函数的解析式是 ；
（2） ，
当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
即 ， ，
所以 ， ，
所以 的面积是 ．
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横
坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，
纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对
称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图
象的表达式为________________.
【答案】y=﹣2x﹣10
【解析】解：把函数y=﹣2x﹣2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x+3）﹣2﹣2=﹣2x﹣10．
故选答案为y=﹣2x﹣10.2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴
作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
【答案】y=5x﹣4
【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将直线y=5x+6关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=5x+6；
∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴将直线﹣y=5x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=-5x+4，即y=5x﹣4．
故答案为y=5x﹣4.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【答案】
【解析】解：令x=0，则y=1，即直线y=x+1与y轴交点为（0，1）；
令y=0，则x=﹣1，即直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（1，0）旋转180°变为（2，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°
变为（3，0）．
设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
{&-1=2k+b
则有 ，
&0=3k+b
{&k=1
解得： ．
&b=-3
故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3．
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某
点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某
点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（朝阳区期中）若将直线 向上平移1个单位长度，则平移后的直线所对应的函数
关系式是
A． B． C． D．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数 的图象向上平移1个单位所得函
数的解析式为 ．
故选： ．2．（雁塔区校级模拟）直线 沿 轴向左平移3个单位长度后与 轴的交点坐标
是
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 沿 轴向左平移3个单位长度，
平移后的解析式为： ，即 ，
当 ，则 ，
平移后直线与 轴的交点坐标为： ．
故选： ．
3．（雁塔区校级模拟）直线 与直线 关于点 成中心对称，下列说法正
确的是
A．将 向下平移2个单位得到
B．将 向右平移2个单位得到
C．将 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．将 向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到
【解答】解：设直线 的点 ，则 在直线 上，
，
直线 的解析式为： ，
将 向右平移2个单位得到 ，
故选： ．
4．（庐江县期末）在平面直角坐标系中，把直线 向左平移2个单位长度，平移后的
直线解析式是A． B． C． D．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把直线 向左平移2个单位长度所得的直
线的解析式是 ．即 ，
故选： ．
5．（碑林区校级三模）一次函数
与一次函数
关于直线 对称，则 、 分
别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 一次函数 与 轴交点为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
一次函数 与 轴交点为 ， ，
， 关于直线 的对称点为 ， ，
，解得 ．
故选： ．
6．（陕西）在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移6个单位长度，则平移后
的图象与 轴的交点坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数 的图象向上平移6个单位长度所
得函数的解析式为 ，此时与 轴相交，则 ，
，即 ，
点坐标为 ，
故选： ．
7．（邵阳）一次函数 的图象 如图所示，将直线 向下平移若干个单位后得直
线 ， 的函数表达式为 ．下列说法中错误的是
A． B．
C． D．当 时，
【解答】解： 将直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
直线 直线 ，
，
直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
，
当 时， ，
故选： ．
二．填空题（共2小题）
8．（东湖区校级期末）将直线 平移后经过点 ，则平移后的直线解析式为
．
【解答】解：设平移后的解析式为： ，将直线 平移后经过点 ，
，
解得： ，
故平移后的直线解析式为： ．
故答案为： ．
9．（南召县期末）若将直线 沿 轴的方向平移 3 个单位后，恰好能经过点
，则 的值可能是 0 或 6 ．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当直线 沿 轴的方向向上平移3个单位后，
则平移后的函数式是 ，代入
得 ，解得 ；
②当直线 沿 轴的方向向下平移3个单位后，
则平移后的函数式是 ，代入
得 ，解得 ．
故答案为0或6．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时
发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的 2倍按原路返回，
乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇 22.5千米处追上甲后同车前
往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．【答案】
【解析】解：（1）设线段OA所在直线的函数关系式为y=kx（k≠0），
∵点A（20，18）在直线OA上，
∴18=20k，
9
∴k= ．
10
∵乙骑电动车按出发时速度2倍的按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，
∴点B的坐标为（30，0），点C的坐标为（35，0）．
9
设线段CD所在直线对应函数关系式为y= x+b，
10
∵点C（35，0）在线段CD上，
9
∴0= ×35+b，
10
63
∴b=﹣ ，
2
9 63
∴线段CD所在直线对应的函数关系式为y= x﹣ ．
10 2
9 63
当y=45时，有 x﹣ =45，
10 2
解得：x=85，
9 63
∴线段CD对应函数关系式为y= x﹣ （35≤x≤85）．
10 2
（2）45﹣22.5=22.5（千米），
9 63
当y=22.5时，有 x﹣ =22.5，
10 2
解得：x=60．
甲步行的速度为（22.5﹣18）÷（60﹣20）=0.1125（千米/分）．
答：甲步行的速度为0.1125千米/钟．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费 y
（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【答案】
【解析】解：（1）当0≤x≤50时．图象经过（0，0），（50，26）．
可设函数解析式为y=kx（k≠0）．
代入（50,26），得50k=26，
13
解得k= ，
25
13
∴y= x（0≤x≤50）．
25
当x≥50时．图象经过（50，26），（80，48），
可设函数解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0）．
11
{&k=
{&50k+b=26 15
则有 ，解得 ，
&80k+b=48 32
&b=-
3
11 32
∴y= x﹣ ．
15 3
11 32
（2）当x=65时，65＞50，y= ×65﹣ =37．
15 3
答：该用户应交电费37元.
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实
际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数
图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选
择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发 0.5
小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，
快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变
化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为____km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求
乙地离小红家多少千米？
【解答】解：（1）在OA段，速度= =20km/h，
故答案为20．
（2）当1.5≤x≤2.5时，设y=20x+b，把（1.5，10）代入得到，10=20×1.5+b，
解得b=﹣20，
∴y=20x﹣20，
当x=2.5时，解得y=30，
∴乙地离小红家30千米
2．（黑龙江）某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完
成这项任务共用了 9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加
工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为
y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工
厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时
间x（天）的关系如图（2）所示．
（1）甲车间每天加工零件为 8 0 件，图中d值为 77 0 ．
（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？
【解答】解：（1）由图象甲车间每小时加工零件个数为720÷9=80个，
d=770，
故答案为：80，770
（2）b=80×2﹣40=120，a=（200﹣40）÷80+2=4，
∴B（4，120），C（9，770）
设y =kx+b，过B、C，
BC
∴ ，解得 ，
∴y=130x﹣400（4≤x≤9）
（3）由题意得：80x+130x﹣400=1000，
解得：x=
答：甲车间加工 天时，两车间加工零件总数为1000件
3．（曲靖）某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需
0.6万元，购买一台B型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用
于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投
入资金多少万元？
【解答】解：（1）由题意得，0.6x+0.4×（35﹣x）=y，
整理得，y=0.2x+14（0＜x＜35）；
（2）由题意得，35﹣x≤2x，
解得，x≥ ，
则x的最小整数为12，
∵k=0.2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=12时，y有最小值16.4，
答：该公司至少需要投入资金16.4万元．
知识点4 方案、决策问题
【典例】1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y 元，方案B的收费金额为y 元，分别写出y ，y 关于x的
1 2 1 2
函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【答案】
【解析】解：（1）方案A的收费：
①当0≤x≤25时，y=30；
1
②当x＞25时，y=30+0.05×60×（x﹣25），即y=3x﹣45；
1 1
方案B的收费：
①当0≤x≤50时，y=50；
2
②当x＞50时，y=50+0.05×60×（x﹣50），即y=3x﹣100；
2 2
（2）当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费，理由如下：
∵当35＜x＜50时，y=3x﹣45，y=50，
1 2
∴y﹣y=3x﹣45﹣50=3x﹣95，即y=3x﹣95．
1 2
∵3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵x=35时，y=10，
∴当35＜x＜50时，y＞10，
∴y＞y，
1 2
∴当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，
计算出y﹣y 的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
1 2
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出
函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（蜀山区一模）小明大学毕业后积极响应政府号召回乡创业，准备经营水果生意，他在
批发市场了解到某种水果的批发单价与批发量有如下关系批发量 批发单价（元
6
5
（1）写出批发该种水果的资金金额 （元 与批发量 之间的函数关系式；并在如图
的坐标系网格中画出该函数图象；指出资金金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到
较多数量的该种水果．
（2）经市场调查，销售该种水果的日最高销量 与零售价 （元 之间满足函数关
系 ，小明同学拟每日售出 以上该种水果（不考虑损耗），且当日零售
价不变，请问他批发多少千克该种水果，零售价定为多少元时，能使当日获得的利润最大
最大利润是多少？
【解答】解：（1）由图象可知，当资金金额 时，以同样的资金可以批发到较
多数量的该种水果．（2） 销售该种水果的日最高销量 与零售价 （元 之间满足函数关系
，
小明同学拟每日售出 以上该种水果，则其批发单价为5元 ，设利润为 元，则
由题意得：
当 ， 时，时，能使当日获得的利润最大，最大利润为360元．
答：他批发120千克该种水果，零售价定为8元时，能使当日获得的利润最大，最大利润
是360元
二．解答题（共6小题）
2．（鼓楼区校级模拟）某高科技
公司根据市场需求，计划生产 ，
两种型号的医疗器械．其部分
信息如下：
信息一：每台 型器械的售价为
24万元，每台 型器械的售价为
30万元，每台 型器械的生产成
本比 型器械的生产成本多5万
元．
信息二：若销售3台 型器械和
5台 型器械，共获利37万元；
根据上述信息，解答下列问题：
（1）求每台 型器械、每台型器械的生产成本各是多少万元？
（2）若 ， 两种型号的医疗
器械共生产80台，且该公司所筹
生产医疗器械资金不少于1800万
元，但不超过1810万元，且把所
筹资金全部用于生产此两种医疗
器械，根据市场调查，每台 型
医疗器械的售价将会提高 万元
，每台 型医疗器械的售
价不会改变，该公司应该如何生
产可以获得最大利润？
【解答】解：（1）设每台 型器械的生产成本是 万元，则每台 型器械的生产成本是
万元，
依题意得： ，
解得： ，
，
答：每台 型器械的生产成本是20万元，则每台 型器械的生产成本是25万元；
（2）设该公司生产 种疗器械 台，则生产 种医疗器械 台，
依题意得 ，
解得 ，
取整数得 ，39，40，
该公司有3种生产方案：
方案一：生产 种器械38台， 种器械42台．
方案二：生产 种器械39台， 种器械41台．
方案三：生产 种器械40台， 种器械40台．
依题意得， ，
当 ，即 时，生产 种器械40台， 种器械40台，获得最大利润，当 ，即 时，三种方案利润都为400万元；
当 ，即 时，生产 种器械38台， 种器械42台，获得最大利润．
3．（东莞市期末）某水果批发市场规定，批发苹果不少于 100千克时，批发价为每千克
3.5元，小王携带现金7000元到这市场购苹果，并以批发价买进．如果购买的苹果为 千
克，小王付款后的剩余现金为 元
（1）写出 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若小王购买800千克苹果，则小王付款后剩余的现金为多少元？
【解答】解：（1）由已知批发价为每千克3.5元，小王携带现金7000元到这个市场购苹果
得 与 的函数关系式： ，
批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克3.5元，
，
至多可以买 ，
故自变量 的取值范围： ，．
综上所述， 与 之间的函数关系式为： ；
（2）当 时， ．
故小王付款后剩余的现金为3200元．
4．（泉州期末）某商店欲购进一批跳绳，若购进 种跳绳8根和 种跳绳7根，则共需
351元；若购进 种跳绳4根和 种跳绳3根，则共需163元．
（1）求 、 两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备购进这两种跳绳共140根，且 种跳绳的数量不少于跳绳总数量的 ．
若毎根 种、 种跳绳的售价分别为27元、33元，问：该商店应如何进货才可获取最大
利润，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设 种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．
根据题意 ，
解得 ．
答： 种跳绳的单价为22元， 种跳绳的单价为25元．（2）设购进 种跳绳 根，则 种跳绳 根，该商店的利润为 元，
则 ，
，
取最小值时， 取最大值，
又 ，且 为整数，
当 时， ，
此时 （根 ，
故该商店购进 种跳绳56根， 种跳绳84根时，可获取最大利润，最大利润为952元．
5．（平谷区期末）平某游泳馆暑期推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张
会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费20元；方式二：不购买会员证，
每次游泳付费25元．设小明计划今年暑期游泳次数为 为正整数）．根据题意列表：
游泳次数 5 8 10
200 260
方式一的总费用
元）
125 200 250
方式二的总费用
元）
表格中的 值为 30 0 ；
（2）根据题意分别求出两种付费方式中 、 与自变量 之间的函数关系式并画出图象；
（3）请你根据图象，帮助小明设计一种比较省钱的付费方案．
【解答】解：（1） ；
故答案为：300．
（2） ； ；
图象如图所示：
（3）当 时，即 ，解得 ，当 时，选择两种付费方式一样
多；
当 时，即 ，解得 ，当 时，选择第一种付费方式比较省
钱；当 时，即 ，解得 ，当 时，选择第二种付费方式比较省
钱．
6．（十堰期末）“五一”期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源
汽车自驾出游．现有甲、乙两家租车公司，租车费用如下：甲公司按日收取固定租金 80元，
另外再按租车时间计费；乙公司无固定租金，直接按租车时间计费，每小时租费是30元．
（1）设租用时间为 小时，租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为
元，其图象如图所示，分别求出 ， 关于 的函数解析式；
（2）请你帮助小丽计算，租用哪家新能源汽车自驾出游更合算？
【解答】解：（1）由题意设 ．把点 代入得：
解得 ．
．
设 ．把 代入的 ．可得： ；（2）当 时， ，解得 ．
当 时， ，解得 ．
当 时， ，解得 ．
答：当租车时间为 小时时，选择甲乙公式一样；
当租车时间小于 小时时，选择乙公式合算；
当租车时间大于 小时时，选择甲公司合算．
7．（竹溪县期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户
居民每月应交电费 （元 与用电量 （度 的函数图象是一条折线（如图所示），根据图
象解下列问题：
（1）分别写出当 和 时， 与 的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电60度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费125元时，则该用户
该月用了多少度电？
【解答】解：（1）当 时，设关系式为 ，把 代入得： ，
当 时，设 与 的函数关系式为 ，把 ， ， 代入得：
，解得： ， ，
答 ： 当 和 时 ， 与 的 函 数 关 系 式 分 别 为 ，
．（2）当 时，每度电收费0.65元，当 时，每度电收费0.8元．
（3）当 时，代入 元，
当 时，代入 得： 度，
答：用电60度，则应缴费39元；月缴费125元时，则该用户该月用了175度电．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以
推测L与x之间的关系式是________________.
【答案】L=2x+20
【解析】解：设L与x之间的关系式是L=ax+b（a、b是常数，a≠0），
当x=0，L=20时，当x=1，L=22时，得
{&b=20 {&a=2
，解得 ，
&a+b=22 &b=20
L与x之间的关系式是L=2x+20，
故答案为L=2x+20，
2.在平面直角坐标系中，将直线 l ：y=﹣2x+4平移后得到直线l ，l 与x轴交于点（4，
1 2 2
0），则平移方式可以是_______________.
【答案】将l 沿y轴向上平移4个单位（或将l 沿x轴向右平移2个单位）
1 1
【解析】解：设直线l 的解析式为y=﹣2x+b，将（4，0）代入，
2
得0=﹣2×4+b，解得b=8，
则直线l 的解析式为y=﹣2x+8（l 沿y轴向上平移4个单位得到）．
2 1
∵l：y=﹣2x+4=﹣2（x﹣2），
1
l：y=﹣2x+8=﹣2（x﹣4），
2
∴l 沿x轴向右平移2个单位后得到直线l，
1 2
∴将l 沿y轴向上平移4个单位或将l 沿x轴向右平移2个单位后得到直线l．
1 1 2
故答案为：将l 沿y轴向上平移4个单位（或将l 沿x轴向右平移2个单位）
1 1
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知
△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．【答案】
4 4
【解析】解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣ ，则A（﹣ ，0），
k k
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
1 4 4
所以 ·（﹣ ）·4=10，解得k=﹣ ，
2 k 5
4
所以直线解析式为y=﹣ x+4．
5
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
【答案】
【解析】解：（1）∵直线向右平移2个单位，
∴平移后的解析式为：y=2（x﹣2）+1=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3；
（2）∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B，
1
∴A（0，1），B（﹣ ，0）．
2
1
∵点A, B绕原点旋转180°后的坐标为A′（0，﹣1），B′（ ，0），
2
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
{
&b=-1
{&k=2
∴ 1 ，解得 ，
& k+b=0 &b=-1
2
∴直线解析式为y=2x﹣1．
故答案为：y=2x﹣1.
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的
值.
【答案】【解析】解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，
2
解得x= ；
k
6
令y=3，x= ；
k
1 2 6
当k＜0时，四边形的面积是： [（1﹣ ）+（1﹣ ）]×4=12，
2 k k
解得k=﹣2；
即k的值为﹣2．
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车
从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的
距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快
车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
【答案】
【解析】解：（1）由图象可得，
长春到吉林的距离为450千米，
普通快车到达吉林所用时间为：450÷（150÷2.5）=7.5（时），
故答案为：450，7.5；
（2）设特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式是s=kt+b（k、b是常数，k≠0），{&b=450
根据图像可得 ，
&2.5k+b=150
{&k=-120
解得 ，
&b=450
即特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式是s=﹣120t+450；
（3）设长春与铁路桥之间的距离是x千米，
x=﹣120×（2.5﹣0.5）+450=﹣240+450=210，
答：长春与铁路桥之间的距离是210千米．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA
和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多
少元？
【答案】
【解析】解：由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y=kx，则2k=20，解得k=10，
∴直线OA解析式为y=10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y=10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y=tx+b，
{&2t+b=20 {&t=8
∴ ，解得 ，
&4t+b=36 &b=4
∴直线AB解析式为y=8x+4（x＞2），
∴当x=5时，y=44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44=6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调
查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉
的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，
且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】
{ 130x(0≤x≤300)
【解析】解：（1）y= .
&80x+15000(x＞300)
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000﹣a）m2．
{&a≥200
∴ ，
&a≤2(1200-a)
∴200≤a≤800
当200≤a＜300时，W=130a+100（1200﹣a）=30a+120000．
1
当a=200 时．W =126000元；
min
当300≤a≤800时，W=80a+15000+100（1200﹣a）=135000﹣20a．
2
当a=800时，W =119000元.
min
∵119000＜126000
∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800=400（m2）．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，
最少总费用为119000元．
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，
3 5
点O恰好落在BC边上的点E处，若OC= ，A点坐标为（ ，0），求线段AD所在直线
2 2
的解析式．
【答案】【解析】解：∵四边形OABC是长方形，
3
∴AB=OC= ，
2
5
∵A（ ，0），
2
5
∴OA=BC= ，
2
5
设OD=t，由折叠的性质可得DE=OD=t，OA=AE= ，
2
3
∴CD= ﹣t，
2
在Rt ABE中，由勾股定理可得BE2=AE2-AB2，
即BE
△
2=(
5
)
2-( 3
)
2=4，
2 2
∴BE=2.
5 1
∴CE=BC﹣BE= ﹣2= ，
2 2
在Rt CDE中，由勾股定理可得DE2=CD2+CE2，
△3 1 5
∴t2=（ ﹣t）2+（ ）2，解得t= ，
2 2 6
5
∴D（0， ），
6
设直线AD的解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
5 1
{& k+b=0 {&k=-
2 3
∴ ，解得 ，
5 5
&b= &b=
6 6
1 5
∴直线AD的解析式为y=﹣ x+ ．
3 6
