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第 9 讲 与线段有关的计算
知识点1：直线、射线和线段的概念
1.直线的两方都没有端点，可以向两方无限延伸；直线一般用它上面的两个点表示，也可
以用一个小写字母表示。
2.直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；射线用它的端点和射线上的另外
一点来表示，也可以用一个小写字母表示；可以向一方无限延伸。
3.线段有两个端点，不可延伸。
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB或线段BA，或线
段a。表示线段的字母也可以表示线段长度，如AB=6。
【典例】
1.已知如图，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 点O不在直线AC上 B. 射线AB与射线BC指的是同一条射线
C. 图中共有5条线段 D. 直线AB与直线CA指的是同一条直线
【解析】解：A、点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；
B、射线AB与射线BC的端点不同，不是同一条射线，故B错误，符合题意；
C、图中的线段有AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故C说法正确，不符合题意；
D、点A、B、C在同一条直线上，根据直线的表示方法可知，直线 AB与直线CA指的是
同一条直线，故D正确，不符合题意．
【方法总结】
确定射线需要两个要素：（1）端点；（2）方向。
确定不同字母表示的直线是否是同一条直线只需要确定所有的字母是否在同一直线上。
2. 由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣
辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火车票有______种
【解析】解：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他5个城市有5种车票，但是已知中是由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海
城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，没有返程车票，都是单程车票，每个城市出发的火车都被重复计
1
算了，所以要为这次列车制作的火车票有 ×5×6=15种，
2
【方法总结】
求在某一条包含若干点的线段上存在的线段条数，有如下两种方法：
1.简单图形直接数线段的条数；
2.数量比较多的情况下，只需要数从一个点出发有多少条线段，再与数出点的个数相乘。
由于每条线段都被重复计算一次，所以最终结果是其一半。
【随堂练习】
1．（杭州期末）用一笔画出所给图形，不允许重复经过同一条线段，但可以多次经过同一
交点，则不同的画法共有
A．8种 B．16种 C．24种 D．32种
【解答】解：从 点出发，有8种方案，从 点出发，有8种方案，从 ， ， 不能完
成画出，共有16种．
故选： ．
2．（下陆区期末）已知三点 、 、 ，画直线 、画射线 、连结 ，按照上
述语句画图正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：画直线 、画射线 、连结 ，如图所示：
故选： ．3．（北京期末）下列各图中所给的线段、射线、直线能相交的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 选项中，直线 与线段 无交点，不合题意；
选项中，直线 与射线 有交点，符合题意；
选项中，直线 与射线 无交点，不合题意；
选项中，直线 与射线 无交点，不合题意；
故选： ．
二．填空题（共3小题）
4．（香坊区期末）如图，能用字母表示的以点 为端点的线段的条数为 ，能用字母表
示的以点 为端点的射线的条数为 ，则 的值为 2 ．
【解答】解：由图可得，能用字母表示的以点 为端点的线段的条数 ，
能用字母表示的以点 为端点的射线的条数 ，
的值为2，
故答案为：2．
5．（海淀区期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．
回答下列问题：
（1）如图1，直线 ， 和线段 将平面分成五个区域（不包含边界），当点 落在
区域 ② 时，线段 与 相交（直接填写区域序号）；
（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图 2，
如果沿着图中的格线连接印有相同字母的元件，那么一共有 种连线方案．【解答】解：（1）当点 落在区域②时，线段 与 相交；
（2）点 沿向上两个格、向右三个格、向下一个格连接，也可以沿向上两个格、向右两
个格、向下一个格、向右一个格连接，两种方法；点 沿向下两个格、向右一个格连接，
或向下一个格、向右一个格、向下一个格连接，或向右一个格、向下两个格连接，或向右
一个格、向下一个格、向左一个格、向下一个格、向右一个格连接，共四种方法；点 只
有一种连接方法，所以共6种方法．
故答案为：②，6．
6．（香坊区期末）如图，以图中的 、 、 、 为端点的线段共有 6 条．
【解答】解：图中的线段有：
线段 ，线段 ，线段 ，线段 ，线段 ，线段 ，共6条．
故答案为：6．
知识点2：直线的性质——两点确定一条直线
两点确定一条直线在生活当中的应用很广泛，例如我们排队时，队头站好两个人，后面的
人只需要看着自己前面的一个人，一个个的排下来就可以排成一支整齐的队伍；打靶的时
候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就可
以确定命中了。
【典例】
1.在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”
为基准摆放茶杯，这样做的理由是（ ）
A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线
C． 两点之间，直线最短 D． 过一点可以作无数条直线
【解析】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是两
点确定一条直线，
【方法总结】
生活中需要沿直线进行操作的工作，开始之前一般都先找好两个点，因为两点就能确定一
条直线。2. 已知平面内有A，B，C，D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画_______直线．
【解析】解：分三种情况：
①四点在同一直线上时，只可画1条；
②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；
③当没有三点共线时，可画6条；
【方法总结】
通过点的数量来确定直线的数量时，先观察是否有任意三点或者更多的点共线。当没有出
n(n-1)
现三点共线时，直线的数量直接带入公式 （n≥2）即可；当出现三点或者更多点共
2
线时，则需要单独讨论。
【随堂练习】
1．（安仁县期末）经过平面上的三点中的任两点可以画直线
A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．以上都不对
【解答】解：当三点在同一直线上时经过此三点可以画一条直线，
当三点不在同一直线上时经过此三点可以画三条直线，
所以经过三点中的任两点可以画1或3条直线，
故选： ．
2．（桂林三模）下列说法：①平方等于其本身的数有0， ；② 是4次单项式；③
将方程 中的分母化为整数，得 ；④平面内有4
个点，过每两点画直线，可画6条、4条或1条．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①平方等于其本身的数有0， ，说法错误；
② 是4次单项式，说法正确；
③将方程 中的分母化为整数，得 ，说法错误；
④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条、4条或1条，说法正确．
正确的说法有2个，
故选： ．
3．（罗湖区期末）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
【解答】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确
定一条直线．
故选： ．
4．（张店区期末）下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
（2）从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设．
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
【解答】解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
（2）从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，根据是两点之间线段最短；
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一
条直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
5．（番禺区期末）如图，将甲，乙两个尺子拼在一起，两端重合．若甲尺经校订是直的，
那么乙尺就一定不是直的；用数学知识解释这种生活现象为 两点确定一条直线 ．
【解答】解： 甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合，
甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的，
用数学知识解释这种生活现象为：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
知识点3：线段的性质——两点之间线段最短
【典例】1.年12月6日西成高铁全线开通运营，西安至成都的运行时间由11个小时缩短为4小时．
这条经关中、汉中平原及穿越秦岭、巴山山脉的高速铁路用部分高难度的桥梁、隧洞等方
式缩短了路程，这样做的主要依据是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 直线比曲线短 D. 两条直线相交于一点
【解析】解：铁路改造主要的工作就是将之前弯曲的铁路改造成桥梁、隧洞等直线方案，
这样做的主要依据是两点之间，线段最短，
【方法总结】
该题中不同方案的路线体现的是直线和曲线的差别。两点确定以后，两点之间的曲线要比
线段长。
【随堂练习】
1．（高邮市期末）把一条弯曲的道路改成直道，可以缩短路程，其道理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．以上都不正确
【解答】解：把弯曲的公路改成直道，其道理是两点之间线段最短．
故选： ．
2．（宁德期末）如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角
形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是
A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线
C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短
【解答】解：如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形
木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短．
故选： ．
3．（竞秀区期末）“在山区建设公路时，时常要打通一条隧道，就能缩短路程”其中蕴含
的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离【解答】解：由线段的性质可知，“在山区建设公路时，时常要打通一条隧道，就能缩短
路程”这其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故选： ．
4．（成都期末）折多山隧道今年开建，建成后，可将原来一个半小时的车程缩短为 8分钟．
也就是“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，这其中蕴含的数学原理是
A．两点之间直线最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【解答】解：由线段的性质可知，“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”这其中蕴含的数
学道理是：两点之间线段最短．
故选： ．
5．（漳浦县期末）下列说法错误的是
A．符号不同的两个数互为相反数
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．最小的正整数是1
【解答】解： 、符号不同的两个数互为相反数，错误，符合题意；
、两点确定一条直线，正确，不合题意；
、两点之间，线段最短，正确，不合题意；
、最小的正整数是1，正确，不合题意；
故选： ．
知识点4：两点之间的距离
两点之间的线段长度就叫做这两点之间的距离。
【典例】
1.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以
A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【解析】解：由题意可得，
图中以 A，B，C，D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB
=（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB
=AB+AB+CD+AB
=3AB+CD，
∵CD=2，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，
∴当AB=8时，3AB+CD=3×8+2=26，
当AB=9时，3AB+CD=3×9+2=29，
当AB=10时，3AB+CD=3×10+2=32．
故选B
【方法总结】
解答该题首先数清楚一共有多少条线段，其次将各线段组合找出与线段AB的关系，列出
线段长度之和与线段AB、CD的关系式，最后假设线段AB的长找出正确答案。
2.如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF=1：
2：3，若MN=8cm，则线段EF的长______
【解析】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，
可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，
而M、N分别为EA、BF的中点，
1 1
∴MA= EA，NB= BF，
2 2
1 3
∴MN=MA+AB+BN= x+2x+ x=4x
2 2
∵MN=8cm，
∴4x=8，
∴x=2，
∴EF=EA+AB+BF=6x=12，
∴EF的长为12cm，
【方法总结】
题中所给线段MN跟已知线段EA、AB、BF没有直接的数量关系，只能够将线段分解成
MA、AB和BN，然后根据已知条件，将MA和BN用已知线段EA和BF表示出来。通过
设未知数列方程，先求出EA的长，再根据比例关系求出EF的长。
【随堂练习】
1．（竞秀区期末）下列叙述：①最小的正整数是0；②单项式 的次数是3；③用一个
平面去截正方体，截面不可能是六边形；④若 ，则点 是线段 的中点；⑤若表示有理数，且 ，则 ．其中正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①最小的正整数是0；错误，最小的正整数是1．
②单项式 的次数是3；错误，单项式的次数是4．
③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；错误，可以得到六边形．
④若 ，则点 是线段 的中点；错误， ， ， 不一定在同一直线上．
⑤若 表示有理数，且 ，则 ．错误，应该是 ．
故选： ．
2．（椒江区期末）如图，点 、 为线段 上两点， ，且 ，
则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
3．（竞秀区期末）已知线段 ， ，则下列说法正确的是
A．点 一定在线段 的延长线上
B．点 一定在线段 的延长线上
C．点 一定不在线段 上
D．点 一定不在直线 外
【解答】解： 线段 ， ，
，
点 一定不在线段 上．
故选： ．
4．（南海区期末）已知点 、 、 都是直线 上的点，且 ， ，那么点 与点 之间的距离是
A． B． 或 C． D． 或
【解答】解： 点 、 、 都是直线 上的点，
有两种情况：
①当 在 之间时， ，
而 ， ，
；
②当 在 之间时，
此时 ，
而 ， ，
．
点 与点 之间的距离是8或 ．
故选： ．
5．（苏州期末）已知线段 ，点 为 的中点， 是直线 上的一点，且
， ，则线段 的长为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：如图1，
设 ，则 ， ，
点 为 的中点，
，
，
，
，
解得： ，
；
如图2，设 ，则 ， ，
点 为 的中点，
，
，
，
，解得： ，
．
综上所述，线段 的长为 或 ．
故选： ．
6．（涞水县期末）如图，点 、 为线段 上两点， ，且 ，
则 等于
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： ， ，
，
，
解得： ，
故选： ．
7．（龙湖区期末）如图， 线段 ，点 为线段 上一点，
，点 ， 分别为 和 的中点， 则线段 的长为
A ． B ． 1 C ． D ． 2
【解答】解： 由线段的和差， 得
，由点 是 的中点，
所以 ；
由点 是 的中点， 得
，
由线段的和差， 得
．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
8．（江岸区校级月考）如图，数轴上线段 ， ，点 在数轴上表示的数是
，点 在数轴上表示的数是16，若线段 以6个单位长度 秒的速度向右匀速运动，
同时线段 以2个单位长度 秒的速度向左匀速运动．当 点运动到线段 上时， 是
线段 上一点，且有关系式 成立，则线段 的长为 5 或 3. 5 ．
【解答】解：设线段 未运动时点 所表示的数为 ， 点运动时间为 ，
则此时 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点
表示的数为 ， 点表示的数为 ，
，
，
，
，
，
，
，即： ，
①当 点在 点右侧时，
，
，
；
②当 点在 点左侧时，
，
，
；
的长有2种可能，即5或3.5．
故答案为：5或3.5．
9．（江岸区期末）如图，数轴上线段 及可移动的线段 （点 在点 的左侧，点
在点 的左侧），已知线段 覆盖8个整数点（数轴上对应整数的点），线段 覆盖2
个整数点，点 ，点 分别为 、 的中点，则线段 覆盖 4 ， 5 ， 6 个整数点．
【解答】解：
线段 覆盖8个整数点， ，
线段 覆盖2个整数点， ，
，则线段 覆盖个整数点为4，5，6
故答案：4，5，6
综合集训
1.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中
沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是____________________．【解析】解：∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有
AC是直线段，
∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
2.如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有
线段_________条．
【解析】解：构成五角星的边（两个顶点之间的线段）共有 5条，即线段AC，BE，CE，
BD，AD；每条边上各有另两个点，即每条边上有6条线段；所以共有6×5=30条线段．
3.平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45条直线，则此平
面上共有个________已知点．
2×(2-1)
【解析】解：∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为： =1；
2
3×(3-1)
平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为： =3；
2
4×(4-1)
平面内不同的四点确定6条直线，可表示为： =6；
2
10×(10-1)
以此类推，可得： =45，
2
所以n=10．
3.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为___________．
【解析】解：当C在线段AB上时，
AC=AB﹣BC=3﹣2=1，当C在线段AB的延长线时，
AC=AB+BC=3+2=5，
即AC=1或5，
故答案为：1或5．
4.如图，AB=10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线
段CD长为_________．
【解析】解：∵C为AO的中点，D为OB的中点，
1 1
∴CO= AO，OD= OB
2 2
1 1 1 1 1
∴CD=CO+OD= •AO+ •OB= （AO+OB）= •AB= ×10=5（cm）．
2 2 2 2 2
故答案为：5cm．
5.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC=2BC，在AB的反向延长线上取一点
D，使DA=2AB，那么线段AC：DB=_________．
【解析】解：如下图所示：
∵AC=AB+BC=2BC，
∴AB=BC，
∴DA=2AB=2BC，
∴DB=DA+AB=3AB=3BC，
∴AC：DB=2BC：3BC=2：3，
故答案为：2：3．
