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第 4 讲 平面直角坐标系
知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，
其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有
序数对，记作（a，b）．
注意：当 时， 和 是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）
一 二 三 四 五 六
列 列 列 列 列 列
一行
二行
C D
三行
A
四行
B
五行
六行
A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
【答案】A.
【解析】解：B的位置是四列五行，表示为（4，5），列数在前，行数在后，
B左侧第二个人的位置是二列五行，表示为（2，5）
故选：A
2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？
(巷)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5(街)【答案】略
【解析】解：2街4巷为点（2，4），4街2巷为点（4，2），如下图所示：
从2街4巷到4街2巷，走最短的路线
从点（2，4）到点（4，2）有6种走法，分别为
1、（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）；
2、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
3、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
4、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
5、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
6、（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）．
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；
（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求
各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题
意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找
出符合条件的线段．
【随堂练习】
1．（柳北区三模）如图，象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位
于点（2，﹣2），则“炮”位于点（ ）
A．（﹣3，1） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，﹣1）
【解答】解：如图所示：“炮”位于点：（0，0）．故选：B．
2．（昌平区二模）第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某
校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简．如
图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示国际特
色农产品馆的坐标为（﹣5，0），表示科技生活馆的点的坐标为（6，2），则
表示多彩农业馆所在的点的坐标为（ ）
A．（3，5） B．（5，﹣4） C．（﹣2，5） D．（﹣3，3）
【解答】解：∵国际特色农产品馆的坐标为（﹣5，0），科技生活馆的点的坐
标为（6，2），
∴可建立如图所示的平面直角坐标系：由坐标系可知表示多彩农业馆所在的点的坐标为（﹣2，5），
故选：C．
3．（滦南县二模）如图，点 A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为
8千米，将点A的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分
别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（ ）
A．点O B．点O C．点O D．点O
1 2 3 4
【解答】解：如图所示：观测点的位置应在点O ．
1
故选：A．知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做
横轴或 轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或 轴，取向上的方向为
正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．
2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，
每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点
不属于任何象限．
3、点的坐标
对于坐标平面内的一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对
应的数 、 分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序实数对 叫做点 的坐标，记作．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
4、各象限内点的坐标特征
点 在第一象限 ；
点 在第二象限 ；
点 在第三象限 ；
点 在第四象限 ．
【典例】
1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长
度的点有____________．
【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）【解析】解：设该点坐标为（x，y）
∵满足条件的点到x轴的距离等于2个单位长度，
∴该点纵坐标的绝对值等于2，即 ，
∵到y轴的距离等于3个单位长度，
∴该点横坐标的绝对值等于3，即
∴满足条件的点一共有4个，分别是：
（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2），
2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【答案】三
【解析】解：∵a•b＞0，
∴a、b同号
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴点M（a，b）在第三象限．
故答案为：三
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y
轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于 a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可
得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限
（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．（常州一模）若点A（x，y）是第二象限内的点，则下列不等式中一定成立
的是（ ）
A．x＞y B．x+y＜0 C．x﹣y＜0D．xy＞0
【解答】解：因为点A（x，y）是第二象限内的点，
所以x＜0，y＞0，可得：x﹣y＜0，xy＜0，x＜y，
故选：C．
2．（周村区一模）若m是任意实数，则点P（m﹣1，m+2）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵（m+2）﹣（m﹣1）=m+2﹣m+1=3＞0，
∴点P的纵坐标一定大于横坐标，
第一象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴纵坐标一定小于横坐标，
∴点P一定不在第四象限，
故选：D．
3．（香洲区模拟）平面直角坐标系中，若点 A（a，﹣b）在第三象限内，则点
B（b，a）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第三象限内，
∴a＜0，﹣b＜0，
则b＞0，
故点B（b，a）所在的象限是第四象限．
故选：D．知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 即在 轴上，又在 轴上 ，即点 的坐标为 ．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点 在第一、三象限夹角的角平分线上 ；
点 在第二、四象限夹角的角平分线上 ．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（ ）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
【答案】B.
【解析】解：∵点P（a，b）在x轴上，
∴b=0，
∴ab=0，
∴点Q（ab，﹣1）在y轴负半轴上．
故选：B
2.已知点 P的坐标（2﹣a，3a+6），且点 P在二四象限角平分线上，则点 P的坐标是
_________．
【答案】（6，﹣6）
【解析】解：∵点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，
∴（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得a=﹣4，
∴横坐标：2﹣a=2﹣（﹣4）=6，
∴点P的坐标为（6，﹣6）．
故答案为：（6，﹣6）．
【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y
轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐
标与纵坐标互为相反数．【随堂练习】
1．（遂宁期末）已知点 P（a，1）不在第一象限，则点 Q（0，﹣a）在
（ ）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上
C．y轴正半轴或原点上D．y轴负半轴上
【解答】解：∵点P（a，1）不在第一象限，
∴a≤0，
则﹣a≥0，
故点Q（0，﹣a）在：y轴正半轴上或原点．
故选：C．
2．（平定县期末）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标
为（ ）
A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，
∴m+1=0，
∴m=﹣1，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：B．3．（阿城区期末）若P（m+3，m﹣2）是x轴上的点，则m的值是（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：∵P（m+3，m﹣2）是x轴上的点，
∴m﹣2=0，
解得：m=2．
故选：A．
知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A ，逆时针
1
旋转90°后前进2个单位长度到达A ，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A ，…，逆
2 3
时针旋转90°后前进个单位长度到达点A，则点A的坐标为________．
【答案】（1009，1010）
【解析】解：如图所示：
∵A（1，0），A（1，2），A（﹣2，2），A（﹣2，﹣2），
1 2 3 4
A（3，﹣2），A（3，4），A（﹣4，4），A（﹣4，﹣4），
5 6 7 8
A（5，﹣4），A （5，6），
9 10
A （﹣6，6）…
11
观察图形规律，一三象限内是偶次数点，其中第三象限的点次数是 4的整数倍，第一象限
的点次数除以4余2；
因为÷4=504……2，所以点A在第一象限；观察第一象限内点的坐标规律：A （1，2），A （3，4），A （5，6）……，可得A点的
2 6 10
坐标为（1009，1010）．
故答案为：（1009，1010）．
【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐
标规律，即可判断点A在第一象限；再观察第一象限内的点A （1，2），A （3，4），
2 6
A （5，6）的规律，发现第一象限内的点A 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以第
10 n
一象限内点A的坐标为 ，所以点A点的坐标为（1009，1010）．
【随堂练习】
1．（潍坊二模）对点（x，y）的一次操作变换记为P （x，y），定义其变换法
1
则如下：P （xy）=（x+y，x﹣y）：且规定P （x，y）=P （P （x，y））
1 n 1 n﹣1
（n为大于1的整数），如P （1，2）=（3，﹣1），P （1，2）=P （P （1，
1 2 1 1
2））=P （3，﹣1）=（2，4），P （1，2）=P （P （1，2））=P （2，4）=
1 3 1 2 1
（6，﹣2），则P（1，﹣1）=（ ）
A．（0，21009）B．（0，21008）C．（21008，﹣21008） D．（21009，﹣21009）
【解答】解：根据题意得：
P （1，﹣1）=（0，2），
1
P （1，﹣1）=（2，﹣2）
2
P （1，﹣1）=（0，4），
3
P （1，﹣1）=（4，﹣4）
4P （1，﹣1）=（0，8），
5
P （1，﹣1）=（8，﹣8）
6
…
当n为偶数时，P （1，﹣1）=（ ，﹣ ），
n
则P（1，﹣1）=（21009，﹣21009）；
故选：D．
2．（新洲区期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图
中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，
0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（ ）
A．（14，0） B．（14，﹣1） C．（14，1） D．（14，2）
【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
所以奇数列的坐标为（n， ）（n， ﹣1）…（n， ）；
偶数列的坐标为（n， ）（n， ﹣1）…（n，1﹣ ），由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．
代入上式得（14， ﹣5），即（14，2）．
故选：D．
3．（微山县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C
（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线
的粗细忽略不计）的一端固定在点 A处，并按A→B→C→D→A…的规律绕在
四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，﹣1） D．（0，﹣2）
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣
2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
÷10=201…8，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第8个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点在D处上面1个单位的位置，坐标为（1，﹣1）．故选：C．
综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
【答案】九年级六班
【解析】解：根据（7，3）表示七年级三班，即第1个数表示年级，第2个数表示班级，
所以（9，6）表示九年级六班．
2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如
果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同
样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→（_______）→
（_______） → （1，3）．（答案不唯一）
【答案】（2，1）；（2，2）；（2，3）
【解析】解：答案不唯一．
3.已知点 A（3a，2b）在 x 轴上方，y 轴的左边，则点 A 到 x 轴、y 轴的距离分别为
____________．
【答案】2b， ﹣3a
【解析】解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，∴点A到y轴的距离是﹣3a
所以点A到x轴的距离是2b，到y轴的距离是﹣3a
故答案为：2b， ﹣3a
4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
【答案】三
【解析】解：∵点（a，b）在笫二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，a﹣b＜0，
∴点（ab，a﹣b）在第三象限．
故答案为：三
5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形
（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第 41个正方形（实线）四条边上
的整点个数共有_______个．
【答案】164
【解析】解：设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有a（n为正整数）个，
n
观察，发现：a=4，a=8，a=12，a=16，…，
1 2 3 4
∴a=4n．
n
当n=41时，a =41×4=164．
41
所以从里向外第41个正方形四条边上的整点个数共有164个
故答案为：164．
6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一
次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点
（2，﹣1），…，按照这样的规律，第次到达点的坐标应为_______．【答案】（673，0）
【解析】解：设第n次到达的点为P，
n
观察，发现规律：P （0，1），P （1，1），P （1，0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），
0 1 2 3 4
P（2，0），P（2，1），…，
5 6
蚂蚁移动6次是一个循环，每个循环向右移动2个单位
∵÷6=336……2
∴点P是由点P（1，0）向右经过336个循环后得到的
2
∴点P的坐标为（2×336+1，0）即（673，0）．
故答案为：（673，0）．
7.请写出点A，B，C，D，的坐标．
【答案】略
【解析】解：A（3，2）；B（﹣3，4）；C（﹣4，﹣3）；D（3，﹣3）．
8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；
（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在x轴上，
∵m+7=0，
m=﹣7；
（2）∵点P在二、四象限的角平分线上，∴2m﹣1与m+7互为相反数
即：2m﹣1+m+7=0，
∴m=﹣2；
9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在第三象限的角平分线上
∴4x与 x﹣3相等，即4x=x﹣3，
解得x=﹣1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1．
（2）∵点P在第四象限
∴4x>0，x﹣3<0
∵点P到两坐标轴的距离之和为9
∴4x+[﹣（x﹣3）]=9，
解得x=2，
此时点P的坐标为（8，﹣1），
∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2．
10.已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的
坐标．
【答案】略
【解析】解：点M的坐标为（2﹣a，3a+6），且点M到两坐标轴的距离相等，
（1）当点M在一、三象限时，
2﹣a=3a+6，
解得：a=﹣1，
M点坐标为（3，3）
（2）当点M在二、四象限时，
（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得：a=﹣4，
M点坐标为（6，﹣6）．
∴M点坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
