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第 9 讲 与线段有关的计算
知识点1：直线、射线和线段的概念
1.直线的两方都没有端点，可以向两方无限延伸；直线一般用它上面的两个点表示，也可
以用一个小写字母表示。
2.直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；射线用它的端点和射线上的另外
一点来表示，也可以用一个小写字母表示；可以向一方无限延伸。
3.线段有两个端点，不可延伸。
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB或线段BA，或线
段a。表示线段的字母也可以表示线段长度，如AB=6。
【典例】
1.已知如图，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 点O不在直线AC上 B. 射线AB与射线BC指的是同一条射线
C. 图中共有5条线段 D. 直线AB与直线CA指的是同一条直线
【解析】解：A、点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；
B、射线AB与射线BC的端点不同，不是同一条射线，故B错误，符合题意；
C、图中的线段有AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故C说法正确，不符合题意；
D、点A、B、C在同一条直线上，根据直线的表示方法可知，直线 AB与直线CA指的是
同一条直线，故D正确，不符合题意．
【方法总结】
确定射线需要两个要素：（1）端点；（2）方向。
确定不同字母表示的直线是否是同一条直线只需要确定所有的字母是否在同一直线上。
2. 由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣
辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火车票有______种
【解析】解：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他5个城市有5种车票，但是已知中是由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海
城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，没有返程车票，都是单程车票，每个城市出发的火车都被重复计
1
算了，所以要为这次列车制作的火车票有 ×5×6=15种，
2
【方法总结】
求在某一条包含若干点的线段上存在的线段条数，有如下两种方法：
1.简单图形直接数线段的条数；
2.数量比较多的情况下，只需要数从一个点出发有多少条线段，再与数出点的个数相乘。
由于每条线段都被重复计算一次，所以最终结果是其一半。
【随堂练习】
1．（文登区期末）下列说法正确的是
A．延长直线 B．延长射线
C．反向延长射线 D．延长线段 到点 ，使
【解答】解： ．延长直线 ，说法错误；
．延长射线 ，说法错误；
．反向延长射线 ，说法正确；
．延长线段 到点 ，则 ，故本选项错误；
故选： ．
2．（岱岳区期中）下列数学语言，不正确的是
A．画直线 ，在直线 上任取一点
B．以点 为端点画射线
C．直线 ， 相交于点
D．延长线段 到点 ，使
【解答】解： 、画直线 ，在直线 上任取一点 ，正确；
、以点 为端点画射线 ，正确；
、直线 ， 相交于点 ，故错误；
、延长线段 到点 ，使 ，正确；
故选： ．
3．（岱岳区期中）如图，观察图形，下列结论中不正确的是A．直线 和直线 是同一条直线
B．图中有5条线段
C．
D．射线 和射线 是同一条射线
【解答】解： 、直线 和直线 是同一条直线，正确；
、图中有6条线段，故错误；
、 ，正确；
、线 和射线 是同一条射线，正确；
故选： ．
4．（黄埔区期末）如图， ， ， 是线段 的四等分点，下列等式不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：
由 ， ， 是线段 的四等分点，得 ，
选项 ， ，选项正确
选项 ， ，选项正确
选项 ， ，选项正确
选项 ，因为 ， ，所以 ，选项错误
故选： ．
5．（福田区校级期末）直线 上有5个不同的点 、 、 、 、 ，则该直线上共有
条线段．
A．8 B．9 C．12 D．10
【解答】解：根据题意画图：
由图可知有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
共10条．
故选： ．6．（滨海新区期末）直线 ，线段 ，射线 的位置如图所示，下图中不可能相交
的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 选项中，直线 与线段 无交点，符合题意；
选项中，直线 与射线 有交点，不合题意；
选项中，线段 与射线 有交点，不合题意；
选项中，直线 与射线 有交点，不合题意；
故选： ．
知识点2：直线的性质——两点确定一条直线
两点确定一条直线在生活当中的应用很广泛，例如我们排队时，队头站好两个人，后面的
人只需要看着自己前面的一个人，一个个的排下来就可以排成一支整齐的队伍；打靶的时
候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就可
以确定命中了。
【典例】
1.在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”
为基准摆放茶杯，这样做的理由是（ ）
A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线
C． 两点之间，直线最短 D． 过一点可以作无数条直线
【解析】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是两
点确定一条直线，
【方法总结】
生活中需要沿直线进行操作的工作，开始之前一般都先找好两个点，因为两点就能确定一
条直线。
2. 已知平面内有A，B，C，D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画_______直线．
【解析】解：分三种情况：
①四点在同一直线上时，只可画1条；
②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；③当没有三点共线时，可画6条；
【方法总结】
通过点的数量来确定直线的数量时，先观察是否有任意三点或者更多的点共线。当没有出
n(n-1)
现三点共线时，直线的数量直接带入公式 （n≥2）即可；当出现三点或者更多点共
2
线时，则需要单独讨论。
【随堂练习】
1．（莱芜期中）下列说法正确的有
①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解答】解：①过两点只能画一条直线，故正确；
②过两点可以画2条射线，故错误；
③过两点只能画一条线段，故正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选： ．
2．（高阳县模拟）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用
数学知识解释其道理应是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线可以向两边延长
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【解答】解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学
知识解释其道理应是两点确定一条直线，
故选： ．
3．（梁溪区期末）在平面内有 、 、 、 四点，过其中任意两点画直线，则最多可
以画
A．4条 B．6条 C．8条 D．无数条
【解答】解：分三种情况：
1、四点在同一直线上时，只可画1条；
2、当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；
3、当没有三点共线时，可画6条．
所以最多可以画6条．故选： ．
4．（凉山州期末）下列说法中，正确的有 个
①笔尖在纸上快速滑动写出一个又一个字，这说明点动成线；
②要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这是
运用数学知识两点确定一条直线；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④射线 与射线 是同一条射线；
⑤两条射线组成的图形叫角
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4
【解答】解：①笔尖在纸上快速滑动写出一个又一个字，这能说明点动成线，正确；
②要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这是
运用数学知识两点确定一条直线，正确；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥，错误；
④射线 与射线 不是同一条射线，错误；
⑤两条有公共顶点的射线组成的图形叫角，错误；
故选： ．
知识点3：线段的性质——两点之间线段最短
【典例】
1.年12月6日西成高铁全线开通运营，西安至成都的运行时间由11个小时缩短为4小时．
这条经关中、汉中平原及穿越秦岭、巴山山脉的高速铁路用部分高难度的桥梁、隧洞等方
式缩短了路程，这样做的主要依据是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 直线比曲线短 D. 两条直线相交于一点
【解析】解：铁路改造主要的工作就是将之前弯曲的铁路改造成桥梁、隧洞等直线方案，
这样做的主要依据是两点之间，线段最短，
【方法总结】
该题中不同方案的路线体现的是直线和曲线的差别。两点确定以后，两点之间的曲线要比
线段长。
【随堂练习】
1．（开平区二模）如图，如果把原来的弯曲河道改直，关于两地间河道长度的说法正确的
是A．变长了 B．变短了 C．无变化 D．是原来的2倍
【解答】解：把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理
是：两点之间线段最短．
故选： ．
2．（双峰县期末）有下列生活，生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设．
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故
错误；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一
条直线”，故错误；
④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，就能缩短路程是利用了“两点
之间线段最短”，故正确．
故选： ．
3．（肥东县期末）“把弯曲的公路改直就可以缩短路程”，其中蕴含的数学道理是
A． 经过两点有一条直线，并且只有一条直线
B． 直线比曲线短
C． 两点之间的所有连线中，直线最短
D．两点之间的所有连线中，线段最短
【解答】解：由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段
最短．
故选： ．4．（桥西区期末）把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，理由是
A．两点之间，直线最短 B．线段比曲线短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．
故选： ．
5．（历城区期末）下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解
释的是
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上
D．从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 来架设
【解答】解： 、根据两点确定一条直线，故本选项错误；
、根据两点确定一条直线，故本选项错误；
、根据两点确定一条直线，故本选项错误；
、根据两点之间，线段最短，故本选项正确．
故选： ．
知识点4：两点之间的距离
两点之间的线段长度就叫做这两点之间的距离。
【典例】
1.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以
A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【解析】解：由题意可得，
图中以 A，B，C，D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：
AC+CD+DB+AD+CB+AB
=（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB
=AB+AB+CD+AB
=3AB+CD，
∵CD=2，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，
∴当AB=8时，3AB+CD=3×8+2=26，
当AB=9时，3AB+CD=3×9+2=29，当AB=10时，3AB+CD=3×10+2=32．
故选B
【方法总结】
解答该题首先数清楚一共有多少条线段，其次将各线段组合找出与线段AB的关系，列出
线段长度之和与线段AB、CD的关系式，最后假设线段AB的长找出正确答案。
2.如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF=1：
2：3，若MN=8cm，则线段EF的长______
【解析】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，
可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，
而M、N分别为EA、BF的中点，
1 1
∴MA= EA，NB= BF，
2 2
1 3
∴MN=MA+AB+BN= x+2x+ x=4x
2 2
∵MN=8cm，
∴4x=8，
∴x=2，
∴EF=EA+AB+BF=6x=12，
∴EF的长为12cm，
【方法总结】
题中所给线段MN跟已知线段EA、AB、BF没有直接的数量关系，只能够将线段分解成
MA、AB和BN，然后根据已知条件，将MA和BN用已知线段EA和BF表示出来。通过
设未知数列方程，先求出EA的长，再根据比例关系求出EF的长。
【随堂练习】
1．（沙坪坝区校级月考）下列说法中正确的有
①射线比直线小一半；②连接两点的线段叫两点间的距离；③过两点有且只有一条直线；
④两点之间所有连线中，线段最短
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①射线比直线小一半，根据射线与直线都无限长，故这个说法错误；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，此这个说法错误；
③过两点有且只有一条直线，此这个说法正确；
④两点之间所有连线中，线段最短，此这个说法正确；
故正确的有2个．故选： ．
2．（罗湖区校级期末）如果 、 、 三点在同一直线上，且线段 ， ，
若 、 分别为 、 的中点，那么 、 两点之间的距离为
A． B． C． 或 D．无法确定
【解答】解：如图1，当点 在线段 上时，
， ， ， 分别为 ， 的中点，
， ，
，
如图2，当点 在线段 上时，
， ， ， 分别为 ， 的中点，
， ，
，
故选： ．
3．（锦江区校级期末）下列说法正确的个数是
①射线 与射线 是同一条直线；
②两点确定一条直线；
③两点之间直线最短；
④若 ，则点 是 的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①射线 与射线 不是同一条射线，故①错误；
②两点确定一条直线，故②正确；
③两点之间线段最短，故③错误；
④若 ，则点 不一定是 的中点，故④错误．
故选： ．
4．（包河区期末）下列说法正确的是
A．两点之间直线最短
B．线段 就是 、 两点间的距离
C．射线 和射线 是同一条射线D．将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线
【解答】解： 、两点之间线段最短，故选项 错误；
、线段 的长度就是 、 两点间的距离，故选项 错误；
、射线 和射线 是两条不同的射线，故选项 错误；
、将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线．正确．
故选： ．
5．（滨海新区期末）已知线段 ，线段 ，则线段 的长度为
A． B． C． 或 D．无法确定
【解答】解：当点 在线段 上时，则 ，所以 ；
当点 在线段 的延长线上时，则 ，所以 ．
故选： ．
6．（长清区期末）如图， 是线段 上的点， 是线段 的中点， 是线段 的中
点，若 ，则 的长为
A．10 B．20 C．30 D．40
【解答】解： 是线段 的中点， 是线段 的中点， ，
，
，故 ．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
7．（道里区期末）点 在直线 上， ， ，点 为 中点，则 的长为
1 或 9 ．
【解答】解：如图1，
，点 为 中点，
，
；
如图2， ，点 为 中点，
，
；
故答案为：1或9．综合集训
1.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中
沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是____________________．
【解析】解：∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有
AC是直线段，
∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
2.如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有
线段_________条．
【解析】解：构成五角星的边（两个顶点之间的线段）共有 5条，即线段AC，BE，CE，
BD，AD；每条边上各有另两个点，即每条边上有6条线段；所以共有6×5=30条线段．
3.平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45条直线，则此平
面上共有个________已知点．
2×(2-1)
【解析】解：∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为： =1；
2
3×(3-1)
平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为： =3；
24×(4-1)
平面内不同的四点确定6条直线，可表示为： =6；
2
10×(10-1)
以此类推，可得： =45，
2
所以n=10．
3.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为___________．
【解析】解：当C在线段AB上时，
AC=AB﹣BC=3﹣2=1，
当C在线段AB的延长线时，
AC=AB+BC=3+2=5，
即AC=1或5，
故答案为：1或5．
4.如图，AB=10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线
段CD长为_________．
【解析】解：∵C为AO的中点，D为OB的中点，
1 1
∴CO= AO，OD= OB
2 2
1 1 1 1 1
∴CD=CO+OD= •AO+ •OB= （AO+OB）= •AB= ×10=5（cm）．
2 2 2 2 2
故答案为：5cm．
5.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC=2BC，在AB的反向延长线上取一点
D，使DA=2AB，那么线段AC：DB=_________．
【解析】解：如下图所示：
∵AC=AB+BC=2BC，∴AB=BC，
∴DA=2AB=2BC，
∴DB=DA+AB=3AB=3BC，
∴AC：DB=2BC：3BC=2：3，
故答案为：2：3．
