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第 15 讲 幂的运算
知识点1 同底数幂的乘法
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（m，n是正整数）
（2）推广： （m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 与 ， 与
， 与 等；② 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，
只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．
在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适
当变形为同底数幂．
【典例】
【题干】如果a2n﹣1•an+2=a7，则n的值是_____
【答案】2
【解析】解：∵a2n﹣1•an+2=a2n﹣1+n+2
=a3n+1，
a2n﹣1•an+2=a7，
∴ a3n+1= a7，
∴3n+1=7，
解得n=2．
【方法总结】
本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据
同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m的值．
2.已知am=3，an=6，ak=4，求am+n+k的值．
【答案】略．【解析】解：am+n+k=am•an•ak
∵am=3，an=6，ak=4，
∴am+n+k=am•an•ak
=3×6×4
=72．
故am+n+k的值为72．
【方法总结】
本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据
同底数幂的乘法的运算法逆用，将am+n+k变形为am•an•ak，然后将am=3，an=6，ak=4，代入
am•an•ak，求解即可．
3.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+2+2①，将等式两边同时乘2得：
2S=2+22+23+24+25+…+2+2②
将②减去①得2S﹣S=2﹣1
即S=2﹣1
即1+2+22+23+24+…+2=2﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【答案】（1）略；
（2）略．
【解析】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210①，
将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+…+210+211②，
将②减去①得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；
（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
1
②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S= （3n+1﹣1），
2
1
则1+3+32+33+34+…+3n= （3n+1﹣1）．
2
【方法总结】
此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键． 解答此题常用的方法是
“a倍的错位相减”即可求解．如：求1+a+a2+a3+a4+…+an(a不等于0)的和．解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②﹣①得：aS﹣S=an+1﹣1，
1
即S= （an+1﹣1），
a-1
1
则1+a+a2+a3+a4+…+an= （an+1﹣1）．
a-1
注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．
【随堂练习】
1．（杜尔伯特县二模）若xm=2，xn=3，则xm+2n的值为____．
【解答】解：∵xm=2，xn=3，
∴xm+2n=xmx2n=xm（xn）2=2×32=2×9=18；
故答案为：18．
2．（仪征市一模）若x+3y﹣4=0，则3x•27y=_____．
【解答】解：∵x+3y﹣4=0，
∴x+3y=4，
∴3x•27y=3x•33y=3x+3y=34=81．
故答案为：81．
3．（开福区校级期中）阅读材料：n 个相同的因数 a 相乘，可记为 an，如
2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 8（即log 8=3）．一般
2 2
地，若 an=b（a＞0 且 a≠1，b＞0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 log b
a
（即 log b=n）．如 34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log 81（即
a 3log 81=4）．
3
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：log 4=___，log 16=____，log 64=____；
2 2 2
（2）根据（1）中的计算结果，写出log 4，log 16，log 64满足的关系式；
2 2 2
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
log M+log N=______（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
a a
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
【解答】解：（1）log 4=2，log 16=4，log 64=6；
2 2 2
故答案为：2，4，6；
（2）由（1）得：log 4+log 16=log 64；
2 2 2
（3）由（2）得：log M+log N=log MN；
a a a
故答案为：log MN；
a
（4）记log M=m，log N=n，
a a
则M=am，N=an，
所以MN=am•an=am+n，
所以log MN=log am+n=m+n，
a a
所以log M+log N=log MN．
a a a4．（上杭县期中）阅读理解：
乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）
42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）
52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）
（1）2×5=_____；
（2）m2×m5=____；
（3）计算：（﹣2）×（﹣2）．
【解答】解：（1）2×5=7，
故答案为：7；
（2）m2×m5=m7，
故答案为：m7；
（3）（﹣2）×（﹣2）
=（﹣2）+
=（﹣2）4033
=﹣24033．
知识点2 幂的乘方
1．幂的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
【典例】
1.若81x=312，则x=__________．
【答案】3．
【解析】解：81x=34x，
∵81x=312，
∴34x=312，
即34x=312，
∴4x=12，
x=3，
故答案为：3．
【方法总结】
本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把
81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．
2.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_______
【答案】a2b3
【解析】解：∵32x+3y=32x•33y
=（3x）2•（3y）3
∴当3x=a，3y=b时，
原式=（3x）2•（3y）3
=a2b3，
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积
的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是
解答本题的关键．
3.比较3555，4444，5333的大小．
【解析】解：∵3555=35×111=（35）111=243111，
4444=44×111=（44）111=256111，
5333=53×111=（53）111=125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即4444＞3555＞5333．
【方法总结】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数
变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
知识点3 积的乘方
1．积的乘方
（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=an•bn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据
乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例】
1.用简便方法计算下列各题：
4
（1）（ ）×（﹣1.25）
5
2 5 1
（2）（2 ）10×（﹣ ）10×（ ）11．
5 6 2
【答案】（1）略；
（2）略．
4
【解析】解：（1）（ ）×（﹣1.25）
5
4 5
=（ ）×（﹣ ）
5 4
4 5 5
=（ ）×（﹣ ） ×（﹣ ）
5 4 4
4 5
=[ ×（﹣1.25）]×（﹣ ）
5 4
5
=（-1）×（﹣ ）
4
5
=﹣ ；
4
2 5 1
（2）（2 ）10×（﹣ ）10×（ ）11
5 6 2
12 5 1
=（ ）10×（﹣ ）10×（ ）11
5 6 2
12 5 1 1
=（ ）10×（﹣ ）10×（ ）10×
5 6 2 2
12 5 1 1
=[ ×（﹣ ）× ]10×
5 6 2 21
= ．
2
【方法总结】
此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数
4 5 12 5 1
分别是 和﹣ ，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是 、﹣ 、 ，乘积正是-1，-1的
5 4 5 6 2
偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．
2.（1）已知an=3，bn=5，求（a2b）n的值；
（2）若2n=3，3n=4，求36n．
【解析】解：（1）∵（a2b）n=（a2）n• bn
=a2×n•bn
= （an）2 •bn；
∴（a2b）n = （an）2 •bn
∴（a2b）n = （an）2 •bn
=32×5
=45；
（2）36n═（62）n
=（6n）2
=【（2×3）n】2
=（2n×3n）2
=（3×4）2
=144．
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指
数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将
（a2b）n 转变为（an）2 •bn，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．
【随堂练习】
1．（新区期中）已知常数 a、b 满足 3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）
b=1，求a2+4b2的值．
【解答】解：∵3a×32b=27，
∴3a+2b=33，故a+2b=3，
∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，
∴52a+4b÷53ab=1，
∴2a+4b﹣3ab=0，
∵a+2b=3，
∴6﹣3ab=0，
则ab=2，
∴a2+4b2=（a+2b）2﹣4ab
=32﹣4×2
=1．
2．（长安区一模）图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下
面的问题：
（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；
②（ ）11×（﹣ ）13×（ ）12．
（2）若2•4n•16n=219，求n的值．
【解答】解：（1）①82008×（﹣0.125）2008
=（﹣8×0.125）2008=（﹣1）2008
=1；
②原式=（﹣ × × ）11× ×（﹣ ）2
=﹣ ×
=﹣ ；
（2）由已知得，2•4n•16n=219，
则2•22n•24n=219，
故1+2n+4n=19，
解得：n=3．
知识点4 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数 a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是
什么，指数是什么．
2．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00无意义．
3．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数）
αp注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣
3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
【典例】
【题干】（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=______
【答案】（a+b+c）4
【解析】解：（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1
=（a+b+c）n+3﹣n+1
=（a+b+c）4．
【方法总结】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．
2.若m=5，n=4，则3m﹣2n等于____
125
【答案】
16
【解析】解：∵3m﹣2n=3m÷2n
=（m）3÷（n）2
∴3m﹣2n=（m）3÷（n）2
∵m=5，n=4，
∴3m﹣2n=（m）3÷（n）2，
=53÷42，
125
= ．
16
【方法总结】
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将3m﹣2n转化成同底数幂的
除法，即转化成3m÷2n的形式，再利用幂的乘方法则，将3m，2n分别用（m）3、（n）2代换，
即3m÷2n转化成为（m）3÷（n）2，然后将m=5，n=4代入（m）3÷（n）2即可求解．
【随堂练习】
1．（临淄区校级期中）已知5m=2，5n=4，求52m﹣n和25m+n的值．
【解答】解：∵5m=2，5n=4，∴52m﹣n=（5m）2÷5n=22÷4=1；
25m+n=52（m+n）=（5m）2×（5n）2=22×42=64．
2．（瑶海区期中）（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）﹣2= = × =
× 由上述计算，我们发现（ ）2 = （ ）﹣2；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（ ）3与（ ）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）﹣m = （ ）m（ab≠0）
（4）计算：（ ）﹣4×（ ）4．
【解答】解：（1）∵（ ）2= × ，（ ）﹣2= = = × ，
∴（ ）2=（ ）﹣2，
故答案为：=；
（2）∵（ ）3= × × ，（ ）﹣3= = × × ，
∴（ ）3=（ ）﹣3；
（3）由（1）、（2）知，（ ）﹣m=（ ）m，
故答案为：=；
（4）原式=（ × ）﹣4×（ ）4
=（ ）﹣4×（ ）﹣4×（ ）4= ×（ ）﹣4+4
=16×1
=16．
3．（江阴市校级月考）求值：
（1）已知3×9m÷27m=316，求m的值．
（2）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
（3）若n为正整数，且x2n=4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【解答】解：（1）∵3×9m÷27m=316，
∴31+2m﹣3m=316，
∴1﹣m=16，
∴m=﹣15；
（2）∵2x+5y﹣3=0，
∴2x+5y=3，
∴4x•32y=22x+5y=23=8；
（3）∵x2n=4，
∴xn=2，
∴（3x3n）2﹣4（x2）2n=9x6n﹣4x4n
=9×26﹣4×24
=24×25
=29．综合运用
1.已知ma+b•ma﹣b=m12，则a的值为_________．
【答案】6．
【解析】解：∵ma+b•ma﹣b=m12，
∴ma+b+a-b=m12，
∴a+b+a-b=12即2a=12．
解得：a=6．
2.若102•10n﹣1=106，则n的值为_________．
【答案】5．
【解析】解：∵102•10n﹣1=106，
∴102+n﹣1=106，
∴2+n﹣1=6，
解得n=5，
故答案为：5．
3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
【答案】略．
【解析】解：2a+b+3=2a×2b×23
∵2a=5，2b=3，
∴2a+b+3=2a×2b×23
=5×3×8
=120．
4.已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．
【答案】略．
【解析】解：∵9x•27y=（32）x •（33）y
=32x•33y
=32x+3y
∴9x•27y=32x+3y
∵2x+3y﹣2=0，
∴2x+3y=2，
∴9x•27y=32x+3y
=32=9．
5.根据已知求值：
（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
【答案】略．
【解析】解：（1）∵a3m+2n=a3m•a2n
=（am）3•（an）2
∴a3m+2n =（am）3•（an）2；
∵am=2，an=5，
∴a3m+2n =（am）3•（an）2
=23×52
=200；
（2）∵ 3×9m×27m=31×（32）m×（33）m
=31×32m×33m
=31+5m，
∴3×9m×27m=31+5m，
∵3×9m×27m=321，
∴31+5m=321，
∴1+5m=21，解得m=4．
6.用简便方法计算下列各题
4
（1）（ ）×（﹣1.25）．
5
1 8
（2）（3 ）12×（ ）11×（﹣2）3．
8 25
【答案】略．
4
【解析】解：（1）( )❑×(-1.25)❑
5
4 5
=( )❑×(- )❑
5 4
4 5 5
=( )❑×(- )❑×(- )
5 4 4
4 5 5
=[ ×(- )]×（﹣ ）
5 4 4
5
=﹣1×（﹣ ）
45
= ；
4
25 25 8
（2）原式= ×（ ）11×（ ）11×（﹣8）
8 8 25
25 25 8
= ×（﹣8）×（ ）11×（ ）11
8 8 25
25 8
=﹣25×( × ) 11
8 25
=﹣25．
7.计算
（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；
【答案】（1）略；
（2）略；
（3）略．
【解析】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
=（n﹣m）2+3+4，
=（n﹣m）9；
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
=b2n×3•b3×4n÷b5×（n+1）
=b6n•b12n÷b5n+5
=b6n+12n÷b5n+5
=b6n+12n﹣(5n+5)
=b6n+12n﹣5n-5
=b13n﹣5；
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2
=a2×3﹣a3+3+22•（a3）2
=a2×3﹣a3+3+22•a3×2
=a6﹣a6+4a6
=4a6；
