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第 2 讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
也就是说，若 ，则 就叫做 的平方根．
一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数
所以：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是
0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（武胜县期中）已知 的平方根是 ， 的平方根是 ，求 ．
【解答】解： 的平方根是 ， 的平方根是 ，
， ，解得： ， ．
．
2．（防城港期中）一个正数的平方根是 与 ，求 和这个正数．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
， ，
则这个正数为9．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 的算术平方
根，可用符号表示为“ ”；
有一个平方根，就是 ， 的算术平方根也是 ，负数没有平方根，当然也没有算术平
方根．
【典例】
1. 的算术平方根为____
【答案】3
【解析】解：∵ =9，32=9
∴ 的算术平方根为3．
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的
平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（浦东新区期中）先计算下列各式： ， ， 3 ，， ．
（1）通过观察并归纳，请写出： ．
（2）计算： ．
【解答】解：（1） ；
，
，
，
观察上述算式可知： ．
（2） ，
，
，
．
故答案为：3；4；5；（1） ；（2） ．
2．（长白县期中）已知实数 ， ， 满足： ， 的平方根等于它本身．
求 的值．
【解答】解： ，
把 代入 得：的平方根等于它本身，
．
3．（奈曼旗期末）张华想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面
积为 的长方形纸片，使它的长宽之比为 ．他不知能否裁得出来，正在发愁．
李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意
李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【解答】答：不同意李明的说法
解：设长方形纸片的长为 ，则宽为 ，依题意得
，
， ，
，
，
长方形纸片的长为 ，
，
，
，
即长方形纸片的长大于 ，由正方形纸片的面积为400 ，可知其边长为 ，
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
4．（青山区期中）小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面
积为 的长方形纸片．
（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
（2）若使长方形的长宽之比为 ，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请
帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．【解答】解：（1）设面积为 的正方形纸片的边长为 ，
，
又 ，
，
又 要裁出的长方形面积为
若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：
可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为 的线段作为宽即可裁出符合
要求的长方形；
（2） 长方形纸片的长宽之比为 ，
设长方形纸片的长为 ，则宽为 ，
，
，
又 ，
，
长方形纸片的长为 ，
又
即：
小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根，也就是说，若 则
就叫做 的立方根.
一个数 的立方根可用符号表示“ ”，其中“ ”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“ ”其实省略了根指数“ ”，即： 也可以表示为 ．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
【典例】1.计算 的结果是（ ）
【答案】3
【解析】解： = =3，
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若 则 就叫做 的立
方根.
2如果m2=36，n3=﹣64， =5，则m+n﹣x的值有____个．
【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64， =5，
∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，
当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；
当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；
当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；
当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关
键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（黄石期中）已知实数 的两个平方根分别为 和 ，实数 的立方根为 ，
求 的值．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
所以 ， ，
则原式 ．
2．（莘县期中）已知 是 的算术平方根， 是 的立方
根，
求： 的值的平方根．
【解答】解： 是 的算术平方根，，
解得 ，
；
是 的立方根，
，即 ，
解得 ，
，
，
的值的平方根是 ．
3．（海安县校级月考）若 与 互为相反数，求 的值．
【解答】解： 与 互为相反数，
，
，
，
．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找
到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中： ， ， ，﹣π， ，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【答案】3
【解析】解： ， ，﹣π，是无理数，
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、 、π、﹣3.14、 、﹣ 、 、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、 、0、0.131331333、﹣ }；
（2）无理数集合{ 、π、﹣ 、 }；
（3）整数集合{﹣1、 、0、﹣ }；（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣ 、 、﹣ }．
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与 最接近的整数是______
【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小， 在紧邻 前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
=﹣1﹣8× +3×（﹣ ）
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】1．（邳州市期中）规定：一个数的平方等于 ，记作 ，于是可知
， ，按照这样的规律， 等于
A．1 B． C． D．
【解答】解： ， ， ， ，
从上计算可知， 的指数循环周期是4，
①当指数除以4余数为0时，其结果是1；
②当指数除以4余数为1时，其结果是 ；
③当指数除以4余数为2时，其结果是 ；
④当指数除以4余数为3时，其结果是 ；
．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
2．（北仑区期末）数轴上从左到右依次有 、 、 三点表示的数分别为 、 、 ，
其中 为整数，且满足 ，则 5 或 6 ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，即 ．
，
，即 ，
由于 ，且 是整数，所以 或3．
当 时， ，
当 时， ．
故答案为：5或6
3．（聊城期中）如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为 2个单位长度作矩形，以数轴上的原点 为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点 ，则点 表示的数为
．
【解答】解：由图可得，
点 表示的数是： ，
故答案为： ．
三．解答题（共3小题）
4．（大冶市期末）若点 、 、 在数轴上对应的数分别为 、 、 满足
．
（1）在数轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 对应的数；若不存
在，请说明理由；
（2）若点 ， ， 同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每
秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过 秒后，试问 的值是否会随着
时间 的变化而变化？请说明理由．
【解答】解：（1） ，
， ， ，
解得 ， ， ，
设点 表示的数为 ，
，
① 在 之间，
，
，，
；
② 在 的左边，
，
，
，
；
③ 在 的中间，
，
，
，
（舍去）；
④ 在 的右边，
，
，
（舍去）．
综上所述， 或 ．
（2） 运动时间为 ，
的速度为每秒1个单位长度， 的速度为每秒3个单位长度， 的速度为每秒5个单位
长度，
点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
①当 ，即 时，
，
，，
的值会随着时间 的变化而变化．
②当 时，
，
，
，
的值不会随着时间 的变化而变化．
综上所述，当 时， 的值会随着时间 的变化而变化．当 时，
的值不会随着时间 的变化而变化．
5．（龙湖区期末）如图，在数轴上点 表示的数 、点 表示数 ， 、 满足
．点 是数轴原点．
（1）点 表示的数为 3 0 ，点 表示的数为 ，线段 的长为 ．
（2）若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，请在数轴
上找一点 ，使 ，则点 在数轴上表示的数为 ．
（3）现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点 移动；当
点 移动到 点时，点 才从 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当
点 到达 点时，点 就停止移动，设点 移动的时间为 秒，问：当 为多少时， 、
两点相距4个单位长度？
【解答】解：（1） ，
， ，
解得 ， ，
．
故点 表示的数为30，点 表示的数为 ，线段 的长为36．（2）点 在线段 上，
，
，
点 在数轴上表示的数为 ；
点 在射线 上，
，
，
点 在数轴上表示的数为 ．
故点 在数轴上表示的数为6或 ；
（3）经过 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
当 时，点 还在点 处，
；
当 时，点 在点 的右侧，
，
解得： ；
当 时，点 在点 的左侧，
，
解得： ．
综上所述：当 为4秒、7秒和11秒时， 、 两点相距4个单位长度．
故答案为：30， ，36；6或 ．
6．（定兴县期末）如图1，已知在数轴上有 、 两点，点 表示的数是 ，点 表示
的数是9．点 在数轴上从点 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，
点 在数轴上从点 出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点 到达点
时，两点同时停止运动．设运动时间为 秒．（1） 1 5 ； 时，点 表示的数是 ；当 时， 、 两点相遇；
（2）如图2，若点 为线段 的中点，点 为线段 中点，点 在运动过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长；
（3）如图3，若点 为线段 的中点，点 为线段 中点，则点 表示的数为 ；
点 表示的数为 ； ．（用含 的代数式填空）
【解答】解：（1） ，
时， ， ，
设 秒后相遇，由题意 ， ，
故答案为15，6，3
（2）答： 长度不变，理由如下：
为 中点， 为 中点
， ，
．
（3）则点 表示的数为 ；点 表示的数为 ； ；
故答案为 ， ， ；
综合运用
1. 的平方根是 ．
【答案】±【解析】解： 的平方根是± ，
故答案为：± ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．
3.计算： = ．
【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，
∴ =﹣0.4，
故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）=（﹣1）=1．
故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
± ，
故答案为：±3．
6.在 ，2π，﹣2 ，0，0.454454445…，﹣ ， 中，无理数的有 个．【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣ 、 这4个，
故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【解析】解：∵ ＜ ＜ ，
∴8＜ ＜9，
∵n＜ ＜n+1，
∴n=8，
故答案为：8．
8.比 大且比 小的整数是 ．
【答案】3
【解析】解：比 大且比 小的整数是： =3．
故答案为：3．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14， ，﹣ ，﹣ ，0， ，π，
1010010001…
① 有理数集合{ …}
② 无理数集合{ …}
③ 负实数集合{ …}．
【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14， ，﹣ ，0， ，…}
②无理数集合{﹣ ，π，1010010001…}
④ 负实数集合{﹣3.14，﹣ ，﹣ ，…}．10.计算： ﹣2 +| ﹣2|．
【答案】
【解析】解：原式=2﹣2 +2﹣
=4﹣3 ．
11.计算：
﹣ ﹣（﹣2）2．
【答案】
【解析】解：
﹣ ﹣（﹣2）2
=3+3﹣4
=2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的
理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是 ，是无理数，输出 ，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是 ，故答案为：3和9．
