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第 2 讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
也就是说，若 ，则 就叫做 的平方根．
一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数
所以：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是
0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（宣城期末）实数3的平方根是
A．3 B． C． D．
【解答】解： ，
的平方根是为 ．
故选： ．
2．（巴南区期中）若一个正数 的平方根为 和 ，则
A．7 B．16 C．25 D．49
【解答】解： 一个正数的 的平方根是 与 ，
，解得： ．
．
．
故选： ．
3．（滨州）若 与 的和是单项式，则 的平方根为
A．4 B．8 C． D．
【解答】解：由 与 的和是单项式，得
， ．
，64的平方根为 ．
故选： ．
4．（梁子湖区期中） 和 是某个正数的两个平方根，则实数 的值为
A． B． C．2 D．
【解答】解：根据题意得： ，
移项合并得： ，故选： ．
5．（浉河区校级月考）若 与 是同一个数的平方根，则 的值是
A． B．1 C． 或 D．3
【解答】解：由题意知， ，
解得 ．
故选： ．
6．（无锡期末）若 没有平方根，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知 ，
解得 ，
故选： ．
二．填空题（共3小题）
7．（南充期末）若 ，则 4 或 0 ．
【解答】解： ，
，
解得 或0．
故答案为：4或0．
8．（高密市期末）若 没有平方根，则 的取值范围为 ．
【解答】解：由题意知 ，
解得 ，
故答案为： ．
9．（营山县期末）已知 ，则 的平方根是 ．
【解答】解： ，．
故答案为： ．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 的算术平方
根，可用符号表示为“ ”；
有一个平方根，就是 ， 的算术平方根也是 ，负数没有平方根，当然也没有算术平
方根．
【典例】
1. 的算术平方根为____
【答案】3
【解析】解：∵ =9，32=9
∴ 的算术平方根为3．
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的
平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（洛宁县期末）实数 的平方根
A．3 B．5 C． D．
【解答】解： ，
故实数 的平方根为： ．
故选： ．
2．（婺源县期末） 等于
A． B． C．3 D．【解答】解： ．
故选： ．
3．（厦门期末）9的平方根是 ，用下列式子表示正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（广东）化简 的结果是
A． B．4 C． D．2
【解答】解： ．
故选： ．
5．（建邺区校级二模） 值等于
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
6．（大丰区期中）正方形的面积为6，则正方形的边长为
A． B． C．2 D．4
【解答】解： 正方形的面积为6，
正方形的边长为 ．
故选： ．
7．（海淀区期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数 满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出 将比256增大3.19
【解答】解： ．根据表格中的信息知： ，
，故选项不正确；
．根据表格中的信息知： ，
的算术平方根比15.3大，故选项不正确；
．根据表格中的信息知： ，
正整数 或242或243，
只有3个正整数 满足 ，故选项正确；
．根据表格中的信息无法得知 的值，
不能推断出 将比256增大3.19，故选项不正确．
故选： ．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根，也就是说，若 则
就叫做 的立方根.
一个数 的立方根可用符号表示“ ”，其中“ ”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“ ”其实省略了根指数“ ”，即： 也可以表示为 ．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
【典例】
1.计算 的结果是（ ）
【答案】3
【解析】解： = =3，
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若 则 就叫做 的立
方根.2如果m2=36，n3=﹣64， =5，则m+n﹣x的值有____个．
【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64， =5，
∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，
当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；
当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；
当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；
当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关
键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（天津期末）计算 等于
A．8 B．3 C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（商南县期末）已知一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数的立方
根是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解： 一个正数的两个平方根分别为 和 ，
，
解得： ，
，
则这个正数是64，
这个正数的立方根是 ，
故选： ．
3．（洛阳期中） 的算术平方根是
A． B． C． D．【解答】解： ，
的算术平方根是： ．
故选： ．
4．（河东区期末）有下列说法
①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③ ；④ 的立方根是 ；⑤
的平方根是4；⑥81的算术平方根是 ，其中正确的个数是
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
【解答】解：①36的平方根是 ；
②9的平方根是 ；
③ ；
④ 的立方根是 ；
⑤ 的平方根是 ；
⑥81的算术平方根是9．
故选： ．
5．（马山县期末）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ；
；
；
．
故选： ．
6．（长垣县期末）下列计算正确的是A． B． C． D．
【解答】解： ，故本选项符合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
故选： ．
7．（和平区期末）若 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
故选： ．
8．（济宁）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．二．填空题（共1小题）
9．（雨花区期末）实数8的立方根是 2 ．
【解答】解：实数8的立方根是：
．
故答案为：2．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找
到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中： ， ， ，﹣π， ，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【答案】3
【解析】解： ， ，﹣π，是无理数，
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、 、π、﹣3.14、 、﹣ 、 、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、 、0、0.131331333、﹣ }；
（2）无理数集合{ 、π、﹣ 、 }；
（3）整数集合{﹣1、 、0、﹣ }；
（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣ 、 、﹣ }．
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与 最接近的整数是______
【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小， 在紧邻 前后两个完全平方数的算数平方根之间.3.计算：
﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
=﹣1﹣8× +3×（﹣ ）
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（濉溪县期末）下列各式中，运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，正确；
、 ，故此选项错误；
、 ，无法合并，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
故选： ．
2．（东河区二模）在实数 、 ， ， ， ，1.414中有理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在实数 、 ， ， ， ，1.414 中有理数有 ， ，
，1.414，一共有4个．
故选： ．
3．（大同期末）如图，以原点 为圆心， 长为半径画弧与数轴交于点 ，若点 表示
的数为 ，则 的值为A． B． C． D．
【解答】解：由图可知， ，
则 ， （舍去）．
故选： ．
4．（嘉祥县期末）如果 ， ， 为有理数，那么
A．3 B． C．2 D．
【解答】解： ，
，
， 为有理数，
， ，
．
故选： ．
5．（微山县期末）如果 ， ， 为有理数，那么
A． B．11 C．7 D．3
【解答】解： ， 为有理数），
，
， ，
．
故选： ．
6．（肥城市期末）下列说法其中错误的个数有
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②无理数是开方开不尽的数；
③负数没有立方根；④16的平方根是 ，用式子表示是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数；
③负数没有立方根，错误，负数有立方根；
④16的平方根是 ，用式子表示是： ，故此选项错误．
故选： ．
7．（左贡县期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
8．（洛阳期中）如图，若实数 ，则数轴上表示 的点应落在
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
【解答】解： 实数 ，
，
在数轴上，表示 的点应落在线段 上．
故选： ．
9．（东城区期末）若实数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
A． B． C． D．【解答】解： ， ； 错误；
， ； 错误；
， ； 正确；
从图中可观察 错误．
故选： ．
综合运用
1. 的平方根是 ．
【答案】±
【解析】解： 的平方根是± ，
故答案为：± ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．
3.计算： = ．
【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，
∴ =﹣0.4，
故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）=（﹣1）=1．故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
± ，
故答案为：±3．
6.在 ，2π，﹣2 ，0，0.454454445…，﹣ ， 中，无理数的有 个．
【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣ 、 这4个，
故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【解析】解：∵ ＜ ＜ ，
∴8＜ ＜9，
∵n＜ ＜n+1，
∴n=8，
故答案为：8．
8.比 大且比 小的整数是 ．
【答案】3
【解析】解：比 大且比 小的整数是： =3．
故答案为：3．9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14， ，﹣ ，﹣ ，0， ，π，
1010010001…
① 有理数集合{ …}
② 无理数集合{ …}
③ 负实数集合{ …}．
【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14， ，﹣ ，0， ，…}
②无理数集合{﹣ ，π，1010010001…}
④ 负实数集合{﹣3.14，﹣ ，﹣ ，…}．
10.计算： ﹣2 +| ﹣2|．
【答案】
【解析】解：原式=2﹣2 +2﹣
=4﹣3 ．
11.计算：
﹣ ﹣（﹣2）2．
【答案】
【解析】解：
﹣ ﹣（﹣2）2
=3+3﹣4
=2．
12.一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的
理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是 ，是无理数，输出 ，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是 ，
故答案为：3和9．
