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第 3 讲 概率初步
知识点1 随机事件与概率
随机事件的概念
在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。
在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
概率的概念及意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那
么这个常数p就叫做事件A的概率。
①事件A的概率是一个大于等于 0，且小于等于1的数，即 ，其中
P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件
发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是
正常的，也是经常的.
【典例】
1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（3）水往低处流；
（4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【解析】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0无
实数解是必然事件；
（2）a2+b2=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件，
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的 5个红球、3个篮球和2个白球，它们
已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件．
（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
【解析】解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（2）一定不会发生，是不可能事件；
（3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件．
3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
【解析】掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现
的可能性相等．
（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，
∴P（点数为偶数）= =
（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
∴P（点数大于2且小于5）=
4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，求
y与x之间的函数关系式．
【解析】解：（1）∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，∴从中随机抽取出一个黑球的概率是： ；
（2）∵往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，
∴ = ，
则y=3x+5．
【方法总结】
要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件
发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大
有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
①事件A的概率是一个大于等于 0，且小于等于1的数，即 ，其中
P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件
发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是
正常的，也是经常的.
【随堂练习】
1．（常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是
A．如果 ， 都是实数，那么，
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上
D．用长为 ， ， 的三条线段围成一个等腰三角形
【解答】解： ．如果 ， 都是实数，那么 ，属于必然事件；
．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，属于不可能事件；
．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上，属于随机事件；
．用长为 ， ， 的三条线段围成一个等腰三角形，属于不可能事件；
故选： ．
2．（昌图县期末）下列事件中，是不可能事件的是
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．三条线段可以组成三角形
C．将油滴入水中，油会浮在水面上
D．早上的太阳从西方升起
【解答】解： 、实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，故 错误；
、三条线段可以组成三角形是随机事件，故 错误；、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故 错误；
、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故 正确；
故选： ．
3．（盐城期末）下列成语描述的事件为随机事件的是
A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．水涨船高
【解答】解： 、守株待兔是随机事件，故 符合题意；
、水中捞月是不可能事件，故 不符合题意；
、瓮中捉鳖是必然事件，故 不符合题意；
、水涨船高是必然事件，故 不符合题意；
故选： ．
4．（张家港市期末）一只妈蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完
全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解： 正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 ，
故选： ．
5．（定边县期末）下列事件中，是必然事件的是
A．抛出的篮球会下落
B．一个射击运动员每次射击的命中环数是8环
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
D．早上的太阳从西方升起
【解答】解： ．抛出的篮球会下落，是必然事件；
．一个射击运动员每次射击的命中环数是8环，是随机事件；
．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件；
．早上的太阳从西方升起，是不可能事件．
故选： ．
6．（莱州市期末）下列说法正确的是
A．扔100次硬币，都是国徽面向上，是不可能事件B．小芳在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大
C．王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是必然事件
D．投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件
【解答】解： 、扔100次硬币，都是国徽面向上，是随机事件，故错误；
、小芳在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，不能说明钉尖朝下的可能性大，
故错误；
、王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是随机事件，故错误；
、投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件，正确，
故选： ．
7．（市南区期末）下列事件是必然事件的是
A．三条线段可以组成一个三角形
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次；一定是正面朝上和反面朝上各一次
C．口袋中有1个蓝球和100个红球，每个球除颜色外都相同，随机摸出1球一定是红
球
D．今天星期天，明天星期一
【解答】解： 、三条线段可以组成一个三角形是随机事件；
、抛掷一枚质地均匀的硬币两次；一定是正面朝上和反面朝上各一次是随机事件；
、口袋中有1个蓝球和100个红球，每个球除颜色外都相同，随机摸出1球一定是红球
是随机事件；
、今天星期天，明天星期一是必然事件；
故选： ．
8．（工业园区期末）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别刻有点数 的正方体骰子2次，
则“向上面的点数之和为10”是
A．必然事件 B．不可能事件 C．确定事件 D．随机事件
【解答】解：“向上面的点数之和为10”的情况有 ， ，所哟是随机事件，
故选： ．
9．（宁德期末）一个袋中装有除颜色外完全相同的 个红球、 个白球、 个绿球，则任
意摸一个球是白球的概率是
A． B． C． D．
【解答】解： 袋中装有除颜色外完全相同的 个红球、 个白球、 个绿球，任意摸出一个球是白球的概率是： ．
故选： ．
10．（靖江市校级期末）下列事件中必然事件有
①当 是非负实数时， ；
②打开数学课本时刚好翻到第12页；
③13个人中至少有2人的生日是同一个月；
④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①当 是非负实数时， ，是必然事件；
②打开数学课本时刚好翻到第12页，是随机事件；
③13个人中至少有2人的生日是同一个月，是必然事件；
④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球，是随机事件．
必然事件有①③共2个．
故选： ．
知识点2 用列举法求概率
用列表法和树状图法，求事件的概率
1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举
出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．
2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分
别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．
【典例】
1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其
它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用
画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
【解析】解：列表得：由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率= = ．
2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别
标有数字1，2，3．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转
动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和
是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
【解析】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为 = ．
3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.
（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后
再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于 0的概率.(请用
“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果)
（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后
再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13
个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数.
【解析】（1）解：根据题意画出树状图如解图：
所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种，
则P=
（2）解：设摸出-2、0、1的次数分别为x、y、z，
由题意得， ，
③-②得，6x=18，解得x=3
把x=3代入②得，-2×3+z=-4，解得z=2，
把x=3，z=2代入①得，y=8，
所以，方程组的解是 ，
故摸到球上所标之数是0的次数为8.
【方法总结】
求概率应掌握以下方法：
1. 直接公式法： ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.
2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画
树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，
并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式 求事件A发生的概率
3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如
果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平.
4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类
考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数
比第一次少一种情况
【随堂练习】
1．（洪山区校级模拟）下列说法正确的是
A．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式
B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 ，
，则甲的射击成绩较稳定
【解答】解： 、为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以 选项错误；
、利用树状图得到共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，所以两枚硬币都是
正面朝上这一事件发生的概率为 ，所以 选项错误；
、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，所以 选项
错误；
、因为 ， ，所以甲的方差小于乙的方差，所以甲的射击成绩较稳定，
所以 选项正确．
故选： ．
2．（广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小
霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一
场馆的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：（用 、 、 分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率 ．
故选： ．
3．（温州二模）如图， 的正方形网格中，在 ， ， ， 四个点中任选三个点，
能够组成等腰三角形的概率为
A．0 B． C． D．
【解答】解：在 ， ， ， 四个点中任选三个点，有如下四种情况：
、 、 、 ，
其中能够组成等腰三角形的有 、 两种情况，
能够组成等腰三角形的概率为 ，
故选： ．
4．（东阳市模拟）消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖
家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给
出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，
所以两人中至少有一个给“好评”的概率 ．
故选： ．5．（海陵区二模）将一枚均匀的硬币连续抛掷两次，则两次都是正面朝上的概率等于
A．0.5 B．0.25 C．0.75 D．1
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，两次都是正面朝上的结果数为1，
所以两次都是正面朝上的概率 ．
故选： ．
6．（武昌区模拟）一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个
白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画图如下：
一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况，
因此两个球中至少有一个红球的概率是： ．
故选： ．
7．（卫辉市一模）在一个不透明的纸箱里有四个除了标记数字不同之外其他完全相同的小
球，上面标记数字1，2，3，4，现在从中先后随机抽出两个小球，则两球上数字之和能被
3整除的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两球上数字之和能被3整除的结果数为4，
两球上数字之和能被3整除的概率 ．故选： ．
8．（石峰区模拟）从 、 、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于 的一元二次
方程 的 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：当△ 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，
所以 ，
从 、 、0、1、2这5个数中任取一个数，小于1的结果数为3，
所以所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 ．
故选： ．
二．解答题（共2小题）
9．（南通）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除
颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个
黄球的概率．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数为3，
所以取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率 ．
10．（锦州期末）小芳和小刚都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，
小芳提议：将一个转盘9等分，分别将9个区间标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，
根据指针指向区间决定谁去参加活动．具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动
若指针指向奇数区间，小芳去参加活动
（1）求小刚去参加活动的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）因为转盘被均匀地分成9个区间，其中是偶数的区间有4个，因此 （小刚去参加活动） ，
所以小刚去参加活动的概率是 ．
（2）这个游戏不公平．
理由：因为转盘被均匀地分成9个区间，其中是奇数的区间有5个，
因此， （小芳去参加活动） ．
因为 ，
所以 （小刚去参加活动） （小芳去参加活动），
所以这个游戏不公平．
知识点3用频率估计概率
用频率估计概率
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试
验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性
因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
【典例】
1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球
实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活
动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），
求两次摸到的球颜色相同的概率．.
【解析】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；故答案为：0.5；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）；
（3）列表得：由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有4种可能．
∴P（颜色相同）= = ．
2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动
转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行
中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是：
.
【解析】解：（1）填表如下：
（2）当n很大时，频率将会接近（67+145+357+552+704+1396）÷（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，
故答案为：0.7；
（3）获得铅笔的概率约是0.7，理由是：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的
增多，值越来越精确．
3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她
将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述
过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）= ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【解析】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．
（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有40﹣24=16，40×0.6=24．
【方法总结】
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的
方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，
稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．
3．利用频率估计出的概率是近似值.
【随堂练习】
1．（宁德期末）在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结
果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是A．朝上的点数是6的概率
B．朝上的点数是偶数的概率
C．朝上的点数是小于4的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在 左右， 的概率为 ，
的概率为 ， 的概率为 ， 的概率为 ，
故选： ．
2．（烟台一模）如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆
心角度数分别为 ， ．让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解： 红、黄两个扇形的圆心角度数分别为 ， ，
蓝色扇形的圆心角度数为： ．
所以蓝区域所占的面积比例为： ，
即转动圆盘一次，指针停在蓝区域的概率是 ，
故选： ．
3．（樊城区模拟）某小组做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折
线图，则符合这一结果的实验可能是A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【解答】解： 、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是 ，故本选项错误；
、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的频率约为： ，故本选项错误；
、从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是 ，
故本选项正确；
、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，
故本选项错误；
故选： ．
4．（高邮市一模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 100个，除颜
色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在
、 ，则口袋中白色球的个数很可能是
A．45 B．40 C．15 D．55
【解答】解： 摸到红色球、黑色球的频率稳定在 和 ，
摸到白球的频率为 ，
故口袋中白色球的个数可能是 个．
故选： ．
5．（宁德期末）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复
试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛
掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为
A．0.42 B．0.50 C．0.58 D．0.72
【解答】解： 抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 ，
故选： ．
6．（南海区期末）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共 40个，除颜色外其
他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄
球可能有
A．12个 B．14个 C．18个 D．28个
【解答】解：设袋子中黄球有 个，
根据题意，得： ，
解得： ，
即布袋中黄球可能有14个，
故选： ．
二．填空题（共4小题）
7．（锦州期末）在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计 15个，每个球除
颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球
试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为 6 ．
【解答】解：
答：估计这个袋中红球的个数约为6．
故答案为：6．
8．（常熟市期末）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都
相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验，统计结
果表示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右．则据此估计盒子
中大约有白球 1 2 个．
【解答】解：设盒子中大约有白球 个，根据题意得： ，
解得： ，
答：估计盒子中大约有白球12个．
故答案为：12．
9．（邗江区校级月考）从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204发芽的频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 0. 8 （精确到 ．
【解答】解： 观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，
该油菜籽种子发芽的概率为0.8，
故答案为：0.8．
10．（丹江口市期末）如图为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画
一个边长为 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假
设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在
不规则区域的频率稳定在常数0.2附近，由此可估计不规则区域的面积是 5 ．
【解答】解： 经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2
附近，
小石子落在不规则区域的概率为0.2，
正方形的边长为 ，
面积为 ，
设不规则区域的面积为 ，
则 ，
解得： ，
故答案为：5．
三．解答题（共3小题）
11．（涪城区校级自主招生）为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取
了100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组
及频数分布表和频率分布直方图：
排号 分组 频数
1 6
2 8
3 17
4 225 25
6 12
7 6
8 2
9 2
合计 100
（1）求频率分布直方图中的 ， 的值；
（2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该
周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
【解答】解：（1）根据表格得： ， ；
（2）根据题意得： （这名学生该周课外阅读时间少于12小时） ；
（3）根据题意得： ，
则样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组．
12．（路北区三模）为了提高学生的汉字书写能力，某学校连续举办了几届汉字听写大赛
今年经过层层选拔，确定了参加决赛的选手，决赛的比赛规则是每正确听写出 1个汉字得
2分，满分是100分，下面是根据决赛的成绩绘制出的不完整的频数分布表、扇形统计图
和频数分布直方图．
类别 成绩 分 频数（人
数）
5
7
15
10
请结合图表完成下列各题（1）表中 的值为 1 3 ，并把频数分布直方图补充完整；
（2）学校想利用频数分布表估计这次决赛的平均成绩，谐你直接写出平均成绩；
（3）通过与去年的决赛成绩进行比较，发现今年各类人数的中位数有了显著提高，提高了
以上，求去年各类人数的中位数最高可能是多少？
（4）想从 类学生的3名女生和2名男生中选出两人进行培训，直接写出选中1名男生和
1名女生的概率是多少．
【解答】解：（1）调查的总人数为： ，
所以 ；
故答案为13；
频数分布直方图为：
（2）平均成绩 ；
（3）今年各类人数的中位数为10，
，
而人数为整数，今年各类人数的中位数比去年提高了 以上，
去年各类人数的中位数最高可能是8；
（4）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的结果数为12，
所以选中1名男生和1名女生的概率 ．
13．（惠安县一模）为弘扬“绿水青山就是金山银山”精神，某地区鼓励农户利用荒坡种
植果树，某农户考察三种不同的果树苗 、 、 ，经引种试验后发现，引种树苗 的自
然成活率为0.8，引种树苗 、 的自然成活率均为0.9．
（1）若引种树苗 、 、 各10棵．
①估计自然成活的总棵数；
②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗
的概率：
（2）该农户决定引种 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 的树苗可经过人工
栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗引种最终成活
后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种
种树苗多少棵？
【解答】解：（1）① （棵 ，
答：自然成活的有26棵；
②
在这12种情况下，抽到的2棵均为树苗 的有2种，
；
（2）设引 树苗 棵，
则最终成活棵数为： ，未能成活棵数为0.04
棵
答：该户至少引种 种树苗700棵．综合运用：概率初步
1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？
【解析】解：从1到100的数字中，能被7整除的数为{7，14，21，28，35，42，49，
56，63，70，77，84，91，98}共有14个数，
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有14种；
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是 .
2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白
球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为 ．
（1）试求袋中篮球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白
球的概率．
【解析】解：（1）设篮球个数为x个，则由题意得：
= ，
解得 x=1，
即篮球有1个．
（2）树状图如下：
所有可能结果共有12种，它们发生的可能性相等，其中两次摸到都是白球的有2种，
∴P（两个都是白球）= ．
3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装
有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一
个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结
果；（2）求出两个数字之积能被2整除的概率．
【解析】解：（1）画树状图为：
（2）由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中两个数字之积能被2整除的结果数为
4，所以两个数字之积能被2整除的概率为 = ．
4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后
不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n．
（1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求 所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率．
【解析】解：（1）画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），
（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣
4，1），（﹣4，﹣3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的有：（﹣
3，﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的概率= = ．
5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），
小明得1分，否则小刚得1分．
（1）这个游戏公平吗？为什么？
（2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？【解析】解：（1）列表如下：
共有40种等可能的结果数，其中配成紫色的占16种，
两个转盘各转一次小明得分= ×1= ，
小刚得分= = ×1= ，
所以这个游戏不公平．
（2）游戏规则为：两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得
3分，否则小刚得2分．
6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设
计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查
了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下
列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为
；
（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式
与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的
概率．
【解析】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人
喜欢用QQ沟通所占比例为： = ，
∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°× =108°
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为： ×100%=40%
∴该校共有 1500 名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：
1500×40%=600人
（4）列出树状图，如图所示
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： =
故答案为：（1）100；108°
7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个
完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于
6，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【解析】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，
所以P（小王）= ；
（2）不公平，理由如下：
∵P（小王）= ，P（小李）= ， ≠ ，
∴规则不公平．
