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第 5 讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
1、 先乘方，再乘除，最后加减；
2、 同级运算，从左到右进行；
3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1
1.计算：（1）（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]；
4
1
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）× ；
3
1 3
（3） - ×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）× +1|.
8 4
1 1 7 3
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣ ×（2﹣9）=﹣1- ×（-7）=-1+ = ；
4 4 4 4
1 1 8 11
（2）原式=﹣4+|﹣3|﹣24× × =﹣4+3﹣ =﹣ ．
3 3 3 3
1 3 1 1 1 1 1
（3）原式=﹣ ×（﹣8）÷4﹣2×|（﹣1）× +1|=1× ﹣2× = ﹣ =﹣ ．
8 4 4 4 4 2 4
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练
掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（徐州期末）计算：
（1）﹣1+|﹣4|+2×（﹣3）；
（2）（ ）×（﹣24）【解答】解：（1）原式=﹣1+4﹣6=﹣3；
（2）原式=15+4﹣14=5．
2．（大余县期末）计算：
（1）23×（1﹣ ）×0.5
（2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷4
【解答】解：（1）23×（1﹣ ）×0.5
=8× ×
=3；
（2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷4
=﹣4+[18+6]÷4
=﹣4+24÷4
=﹣4+6
=2．
3．（沾化区期末）计算题
（1）（﹣5）
（2）|﹣ |÷（ ）﹣ ．
【解答】解：（1）原式=﹣15+8×（﹣ ）
=﹣15+（﹣10）
=﹣25；
（2）原式=﹣17+（﹣17）﹣（﹣ ）=﹣34+
=﹣33 ．
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结
合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
2 3 1
（1）﹣14﹣（ ﹣ + ）×24；
3 4 6
7 7 7
（2） ×（﹣5）+（﹣ ）×9﹣ ×8；
22 22 22
1 1 2 1 1
（3）|4﹣4 |+（ - + - ）÷ -22 ﹣（+5）．
2 2 3 6 12
2 3 1
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣（ ×24﹣ ×24+ ×24）=﹣1﹣（16-18+4）=﹣1﹣2
3 4 6
=﹣3．
7 7 7 7 7
（2）原式=（- ）×5+（﹣ ）×9+（﹣ ）×8=﹣ ×（5+9+8）=﹣ ×22=﹣7；
22 22 22 22 22
1 1 2 1 1 1 2 1
（3）原式=|﹣ |+（﹣ + ﹣ ）×12﹣4﹣5= +（﹣ ）×12+ ×12+（﹣ ）×12﹣4﹣5
2 2 3 6 2 2 3 6
1 1
= ﹣6+8﹣2﹣4﹣5=﹣8 ．
2 2
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律
的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…++.1+19
【解析】解：（1）1+3+5+7+9+…+19=（ ）2=100；
2
故答案为100.
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）
1+2n+3
=（ ）2，
2
=（n+2）2；
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+…+2009+，
1+ 1+999
=（ ）2﹣（ ）2，
2 2
=10092﹣5002，
=1018081﹣250000，
=768081．
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据
此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到的和减去从1开始到999的和，然后列式进
行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题
的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（包河区二模）观察下列关于自然数的等式：
①2×0+1=12，
②4×2+1=32，
③8×6+1=72，
④16×14+1=152；…
（1）请按规律写出第⑤个式子：_______；
（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．
【解答】解：（1）律写出第⑤个式子为：32×30+1=312；
故答案为：32×30+1=312；
（2）根据题意得：第n个等式为2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2；
左边=22n﹣2n+1+1，右边=22n﹣2n+1+1，
∵左边=右边，
∴2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2．
2．（鄄城县期末）阅读材料，求1+3+32+33+34+……+3的值．
解：设S=1+3+32+33+34+…+3……………①
①×3得：3S=3+32+33+34+35+……+3……………②
②﹣①得：2S=3﹣1
所以S=
请你仿上述方法计算：
（1）1+2+22+23+……+2
（2）1+5+52+53+……+5n（其中n为正整数）．
【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+……+2①，
则有2S=2+22+23+……+2②，②﹣①得：S=2﹣1，
则1+2+22+23+……+2=2﹣1；
（2）设S=1+5+52+53+……+5n①，
则有5S=5+52+53+……+5n+1②，
②﹣①得：4S=5n+1﹣1，
则1+5+52+53+……+5n= （5n+1﹣1）．
3．（工业园区期末）观察下列等式：
①1×3+1=4； ②3×5+1=16； ③5×7+1=36；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为______；
（2）写出第n个等式，并验证其正确性．
【解答】解：（1）∵第①个等式为1×3+1=4×12，
第②个等式为3×5+1=16=4×22，
第③个等式为5×7+1=36=4×32，
……
∴第④个等式为7×9+1=4×42=64，
故答案为：7×9+1=64；
（2）由（1）知第n个等式为：（2n﹣1）（2n+1）+1=4n2，∵左边=4n2﹣1+1=4n2=右边，
∴（2n﹣1）（2n+1）+1=4n2．
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求
x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m的值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的
数，
∴a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0，
∴x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m
=（﹣1）2+（0+1）（﹣1）+0+（﹣1）﹣0
=1﹣1+0﹣1﹣0
=﹣1
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可
得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（岳池县期中）小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小
明看了很为难，你能帮他一下吗？已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|
=2，则 +1+m﹣cd的值为多少？
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数．
∴a+b=0，cd=1又∵|m|=2
∴m=2或﹣2
当m=2时，原式=0+1+2﹣1=2，
当m=﹣2时，原式=0+1﹣2﹣1=﹣2．
2．（澜沧县期中）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值最小
的数．求：代数式 的值．
【解答】解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值最小的数，
所以a+b=0，cd=1，m=0，
所以原式=0+﹣0=．
3．（临泽县校级期中）已知：有理数m所表示的点到原点距离4个单位，a，b
互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2（a+b）﹣（ ﹣3cd）﹣|m|的值．
【解答】解：∵有理数m所表示的点到原点距离4个单位，
∴m=4或﹣4；
根据题意得：a+b=0，cd=1，
当m=4时，原式=﹣2；当m=﹣4时，原式=﹣2，
则原式的值为﹣2．
知识点4 实际应用利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天
生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周
的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资 5元，若超额完成任务，则
超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少
元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他
条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【解析】解：（1）20﹣4=16（个）；
故答案为：16．
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
故答案为： 147．
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量
都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算
每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题
的关键．
【随堂练习】
1．（资中县期中）国庆黄金周期间，小明一家去峨眉山旅游．现已知峨眉山地
区海拔每升高50米，气温就下降0.3℃，位于峨眉山山脚的报国寺海拔高度约
为530米，峨眉山山顶的金顶海拔高度约为3080米，某天山脚的报国寺最低气
温为14℃，此时山顶的金顶气温为多少？
【解答】解：由题意可得，
此时山顶的金顶气温为：14+（3080﹣530）÷50×（﹣0.3）=﹣1.3（℃），
答：此时山顶的金顶气温为﹣1.3℃．
2.（胶州市期中）在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地
用T=10﹣ 来表示，请解答下列问题：
（1）若在该地有一座600m高的小山，则山顶的温度是多少？
（2）若在某处测得温度为7.6℃，则该项处的高度约为多少？（3）在该地随着高度的升高，每升高1m，温度是怎样变化的？
【解答】解：（1）根据题意得：T=10﹣ =10﹣4=6℃；
（2）根据题意得：7.6=10﹣ ，解得：d=360m；
（3）由题意得：（10﹣ ）﹣（10﹣ ）=﹣ ℃，
则每升高1m，温度会降低 ℃．
3．（卫辉市期中）参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报
销，保险公司规定的报销细则如下表．
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 0
60
超过500至1000元的部分
80
超过1000至3000元的部分
…
…
①某人住院治疗花去医疗费800元，那么此人能得到保险公司报销的金额是多
少元？
②某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是 1260元，那么此人的实际医
疗费是多少元？
【解答】解：①（800﹣500）×60%=180（元）；
所以，此人能得到保险公司报销的金额是180元；
②设此人的医疗费为x元．如果医疗费是3000元，报销金额就是500×60%+2000×80%=1900（元）；
如果医疗费是1000元，报销金额就是500×60%=300（元）
所以此人住院的医疗费1000＜x＜3000，
报销金额500×60%+（x﹣1000）×80%=1260，
解得x=2200．
此人住院的医疗费是2200元．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头
表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【解析】解：把5代入计算程序中得：[5+（﹣1）]÷（﹣2）=4÷（﹣2）=﹣2＜0，
3
把﹣2代入计算程序中得：[（﹣2）+（﹣1）]÷（﹣2）=﹣3÷（﹣2）= ＞0，
2
3
则输出的结果为 ，
2
3
故答案为 .
2
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化
为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（湘西州）按照如图的操作步骤，若输入 x的值为2，则输出的值是 ____ ．（用科学计算器计算或笔算）
【解答】解：将x=2代入得：3×（2）2﹣10=12﹣10=2．
故答案为：2．
2．（朝阳区二模）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算
术》中的“更相减损术”，执行程序框图，如果输入a，b的值分别为3，9，那
么输出a的值为____．
【解答】解：当a=3、b=9时，b=9﹣3=6；
此时a=3、b=6，b=6﹣3=3，
则a=b=3，
所以输出a的值为3，
故答案为：3．
知识点6 新定义定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运
算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加
乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；
（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；
（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0 和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和 0 进行❈（加乘）运算，
_________________．
（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用
一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用
吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个
例子即可）”
【解析】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个
数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
（2）原式=（﹣5）❈12=﹣17；
（3）加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3）❈（﹣5）=8，（﹣5）❈（﹣3）=8，
所以（﹣3）❈（﹣5）=（﹣5）❈（﹣3），
故加法的交换律仍然适用．
【方法总结】
（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法
则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方
法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两
个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈
（b❈c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并
注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（宁江区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a和b，规定
a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（ ☆3）=8，求a的值．
【解答】解：（1）（﹣2）☆3=﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）=﹣32；
（2） ☆3= ×32+2× ×3+ =8a+8=8，
解得：a=0．
2．（漳州期末）对于有理数a、b，定义运算：a⊕b=ab﹣2a﹣2b+1．
（1）计算：5⊕4的值；
（2）计算：[（﹣2）⊕6]⊕3的值；
（3）定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
【解答】解：（1）5⊕4=5×4﹣2×4﹣2×5+1
=20﹣8﹣10+1
=21﹣18
=3；（2）原式=[﹣2×6﹣2×（﹣2）﹣2×6+1]⊕3
=（﹣12+4﹣12+1）⊕3
=﹣19⊕3
=﹣19×3﹣2×（﹣19）﹣2×3+1
=﹣24；
（3）成立，
∵a⊕b=ab﹣2a﹣2b+1、b⊕a=ab﹣2b﹣2a+1，
∴a⊕b=b⊕a，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
3．（乐陵市期末）我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介
绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果 ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
log N=b．
a
例如：因为53=125，所以log 125=3；因为112=121，所以log 121=2．
5 11
（1）填空：log 6=____，log 81=_____．
6 3
（2）如果log （m﹣2）=3，求m的值．
2
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log MN=log M•log N（a＞0，
a a a
a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
【解答】解：（1）∵61=6，34=81，
∴log 6=1，log 81=4，
6 3
故答案为：1、4；
（2）∵log （m﹣2）=3，
2
∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，
设ax=M，ay=N，
则log M=x，log N=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
a a
∵ax•ay=ax+y，
∴ax+y=M•N，
∴log MN=x+y，
a
即log MN=log M+log N．
a a a
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果
为__________．【解析】解：[2×3+（﹣2）2]÷5
=[6+4]÷5
=10÷5
=2.
故答案为：2．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例
如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
1
【解析】解：若x为偶数，可得 x=3，即x=6；
2
1
若x为奇数，可得 （x+1）=3，即x=5，
2
故答案为：5或6
a+b
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+ 值为_________.
m
【解析】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=2时，原式=2﹣1+0=1；
当m=﹣2时，原式=﹣2﹣1+0=﹣3，
故答案为 1或﹣3.
1
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣ ）；
3
5 2 7 7
（2）（ - + ）÷（﹣ ）× ；
6 3 12 21
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷ ×[2﹣（﹣3）2]；
7
1
(-2) 3-13÷[-(- ) 2 ]
（4） 2 .
0.125×8+[1-32×(-2)]
【解析】解：（1）原式=-|﹣6|+3-2×（-3）
=﹣6+3+6
=3；
1 12 7
（2）原式=﹣ ×（﹣ ）× =1；
6 7 2
1 1
（3）原式=﹣1﹣ ÷ ×（2﹣9）
2 7
1
=﹣1﹣ ×7×（2﹣9）
2
1
=﹣1﹣ ×7×（﹣7）
2
49
=﹣1﹣（﹣ ）
2
49
=﹣1+
2
47
= ．
2
1
-8-13÷(- ）
（4）原式= 4
0.125×8+[1-9×(-2)]
-8+13×4
=
1+（1+18）
-8+52
=
1+19
44
=
20
=2.2．
1 1 1 1 1 1 1
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3
1 1 1 1
， = ﹣ ，……
4 4×5 4 5
那么：
1
（1） =_________；
×
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律__________；1 1 1 1
（3）计算： + + +…… ．
1×2 2×3 3×4 ×
1 1 1
【解析】解：（1） = ﹣ ；
× ❑ ❑
1 1 1
（2）根据题意得： = ﹣ ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 ❑
（3）原式=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ．
2 2 3 ❑ ❑ ❑ ❑
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
【解析】解：（1）∵13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102，
∴13+23+33+43+53=152．
（2）左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数．
（3）13+23+33+43+…+1003
=（1+2+3+4+…+100）2
=50502
=25502500．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．
居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第
二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水
量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
【解析】解：180×5+（200﹣180）×7，
=900+140，
=1040（元）．∵1040＞1000，
∴准备1000元的水费不够．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3
次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一
般地， 把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
1
（1）直接写出计算结果：2③=_______，（﹣ ）⑤=_______；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是_______，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1ⓝ=1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理
数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
1
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣ ）⑩=_________________．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
1 1
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
3 3
【解析】解：【概念学习】
1
（1）2③=2÷2÷2= ，
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（﹣ ）⑤=（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=1÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
）=（﹣2）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=﹣8
2 2
1
故答案为： ，﹣8；
2
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；1 1
C、3④=3÷3÷3÷3= ，4③=4÷4÷4= ，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
9 4
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相
当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
故选C；
【深入思考】
1
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=（﹣3）×(- ) 3 ；
3
1
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×( ) 5 ；
5
1 1
（﹣ ）⑩=（﹣ ）×(-2) 9 ；
2 2
1 1 1
故答案为：（﹣3）×(- ) 3 ；5×( ) 5 ；（﹣ ）×(-2) 9 ；
3 5 2
1
（2）aⓝ=a×( )n；
a
1 1
（3）122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33，
3 3
1 1 1
=144÷[（﹣ ）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣ ）4]﹣[（﹣ ）×（﹣3）5]÷33，
3 2 3
1
=144÷9×(- ) 3 ﹣（﹣3）4÷33，
2
1
=16×（﹣ ）﹣3，
8
=﹣2﹣3，
=﹣5．
