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第 5 讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
1、 先乘方，再乘除，最后加减；
2、 同级运算，从左到右进行；
3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1
1.计算：（1）（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]；
4
1
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）× ；
3
1 3
（3） - ×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）× +1|.
8 4
1 1 7 3
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣ ×（2﹣9）=﹣1- ×（-7）=-1+ = ；
4 4 4 4
1 1 8 11
（2）原式=﹣4+|﹣3|﹣24× × =﹣4+3﹣ =﹣ ．
3 3 3 3
1 3 1 1 1 1 1
（3）原式=﹣ ×（﹣8）÷4﹣2×|（﹣1）× +1|=1× ﹣2× = ﹣ =﹣ ．
8 4 4 4 4 2 4
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练
掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（海珠区期末）计算：
（1）|﹣12|﹣（﹣6）+5﹣10
（2）﹣12×5+（﹣2）3÷4．【解答】解：（1）原式=12+6+5﹣10=23﹣10=13；
（2）原式=﹣5﹣2=﹣7．
2．（邗江区期末）计算
（1）﹣13﹣5+8
（2）（﹣6）÷2×（﹣ ）
（3）（ ）×45
（4）（﹣1）﹣（1﹣ ）÷3×|3﹣（﹣3）2|
【解答】解：（1）原式=﹣18+8=﹣10；
（2）原式=6÷2× =1.5；
（3）原式=5﹣30+27=2
（4）原式=﹣1﹣ × ×6=﹣1﹣1=﹣2．
3．（苍溪县期末）计算：
（1）﹣1+18÷（﹣3）×|﹣ |
（2）18× +22×（﹣ ）﹣4×（﹣ ）
【解答】解：（1）原式=﹣1+18×（﹣ ）× =﹣1﹣3=﹣4；
（2）原式= ×（18﹣22+4）= ×0=0．
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结
合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.【典例】
1.计算：
2 3 1
（1）﹣14﹣（ ﹣ + ）×24；
3 4 6
7 7 7
（2） ×（﹣5）+（﹣ ）×9﹣ ×8；
22 22 22
1 1 2 1 1
（3）|4﹣4 |+（ - + - ）÷ -22 ﹣（+5）．
2 2 3 6 12
2 3 1
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣（ ×24﹣ ×24+ ×24）=﹣1﹣（16-18+4）=﹣1﹣2
3 4 6
=﹣3．
7 7 7 7 7
（2）原式=（- ）×5+（﹣ ）×9+（﹣ ）×8=﹣ ×（5+9+8）=﹣ ×22=﹣7；
22 22 22 22 22
1 1 2 1 1 1 2 1
（3）原式=|﹣ |+（﹣ + ﹣ ）×12﹣4﹣5= +（﹣ ）×12+ ×12+（﹣ ）×12﹣4﹣5
2 2 3 6 2 2 3 6
1 1
= ﹣6+8﹣2﹣4﹣5=﹣8 ．
2 2
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律
的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…++.
1+19
【解析】解：（1）1+3+5+7+9+…+19=（ ）2=100；
2
故答案为100.（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）
1+2n+3
=（ ）2，
2
=（n+2）2；
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+…+2009+，
1+ 1+999
=（ ）2﹣（ ）2，
2 2
=10092﹣5002，
=1018081﹣250000，
=768081．
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据
此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到的和减去从1开始到999的和，然后列式进
行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题
的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（前郭县期末）观察下列各式：
， ， ，…
（1）根据以上式子的特点完成下列各题：
① = ﹣ ；② = ﹣ （n是正整数）．
（2）计算：
（3）计算： ．
【解答】解：（1）根据题意知，① = ﹣ ；② = ﹣ ，
故答案为：① ﹣ ；② ﹣ ．（2）原式=1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = ；
（3）原式=1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ．
2．（甘井子区期末）（1）填空：﹣ ×（1×2×3﹣0×1×2）=_____
﹣ ×（2×3×4﹣1×2×3）=___
﹣ ×（3×4×5﹣2×3×4）=_____
（2）请按以上规律，写出一个新的算式并求出结果
（3）请从以下两个问题中任选一个解答，选择①解答正确的4分，选择②解答
正确得2分
①﹣1×2+（﹣2）×3+（﹣3）×4+…+（﹣n）×（n+1）= ____ （用含有n的式
子表示）
②﹣ ×（1×2×3﹣0×1×2）+（﹣ ）×（2×3×4﹣1×2×3）+…+（﹣ ）×
（7×8×9﹣6×7×8）=_____．
【解答】解：（1）原式=﹣ ×6=﹣2；
原式=﹣ ×18=﹣6；
原式=﹣ ×36=﹣12；
（2）规律为：﹣ ×[n（n+1）（n+2）﹣n（n﹣1）（n+1）]=﹣n（n+1）；
根据题意得：﹣ ×（4×5×6﹣3×4×5）=﹣ ×60=﹣20；
（3）①原式=﹣ ×[1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+…+n（n+1）（n+2）﹣n（n﹣1）（n+1）]=﹣ n（n+1）（n+2）；
②原式=﹣ ×（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+…+7×8×9﹣6×7×8）=﹣ ×（﹣
0+504）=﹣168．
故答案为：（1）﹣2；﹣6；﹣12；（3）①﹣ n（n+1）（n+2）；②﹣168
3．（宜春期末）探索规律，观察下面算式，解答问题：
第1个等式：1=12；
第2个等式：1+3=22；
第3个等式：1+3+5=32；
第4个等式：1+3+5+7=42；
……
（1）按以上规律列出第5个等式_______；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）=_____；（n为正整数）；
（3）请用上述规律计算：61+63+65+…+197+199．
【解答】解：（1）第5个等式：1+3+5+7+9=52；
故答案为：1+3+5+7+9=52；
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）=n2；
故答案为：n2；
（3）原式=（1+3+5+…+197+199）﹣（1+3+5+…+57+59）=1002﹣302=9100．知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求
x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m的值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的
数，
∴a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0，
∴x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m
=（﹣1）2+（0+1）（﹣1）+0+（﹣1）﹣0
=1﹣1+0﹣1﹣0
=﹣1
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可
得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（天水期中）已知：有理数m绝对值为2，a、b互为相反数，且都不为零，
c、d互为倒数．
求：2a+2b+（ ﹣3cd）﹣m的值．
【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1， =﹣1，m=2或﹣2，
当m=2时，原式=﹣4+2=﹣2；当m=﹣2时，原式=﹣4﹣2=﹣6．
2．（沿河县校级期中）如果 a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等
于4，求：3cd﹣|a+b|﹣4x的值．【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，x=4或﹣4，
当x=4时，原式=3﹣0﹣16=﹣13；当x=﹣4时，原式=3﹣0+16=19．
3．（港南区期中）已知 a+b=0，且 a，b 均不等于零，c，d 互为倒数，且|x|
=0.3，求： +c•d+x2的值．
【解答】解：∵a+b=0，且a，b均不等于零，c，d互为倒数，且|x|=0.3，
∴a=﹣b，cd=1，x=±0.3，
∴原式=﹣1+1+0.09=0.09．
4．（洛宁县期中）a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，试求x3
﹣（a+b+cd）x2+（a+b）x+（﹣cd）的值．
【解答】解：由题意可知，a+b=0，cd=1，|x|=2，
∴x=±2，
∴原式=x3﹣x2+0﹣1=x3﹣4﹣1=x3﹣5，
当x=2时，
∴原式=8﹣5=3，
当x=﹣2时，
∴原式=﹣8﹣5=﹣13．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天
生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周
的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资 5元，若超额完成任务，则
超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少
元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他
条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【解析】解：（1）20﹣4=16（个）；
故答案为：16．
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
故答案为： 147．
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量
都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算
每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题
的关键．
【随堂练习】
1．（利辛县期中）10袋大米的称重记录如下表所示（单位：kg），求10袋大
米的总质量．
每袋大米的质量 47 50 46 51
（kg）
袋数 3 2 1 4
小明的计算过程：10袋大米的总质量为47×3+50×2+46×1+51×4=…
（1）请你将小明的计算过程补充完整；
（2）若每袋大米的标准质量是 50kg，请运用正负数的相关知识求这 10袋大米
的总质量；
（3）结合（2）中的计算说明：与 10袋标准质量的大米相比，这 10袋大米总
计超过多少千克或不足多少千克？
【解答】解：（1）×3+50×2+46×1+51×4=141+100+46+204=491；
（2）我们规定超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，有 3袋大米的
质量记为﹣3kg，有2袋大米的质量记为0kg，有1袋大米的质量记为﹣4kg，有
4袋大米的质量记为+1kg，∵3×（﹣3）+2×0+1×（﹣4）+4×1=﹣9，
∴10袋大米的总质量为10×50﹣9=491kg；
（3）∵﹣9＜0，
∴这10袋大米的总质量不足10袋大米的总质量，
∵|﹣9|=9，
∴比10袋大米的标准质量少9kg
2．（洱源县校级期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，
运出用负数表示）：
进出数量 ﹣3 4 ﹣1 2 ﹣5
（单位：
吨）
进出次数 2 1 3 3 2
（1）这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？请说明理由；
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨冷冻食品费用500元，运出每吨冷冻食品费用800元；
方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
【解答】解：（1）根据题意得：（﹣3）×2+4×1+（﹣1）×3+2×3+（﹣5）×2=
﹣9．
答：这天冷库的冷冻食品比原来减少了；（2）方案一：|（﹣3）×2+（﹣1）×3+（﹣5）×2|×800+（4×1+2×3）
×500=20200；
方案二：[|（﹣3）×2+（﹣1）×3+（﹣5）×2|+4×1+2×3]×600=17400，
∵17400＜20200
∴选择方案二较合适．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头
表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【解析】解：把5代入计算程序中得：[5+（﹣1）]÷（﹣2）=4÷（﹣2）=﹣2＜0，
3
把﹣2代入计算程序中得：[（﹣2）+（﹣1）]÷（﹣2）=﹣3÷（﹣2）= ＞0，
2
3
则输出的结果为 ，
2
3
故答案为 .
2
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化
为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（婺源县期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入 x的值为﹣3时，则输出的数值为____．
【解答】解：根据题意，得：（﹣3）×（﹣1）﹣4=3﹣4=﹣1，
故答案为：﹣1
2．（市南区期末）根据如图所示的程序计算，若输出的数为﹣2，则输入的数
应为______．
【解答】解：设输入的数为x，
根据程序得：2x2﹣4=﹣2，
解得：x=1或x=﹣1，
故答案为：1或﹣1
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运
算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；
（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；
（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0 和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和 0 进行❈（加乘）运算，
_________________．
（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用
一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用
吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个
例子即可）”
【解析】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个
数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
（2）原式=（﹣5）❈12=﹣17；
（3）加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3）❈（﹣5）=8，（﹣5）❈（﹣3）=8，
所以（﹣3）❈（﹣5）=（﹣5）❈（﹣3），
故加法的交换律仍然适用．
【方法总结】
（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法
则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方
法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两
个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈
（b❈c））即可．此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并
注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（上杭县期中）若“*”是一种新的运算符号，并且规定 a*b= ．例如：
3*5= ，求[2*（﹣2）]*（﹣3）的值．
【解答】解：原式= *（﹣3）
=0*（﹣3）
=
=﹣ ．
2．（蔚县期末）已知 a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：
a#b=a2+ab﹣5，例如：1#2=12+1×2﹣5=﹣2．
求：（1）（﹣3）#6的值；
（2）[2#（﹣ ）]﹣[（﹣5）#9]的值．
【解答】解：（1）（﹣3）#6
=（﹣3）2+（﹣3）×6﹣5
=9﹣18﹣5
=﹣14
（2）[2#（﹣ ）]﹣[（﹣5）#9]=[22+2×（﹣ ）﹣5]﹣[（﹣5）2+（﹣5）×9﹣5]
=[4﹣3﹣5]﹣[25﹣45﹣5]
=﹣4+25
=21
3．（泰兴市期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a和b，规定
a☆b=ab2﹣2ab+a． 如：1☆3=1×32﹣2×1×3+1=4．
（1）求（﹣2）☆5的值；
（2）若 ☆3=8，求a的值；
（3）若 m=2☆x，n=（1﹣x）☆3（其中 x 为有理数），试比较大小 m____n
（填“＞”、“＜”或“=”）．
【解答】解：（1）（﹣2）☆5
=（﹣2）×52﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）
=﹣50+20﹣2
=﹣32；
（2） ☆3
= ×32﹣2× ×3+
=4.5a+4.5﹣3a﹣3+0.5a+0.5
=2a+2
=8
解得：a=3；
（3）m=2☆x
=2x2﹣2×2x+2=2x2﹣4x+2
n=（1﹣x）☆3
=（1﹣x）×32﹣2×（1﹣x）×3+（1﹣x）
=9﹣9x﹣6+6x+1﹣x
=4﹣4x
∵m﹣n=（2x2﹣4x+2）﹣（4﹣4x）
=2x2﹣2，
当x＞1或x＜﹣1时，2x2﹣2＞0，即m＞n，
当x=±1时，2x2﹣2=0，即m=n
当﹣1＜x＜1时，2x2﹣2＜0，即m＜n，
故答案为：＞或=或＜．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果
为__________．
【解析】解：[2×3+（﹣2）2]÷5
=[6+4]÷5
=10÷5
=2.
故答案为：2．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
1
【解析】解：若x为偶数，可得 x=3，即x=6；
2
1
若x为奇数，可得 （x+1）=3，即x=5，
2
故答案为：5或6
a+b
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+ 值为_________.
m
【解析】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=2时，原式=2﹣1+0=1；
当m=﹣2时，原式=﹣2﹣1+0=﹣3，
故答案为 1或﹣3.
1
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣ ）；
3
5 2 7 7
（2）（ - + ）÷（﹣ ）× ；
6 3 12 2
1
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷ ×[2﹣（﹣3）2]；
7
1
(-2) 3-13÷[-(- ) 2 ]
（4） 2 .
0.125×8+[1-32×(-2)]
【解析】解：（1）原式=-|﹣6|+3-2×（-3）
=﹣6+3+6
=3；
1 12 7
（2）原式=﹣ ×（﹣ ）× =1；
6 7 2
1 1
（3）原式=﹣1﹣ ÷ ×（2﹣9）
2 7
1
=﹣1﹣ ×7×（2﹣9）
2
1
=﹣1﹣ ×7×（﹣7）
249
=﹣1﹣（﹣ ）
2
49
=﹣1+
2
47
= ．
2
1
-8-13÷(- ）
（4）原式= 4
0.125×8+[1-9×(-2)]
-8+13×4
=
1+（1+18）
-8+52
=
1+19
44
=
20
=2.2．
1 1 1 1 1 1 1
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3
1 1 1 1
， = ﹣ ，……
4 4×5 4 5
那么：
1
（1） =_________；
×
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律__________；
1 1 1 1
（3）计算： + + +…… ．
1×2 2×3 3×4 ×
1 1 1
【解析】解：（1） = ﹣ ；
× ❑ ❑
1 1 1
（2）根据题意得： = ﹣ ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 ❑
（3）原式=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ．
2 2 3 ❑ ❑ ❑ ❑
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
【解析】解：（1）∵13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102，
∴13+23+33+43+53=152．
（2）左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数．（3）13+23+33+43+…+1003
=（1+2+3+4+…+100）2
=50502
=25502500．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．
居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第
二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水
量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
【解析】解：180×5+（200﹣180）×7，
=900+140，
=1040（元）．
∵1040＞1000，
∴准备1000元的水费不够．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3
次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一
般地， 把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
1
（1）直接写出计算结果：2③=_______，（﹣ ）⑤=_______；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是_______，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1ⓝ=1；【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理
数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
1
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣ ）⑩=_________________．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
1 1
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
3 3
【解析】解：【概念学习】
1
（1）2③=2÷2÷2= ，
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（﹣ ）⑤=（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=1÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
）=（﹣2）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=﹣8
2 2
1
故答案为： ，﹣8；
2
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；
1 1
C、3④=3÷3÷3÷3= ，4③=4÷4÷4= ，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
9 4
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相
当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
故选C；
【深入思考】
1
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=（﹣3）×(- ) 3 ；
3
1
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×( ) 5 ；
5
1 1
（﹣ ）⑩=（﹣ ）×(-2) 9 ；
2 2
1 1 1
故答案为：（﹣3）×(- ) 3 ；5×( ) 5 ；（﹣ ）×(-2) 9 ；
3 5 2
1
（2）aⓝ=a×( )n；
a1 1
（3）122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33，
3 3
1 1 1
=144÷[（﹣ ）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣ ）4]﹣[（﹣ ）×（﹣3）5]÷33，
3 2 3
1
=144÷9×(- ) 3 ﹣（﹣3）4÷33，
2
1
=16×（﹣ ）﹣3，
8
=﹣2﹣3，
=﹣5．
